课件25张PPT。7.11 弦切角制作: 沙东中学 李俊文ABCD什么样的角是圆周角？
圆中的∠BAC和∠BDC分别是什么角？
与所对弧有何关系？ 顶点在圆上，
一边与圆相交，
另一边与圆相切∠CAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？的角叫做弦切角顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？××××√如图，说出图中所有的弦切角及其所夹的弧。弦切角∠MAB和∠MBA夹的弧都是弦切角∠ABQ和∠BAP夹的弧都是从数学的角度看，弦切角能分成几大类？猜想一下：
弦切角与弦切角所夹的弧所对的圆周角有
什么关系？
动动手、画一画、想一想圆心在弦切角外圆心在弦切角的边上圆心在弦切角内 圆心O在弦切角∠BAC的边AC上时，
根据切线性质， ∠BAC＝90°，
所夹的弧 对的圆周角∠APC
是直径对的圆周角， ∠AP C＝90°∠BAC＝ ∠APC·ABCOmP猜想：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 圆心O在弦切角∠BAC的外部时.∠BAC＝ ∠APCA·OCBmQP作⊙O的直径AQ，
∵∠BAQ=∠ACQ=90°
∴∠BAC=90 °-∠1,
∠Q=90 °-∠1
∴ ∠BAC= ∠Q
又∵ ∠Q= ∠APC1连结CQ 圆心O在弦切角∠BAC的内部时.∠BAC＝ ∠APC·BCOmAPQ作⊙O的直径AQ，连结QP
∵∠BAQ=∠APQ=90°
∴∠BAC=90 °+∠1,
∠APC=90 °+∠2
又∵ ∠1= ∠212∠BAC＝ ∠APC弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的 圆周角。·ABCOmPA·OCBmQP1·BCOmAPQ12如图，DE切⊙O于点A，说出图中所有相等的角。∠DAC＝ ∠ABC
∠EAB＝ ∠ACB.OABCDEF∠EAC＝ ∠ABF
（等角的补角相等）我掌握了吗？如图，AB是⊙O的直径，DE切⊙O于点C。若∠ACD=40°，则∠BAC=（ ）
A、30°；B、40°；C、50°；D、60°。C如图，BC切⊙O于点B，圆心O在AC上，∠A＝25°，那么∠ABC＝ .·ABOD如图，BC切⊙O于点B，圆心O在AC上，∠A＝25°，那么∠ABC＝ .·ABCOD连结BD，∵ AD是直径 ∴ ∠ABD＝90 °∴ ∠ABC＝ ∠CBD+ ∠CBD ＝ 25°+ 90 °=115 °115 °∵ BC切⊙O于点B ∴ ∠CBD＝ ∠A＝25°如图，BC切⊙O于点B，圆心O在AC上，∠A＝25°，那么∠ABC＝ .·ABCOD∵ AO=BO ∴ ∠OAB＝ ∠OBA=25 °∴ ∠ABC＝ ∠OBC+ ∠ABO ＝ 90°+ 25 °=115 °115 °连结OB
∵ BC切⊙O于点B ∴ ∠OBC＝ 90°弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。∠ DAB＝ ∠EAC推论：两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角相等。如图:DE切⊙O于点A ，AB、AC是⊙O的弦，若AB=AC，且∠DAB=45°，则∠BAC= （ ）
A、45°；B、50°；C、60°；D、90°。D例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证：AC平分∠BAD.例题解析·OABCDE·OABCDE123例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证：AC平分∠BAD.例题解析·OABCDE1234例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证：AC平分∠BAD.例题解析考题回放 如图:已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,∠A=28°.
(1)求∠ACM的度数;
(2)在MN上是否存在一点D,AB·CD=AC·BC,为什么?
(2001年 广东广州)D2、定理的发现1、概念的引入小结：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。推论：两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角相等。 一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质。4、应用与推论3、定理的证明（完全归纳法）小结：作业：P117 4、5思考题: 如图，BC切⊙O于B，CE⊥AF于E，AF是直径，求证：CD＝CB.O·ABCDEF你能想出多少种解法？课件16张PPT。弦切角制作：登封市直二初中 行红雨回顾与扩展1.回忆 :什么叫圆周角?
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角2.什么叫圆周角定理?一条弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半3.圆周角定理分几种情况证明?c1OAOAOACBCCBBDD(1)(2)(3)定义: 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆
相切的角叫做弦切角∵AB是⊙O 的切线
∴∠BAC=900(1)圆心O在∠BAC的边AC上ABOCPm又∵弧AmC是半圆.
∴∠P=900∴∠BAC=∠P(2)圆心0在∠BAC的外部ＡＢＣＯＰＱｍ１ 作⊙O的直径AQ,连结CQ,∵∠BAQ=∠ACQ=900∴∠BAC=900-∠1
∠Q=900-∠1∴∠BAC=∠Q又∵∠Q=∠P∴∠BAC=∠P(3)圆心0在∠BAC的内部ＡＢＯＤＣＰＱｍ 作⊙O的直径AQ,连结CQ. ∵∠BAC=1800-∠DAC
∠P=1800-∠Q又由(2)可知, ∠DAC=∠Q∴∠BAC=∠P弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.1.弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.2.弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.弦切角定理练习1、如图:PA是⊙O的切线,切点是A，PFC经过点O，连结AC、AF。OACPG找出图中所有的弦切角、并指出图中相等的角。F练习题1、如图：AB为⊙O的直径,直线EF切于⊙O于C,若∠BAC=56°，则∠ECA = ＿＿度 A BCEFO56°34 2 、如图：四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是（ ）。 A、38°B、52°C、68° D、42°38°BOABCMND 3、如图：AB切⊙O于点A，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3?1，则夹劣弧的弦切角∠BAC=＿＿。45° OABD C练习2、如图DE切⊙O于A,AB,AC是⊙O的弦,若AB=AC,那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么?推论:
如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等.OABCDE⌒⌒例1如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D. 求证(1)AC平分∠BAD.O
ABCDE12证明：连结BC．
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°
∠B+∠CAB=90°
∵AD⊥CE ∴ ∠ADC=90°
∠DAC=∠CAB
即AC平分∠BAD．(2)AC2=2AD·AO 思路二:连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2O
ABCDE312 5、如图：经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交C.求证:(1)∠ATC=∠TBC, (2)CT =CB·CA2OABCT弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.ACPOBABCPOABCPO化归化归分类讨论完全归纳法弦切角定理(1)(2)(3)课件13张PPT。弦切角PAB弦切角教学目标：1、理解弦切角的概念，掌握弦切角的定理；2、能初步运用定理进行计算和证明；3、通过弦切角定理的证明使学生进一步了解从
特殊到一般及分情况证明数学命题的思想和方法。教学重点、难点：定理的发现及证明。复习提问：1、什么叫圆心角？2、什么叫圆周角？圆周角定理是什么？答：顶点在圆心的角叫圆心角。答：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。3、什么叫直线与圆相切？(1) 顶点在圆上；(2) 一边和圆相交；(3) 一边和圆相切。 如图所示，点C在圆上，CA与圆相交，CB与圆相切，∠ACB是圆周角吗？∠ACB的特征：弦切角：
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。三要素判别下列图形中的角是不是弦切角，并说明理由。注意：弦切角的定义三要素缺一不可！1、右图中AB切⊙O于A，
弦切角∠CAB所夹的弧是________，
所夹弧对的圆周角是_______，
这时∠CAB与∠P的大小__________2、若C在图中⊙O上运动，
a、随着弦切角∠CAB的增
大∠P怎样变化？
b、当AC经过圆心时，∠BAC=____，
∠P=____，得∠ BAC______∠P。AmC∠P相等C弦切角等于所夹弧对的圆周角。求证：∠BAC＝∠P∴ ∠BAC＝∠Q( 1 ) 圆心O在∠BAC的外部 ∵∠BAQ＝∠ACQ＝90°∴∠BAC＝90°－∠CAQ∠Q＝90°－∠CAQ作⊙O的直径AQ，连结CQ( 2 )圆心O在∠BAC的边AC上∵ AB是⊙O的切线，
∴ ∠BAC＝90°∴ ∠BAC＝∠P( 3 ) 圆心O在∠BAC的内部 ∴ ∠BAC＝∠P∠DAC＝∠Q∠P＝180°－∠Q作⊙O的直径AQ，
连结CQ∵∠BAC＝180°－∠DAC弦切角等于所夹弧对的圆周角。∠1= ；∠2= ；∠3= ；∠4= 。课堂练习：1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：OOOAAABBB30o70o25o312430o70o65o80o40o2选择：
AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点，
若∠BPC=30°，则∠BCP=（ ）。
A、 30°B、 60°C、 15°D、22. 5°A例题已知、经过上⊙O的点T的切线和弦AB
的延长线相交于点C.
求证:∠ATC=∠TBC.图中有哪些角是弦切角?证明：∵CT切⊙O于T，∴∠DTA=∠ABT∵∠ATC+∠ATD=180°∠ABT+∠TBC=180°∴∠ATC=∠TBC练习已知:AB是⊙O的直径,AC是弦,
直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足是D.
求证:AC平分∠BAD.证明：连结BC.∴∠ABC=∠ACD，∵CD切⊙O于C，∵AB为⊙O直径，∠ACB=90°，∴∠ABC与∠BAC互余。∵AD⊥CE，∴∠ADC=90∴∠ACD与∠CAD互余。∴∠BAC=∠DAC∴AC平分∠BAD。小结:1、弦切角的概念、定理、
弦切角定理及初步应用。2、弦切角定理的发现与证明
是从特殊情况入手，再推广到一般
的过程，这是解决数学问题的一种
重要方法，其证明体现了分情况证
明数学命题的思想和方法，课件10张PPT。弦切角PAB复习提问：1、什么叫弦切角？答：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角等于所夹弧对的圆周角。2、弦切角定理是什么？ 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角_____________.推论：3、也相等。练习一：
直线MN切⊙O于点A
（1）找出图中每条劣弧所对或所夹的角。
（2）判断这些角的大小关系，说明理由。练习二：
PM、PN是⊙O的切线， A、B为切点，点C在⊙O上你能找出哪些相等的角？ 练习三：
⊙O的直径AC是⊙O`的切线，⊙O`的直径AD是⊙O的切线，且C、B、D在一条直线上。试说明△ABC和△DBA的关系。为什么？例1：
已知：∠１＝∠２，MN切⊙O于点D。
求证：BC∥MN证明：连结CD，
则∠CDN=∠1，又∠1=∠2
∴∠CDN=∠2
∵∠2=∠BCD
∴∠BCD=∠CDN
∴BC∥MN证明：连结OC,OD,OB，
∵ MN切⊙O于点D
∴CD⊥MN,又∵∠1=∠2
∴∠BOD=∠COD ,又∵OB=OC
∴OD⊥BC , 又∵MN⊥OD
∴BC∥MN例2：
⊙O和⊙O`都经过A 、B两点，AC是⊙O` 的切线，交⊙O于点C， AD是⊙O的切线，交⊙O`于点D。
求证：AB2=BC·BD欲证： AB2=BC·BD△ACB∽△DAB∠1=∠C∠2=∠DAC是⊙O` 的切线AD是⊙O的切线例3：
已知：如图，△ABC内接于⊙O ，PA是⊙O的切线， A为切点。PD∥BC，交AB于D，交AC于E求证：AD·PE=PA·AE证明：∵ PA是⊙O的切线
∴∠Ｂ＝∠ＰＡＣ
∵ PD∥BC
∴∠ＡＤＰ＝∠Ｂ
∴∠ＰＡＣ＝∠ＡＤＰ
∵∠Ｐ＝∠Ｐ
∴△ＡＰＥ∽△ＤＰＡ
∴
∴AD·PE=PA·AE
练习四：
已知：如图， ⊙O为△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点A，BD∥EF，交AC于D，
求证：AB2=AC·AD练习五：
已知：如图，BC与⊙O相切于点B， AF为⊙O的直径，CE⊥AF ，垂足为E，CE交AB于D
求证：CD=CB课件11张PPT。弦切角使PA与圆相切定义：
顶点在圆上，一边和圆相交、另一
边和圆相切的角叫做弦切角。1、观察下面的图形，
哪些角是弦切角？1弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的
圆周角。推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角也相等。例、如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，
直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE,垂足为D.
求证：AC平分∠BAD练习：P108 、2家庭作业：一课一练习
P64第二大题
