2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：数列解答题（解析版）
1. （2023年广东省江门市）已知数列中，，，数列是等差数列，且．
（1）求，和数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），，；
（2）
【解析】
【分析】（1）直接代入可算出，的值，进而可求公差，即可求得的通项公式；
（2）由（1）和题意可求得数列的通项公式，再用裂项相消法可求.
【小问1详解】
因为，所以，，
又数列是等差数列，设公差为，则，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，所以，
，所以数列的前n项和
.
2. （2023年广东省湛江市）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设的公差为，由等比中项的性质有可求，进而写出的通项公式；
（2）应用累加法求的通项公式，再由裂项相消法求的前项和.
【详解】（1）设数列的公差为，由，有：，解得或(舍去)
∴.
（2），
∴，将它们累加得：
∴，则.
3. （2023年广东省潮州市）已知公差不为0等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式及；
（2）求证：．
【答案】（1），；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求得，
（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可证得结论.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，得，
即，由，，成等比数列，得，
即，又得，所以，，
故数列的通项公式为，，
【小问2详解】
证明：所以，
所以
，
因为，所以，
所以 ，
所以.
4. （2023年广东省深圳市）已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系，证明常数即可；
（2）求出的通项公式，运用裂项相消法求解.
【小问1详解】
，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，则；
【小问2详解】
，
，
；
综上，，.
5. （2023年广东省佛山市）记数列的前n项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若对任意，，求m的最小整数值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由与的关系结合等差定义得出；
（2）法一，由错位相减法，结合不等式的性质得出m的最小整数值；法二，令，证明是常数列，从而得出,结合不等式的性质得出m的最小整数值；
【小问1详解】
因为，所以，
两式相减得，即，
又，所以，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
【小问2详解】
（法一）因为，设，
所以，，
两式相减得：
，
所以，
因为，所以m的最小整数值是2.
（法二）设，，则，
所以，
所以，
所以，即是常数列.
所以，所以.
因为，所以m的最小整数值是2.
6. （2023年广东省揭阳市）已知数列的各项均为正数，，给出以下三个条件：
①；②为等比数列；③．
（1）从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；
（2）求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将①②作为条件，③作为结论，与将②③作为条件，①作为结论，利用等比数列通项公式求得基本量即可得解；将将①③作为条件，②作为结论，联立方程求得，从而利用等比数列的定义判断即可；
（2）利用错位相减法即可得解.
【小问1详解】
若将①②作为条件，③作为结论：
设数列的公比为，由，得，
因为数列的各项均为正数，所以，解得，
又，所以，
所以.
若将①③作为条件，②作为结论：
联立，解得，所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以当时，，所以为等比数列.
若将②③作为条件，①作为结论：
设数列的公比为，因为，所以，
则，
又数列的各项均为正数，所以，所以，
所以，即.
【小问2详解】
由（1）得，所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
7. （2023年广东省中山市）已知各项均为正数的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和．
【答案】（1）
（2）3181．
【解析】
【分析】（1）设等比数列的公比为q，然后根据题意列出等式，进行联立即可得到，，即可求解；
（2）先得到的前50项是由的前5项与的前45项组成，然后利用分组求和法即可求解
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，由题意得，
因为等比数列中，，所以，又，解得，
所以，即的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）知，
因为，，
所以的前50项是由的前5项与的前45项组成，
记的前50项的和为，则
．
所以的前50项的和为3181．
8. （2023年广东省珠海市）已知数列，满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若等差数列的公差为成等比数列，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先对递推式变形得，作差即可得，再利用等差中项证明数列是等差数列；
（2）利用等比中项及等差数列基本量的运算求得，然后利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
由，得，
所以，两式相减得，
即，所以数列是等差数列.
【小问2详解】
由等差数列的公差为2，得，
因为成等比数列，所以，即，解得，
所以，
所以，
所以.
9. （2023年广东省汕头市）已知正项数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案；
（2）将变形得，利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论.
【小问1详解】
①，
当时，②，
①-②得，
整理得，，
，
又当时，，解得，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
；
【小问2详解】
由（1）得，
，
，即
.
10. （2023年广东省阳江市）设数列满足，．
（1）证明：．
（2）设数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知构造比值式再结合基本不等式证明即可；
（2）由（1）的结论可得，利用迭代法得，结合等比数列求和计算即可.
【小问1详解】
∵数列满足，，
∴易知，且，当且仅当时取得等号，
故．
【小问2详解】
由（1）可得．
从而，
∴．
11. （2023年广东省汕尾市）如图，正方形的边长为1，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，以此方法一直继续下去．
（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）假设第n（）个正方形的面积为，求数列的前n项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知可得正方形面积依次排成一列，构成等比数列，再利用等比数列前n项和公式求解作答.
（2）由（1）中信息，利用错位相减法求和作答.
【小问1详解】
正方形边长为1，正方形边长为，因为任意两个正方形是相似的，其面积的比是边长的平方比，
因此从正方形开始，所作各正方形面积依次排成一列得等比数列，其首项为1，公比为，
所以连续10个正方形的面积之和.
【小问2详解】
由（1）知，数列为等比数列，，，有，
则，
于是，
两式相减得，
所以2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：数列解答题（原卷版）
1. （2023年广东省江门市）已知数列中，，，数列是等差数列，且．
（1）求，和数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
2. （2023年广东省湛江市）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
3. （2023年广东省潮州市）已知公差不为0等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式及；
（2）求证：．
4. （2023年广东省深圳市）已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
5. （2023年广东省佛山市）记数列的前n项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若对任意，，求m的最小整数值.
6. （2023年广东省揭阳市）已知数列的各项均为正数，，给出以下三个条件：
①；②为等比数列；③．
（1）从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；
（2）求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
7. （2023年广东省中山市）已知各项均为正数的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和．
8. （2023年广东省珠海市）已知数列，满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若等差数列的公差为成等比数列，求数列的前项和.
9. （2023年广东省汕头市）已知正项数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
10. （2023年广东省阳江市）设数列满足，．
（1）证明：．
（2）设数列的前n项和为，证明：．
11. （2023年广东省汕尾市）如图，正方形的边长为1，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，以此方法一直继续下去．
（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）假设第n（）个正方形的面积为，求数列的前n项和．
