人教版数学八年级上册 14.2.2 完全平方公式 导学案(含答案)

14.2　乘法公式
14.2.2　完全平方公式
学习目标
1.掌握完全平方公式的基本特征,理解公式的几何背景.
2.会用完全平方公式进行计算.
学习策略
1.结合多项式的乘法法则，理解完全平方公式；
2.牢记完全平方公式.
学习过程
一.复习回顾：
1.平方差公式：
2.多项式乘以多项式法则：
3.计算:
(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝ ；
(2)(m＋2)2＝ ＝ ；
(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝ ；
(4)(m－2)2＝ ＝ ；
(5)(a＋b)2＝ ＝ ；
(6)(a－b)2＝ ＝ .
【答案】(1)p2＋2p＋1 (2)(m＋2)(m＋2)；m2＋4m＋4；
(3)(p2－2p＋1) (4)(m－2)(m－2)；m2－4m＋4；
(5)(a＋b)(a＋b)； a2＋2ab＋b2； (6)(a-b)(a-b)；a2-2ab＋b2
二.新课学习：
知识点一：完全平方公式
1结合第3题的计算我们可以发现：两个数和(或差)的平方，等于它们的 ，加上(或减去)它们的 .
符号叙述： .
【答案】平方和；积的2倍；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
知识点二：用几何拼图验证平方差公式
先观察图(1)，再用等式表示图(2)中图形面积的运算：
图(1) 图(2)
通过认真观察图形，我们不难看出，等号左边的图形是由等号右边的三个图形组成的.
等号左边的图形是边长为a＋b的正方形，它的面积为： .等号右边的三个图形的面积分别为： ；所以得出 .
【答案】(a＋b)2；a2，2ab，b2 ；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
三.尝试应用：
例1：计算:
（1）（2a+5b）2； （2）（100﹣2）2； （3）（﹣2m﹣1）2．
解：（1）（2a+5b）2＝4a2+25b2+20ab；
（2）（100﹣2）2＝10000+4﹣400＝9604；
（3）（﹣2m﹣1）2＝4m2+4m+1．
例2：运用完全平方公式计算：
（1）1022； （2）1992．
解：（1）1022＝（100+2）2＝1002+2×100×2+22＝10000+400+4＝10404；
（2）1992＝（200﹣1）2＝2002﹣2×200×1+1＝40000﹣400+1＝39601．
四.自主总结：
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.用语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的乘积的2倍.
五.达标测试
一、选择题
1. 运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab对应的是（　　）
A．x B．x C．x D．3x
2.下列各式中错误的个数为(　　)
(1)(2x－3y)2＝2x2＋3y2；(2)(2x＋3y)2＝2x2＋2(2x)(3y)＋3y2；
(3)(2x－3y)2＝(2x)2＋2(2x)(3y)＋(3y)2.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图所示的是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的是(　　)
A.(a+b)2=(a-b)2+2ab B.(a-b)2=(a+b)2-2ab
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2
4.若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(　　)
A.2ab B.－2ab C.4ab D.－4ab
5.已知x+y=-5，xy=6，则x2+y2的值是(　　).
A.1 B.13 C.17 D.25
二、填空题
6.若(ax+3y)2=4x2-12xy+by2，则a= ，b= .
7. 若x2-kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为 .
8. 图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是_____________.
三、解答题
9. 利用完全平方公式计算：
（1）（5－a）2；（2）（－3m－4n）2；（3）（－3a+b）2．
10.计算: (1)(a－b+c)2;
(2)(1－2x+y)(1+2x－y).
参考答案
1.B解析：（x+）2＝x2+2x×+＝x2+x+，所以公式中的2ab是x．
故选：B．
2.D
3.C解析：因为四周部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b，
所以四个矩形的面积为4ab，
因为大正方形的边长为a+b，
所以大正方形面积为（a+b）2，
所以中间小正方形的面积为（a+b）2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2，
而中间小正方形的面积也可表示为：（a﹣b）2，
所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故选：C．
4.C解析：因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
所以A＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．故选：C．
5.B 解析：由题意可知，x2+y2=x2+y2+2xy-2xy=(x+y)2-2xy=25-12=13.
6. -2，9
7. ±6解析：因为x2-kxy+9y2是完全平方式，所以-kxy=±2×3y x，解得k=±6．
8. （a-b）2 解析：因为图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，所以正方形的边长为：a+b，因为由题意可得，正方形的边长为（a+b），所以正方形的面积为（a+b）2，因为原矩形的面积为4ab，所以中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．
9. 解：（1）（5－a）2=25－10a+a2．（2）（－3m－4n）2=9m2+24mn+16n2．（3）（－3a+b）2=9a2－6ab+b2．
10.解：（1）原式=[(a－b)+c]2=(a－b)2+c2+2(a－b)c=a2－2ab+b2+c2+2ac－2bc=a2+b2+c2－2ab+2ac－2bc.(2)原式=[1+(－2x+y)][1－(－2x+y)]
=12－(－2x+y)2=1－4x2+4xy－y2.