4.3.3 余角和补角同步练习题（含解析）

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七年级数学上册 第四章 4.3.3 余角和补角 同步练习题
一、单选题
1．已知与互余，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的余角是( )
A． B． C． D．
3．若，则∠A的补角为（　　）
A．40° B．50° C．120° D．130°
4．如果一个角的补角是，则这个角为（　　）
A． B． C． D．
5．一个角补角是它的余角的4倍，这个角的度数是（ ）
A．135° B．45° C．60° D．30°
6．下列说法中正确的个数是（ ）
①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③已知线段，，则点P在直线外；④若，则点B为线段的中点．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一个角的补角比这个角的余角 倍还多，则这个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，射线表示北偏东方向，射线表示南偏西方向，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．根据图中给定的条件，下列各图中可以判断∠1与∠2一定相等的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
10．如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOD＝2∶11，则∠AOB＝（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
二、填空题
11．若，则的余角是 _____度．
12．若，则的补角为 ．
13．已知∠1与互补，，则 °
14．如图，射线的端点O在直线上，，点D在平面内，与互余，则的度数为 ．
15．如图，大家已经知道三角形三个角的和是，若．
（1）图中共有 条线段， 个小于平角的角；
（2）除三个相等的直角外，图中还有相等的角是 ；
（3）图中有 对互余的角；（4）图中有 对互补的角．
三、解答题
16．点O是直线上的点，，射线是的平分线．
(1)位置如图1时，用等式与的数量关系，并说明理由；
(2)位置如图2时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出你得到的结论，并说明理由．
17．如图，已知锐角，把一个三角尺的直角顶点与点重合，一条直角边和重合，沿另一条直角边在射线的同侧画射线，再用量角器画出的平分线，此时，与互余．
(1)请你画出图形，用所学知识说明与互余；
(2)请你仿照上面互为余角的画法，在图2中画出一个，使与互补，并简要说明画图方法；若，求的度数．
18．如图，直线、相交于点O，平分，于点O，，求的度数．
19．如图，点，，在一条直线上，，平分．
(1)若，求的余角的度数．
(2)若，求的度数（用含的式子表示）．
20．直线、相交于点O，平分，，，求
(1)余角的度数
(2)与的度数．
21．如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．
(1)若，求的度数；
(2)若，那么平分吗？为什么？
22．如图，与互为余角，是的平分线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
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参考答案：
1．D
【分析】根据互余的定义，即可进行解答．如果两个角相加等于，那么这两个角互余．
【详解】解：∵与互余，若，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了互余的定义，解题的关键是掌握如果两个角相加等于，那么这两个角互余．
2．C
【分析】用即可求解．
【详解】解：，则的余角是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角，解题关键是掌握余角的定义．
3．D
【分析】根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解．
【详解】解：的补角．
故选：D．
【点睛】本题考查了补角，熟记补角的概念是解题的关键．
4．D
【分析】根据补角的定义即可进行解答．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了补角的定义，解题的关键是掌握“如果两个角相加等于，则这两个角互为补角”．
5．C
【分析】设这个角的度数为，则它的余角为，它的补角为，再根据一个角补角是它的余角的4倍，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角为，它的补角为，
由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为60°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，解题的关键在于熟知：如果两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余；如果两个角的度数之和为180度，那么这两个角互补．
6．A
【分析】根据补角的定义，线段中点的性质，点与直线的位置关系，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①锐角的补角一定是钝角，故①正确；
②一个角的补角不一定大于这个角，例如角的补角等于，故②不正确；
③已知线段，，则点P在直线外或在直线上，故③不正确；
④若，且点在线段上，则点B为线段的中点，故④不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了补角的定义，线段中点的性质，点与直线的位置关系，掌握以上知识是解题的关键．
7．B
【分析】设这个角的度数为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角为，这个角的余角为，根据题意得，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了与补角、余角相关的计算，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8．C
【分析】先求出的余角，然后再加上与的和进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
∵，
∴，
∴的度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查方向角，余角，角的和差计算．根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
9．A
【分析】根据同角或等角的余角相等，即可判断①和②，无法判断③和④．
【详解】解：如图①，
∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠2；
如图②，
∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2；
如图③，无法证明∠1＝∠2，
如图④，无法证明∠1＝∠2，
故选：A
【点睛】此题考查了同角或等角的余角相等，熟练掌握余角的性质是解题的关键．
10．C
【分析】由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD，设∠AOB=2α，则∠AOD=11α，故∠AOB+∠BOC=9α=90°，解得α，从而可求解．
【详解】解：∵∠AOC与∠BOD都是直角，
∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，
∴∠AOB=∠COD， 设∠AOB=2α，
∵∠AOB：∠AOD=2：11，
∴
∴∠AOB+∠BOC=9α=90°，
解得α=10°，
∴∠AOB=20°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键．
11．
【分析】利用余角的定义进行求解即可．
【详解】解：，
的余角为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查余角，解答的关键是明确互为余角的两角之和为．
12．/度
【分析】根据和为的两个角互为补角进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的补角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟知和为的两个角互为补角是解本题的关键．
13．108
【分析】根据和为的两个角互为补角，根据定义解答．
【详解】解：∵∠1与互补，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了补角的定义，熟记定义是解题的关键．
14．或
【分析】分两种情况讨论：①在直线上方；②在直线下方，再利用角之间的关系可以求解．
【详解】解：①当在直线上方时，如图，
∵与互余，
∴，
∴；
②当在直线的下方时，如图，
∵与互余，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查余角与补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
15． 6 7 ， 4 3
【分析】（1）根据线段定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，写出图中线段，再写出图中小于的角即可；
（2）根据互为余角得出图中相等的角即可；
（3）根据两角相加等于的两个角互为余角，判断即可；
（4）两脚相加等于的两个角互为补角，判断即可．
【详解】解：（1）图中的线段有：，共条线段，
小于平角的角有：，共个；
（2）∵,
∴，
∵,
∴，
∴图中相等的角还有： ，；
（3）图中互余的角有：和，和，和，和，
共对；
（4）图中互补的角为：和，和，和，共对；
故答案为：6；7；，；4；3．
【点睛】本题考查了线段的定义，平角的概念，余角的概念，补角的概念等知识点，熟知定义是解决本题的关键．
16．(1)；理由见解析
(2)不成立，，理由见解析
【分析】（1）由题意知，，设，则，，可得，，进而可得与的关系；
（2）同（1）分别用含的代数式表示出，，然后通过加法运算求二者的关系即可；
【详解】（1）解：，理由如下：
∵射线是的平分线，
∴，
设，则，，
∴，，
∴；
（2）解：不成立，，理由如下：
∵射线是的平分线，
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，与余角、补角有关的计算等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
17．(1)图见解析，证明见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得答案；
（2）作的延长线，作的角平分线，利用角平分线的定义和补角的性质即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，即与互为余角；
（2）如下图，作的延长线，作的角平分线，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，即与互补；
因为，，
所以，
又因为平分，
所以．
【点睛】本题考查了余角与补角，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义．
18．
【分析】根据已知易得，，再根据互余的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，即可求出的度数．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】本题考查了互余的性质，角平分线的定义，平角的定义，根据题意找准各角之间的数量关系是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先利用与的倍数关系求出的度数，然后利用余角的定义求解即可；
（2）先计算出，的度数，然后利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴的余角的度数为
（2）解：∵，，
∴，，
又平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，余角的定义等知识，正确识图，找准角的有关关系是解题的关键．
20．(1)
(2)，
【分析】（1）根据余角的定义求解即可；
（2）由已知，结合平角的定义，可得的度数，又因为与互为邻补角，可求出的度数，又由平分可求出．
【详解】（1）解：余角的度数为：
；
（2）
，，为直线，
，
．
与互补，
，
平分，
．
故可得，．
【点睛】本题主要考查了余角，邻补角的概念以及角平分线的定义，注意各角之间的关系，属于基础题，解答本题的关键是一些基本概念的掌握，难度一般．
21．(1)
(2)平分，理由见解析
【分析】（1）根据直角的性质，可得，根据补角的定义得，再由，即可求解；
（2）根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：平分，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题主要考查了垂直的性质，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据余角的定义，得出，再根据，计算即可得出的度数；
（2）根据角平分线的定义，得出，根据余角的定义，得出，再根据角平分线的定义，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵与互为余角，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵是的平分线，，
∴，
∵与互为余角，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
【点睛】本题考查了与余角有关的计算、角平分线的定义，解本题的关键在理清角之间的数量关系．
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