2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：圆锥曲线解答题
（解析版）
1. （2023年广东省潮州市）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，当的面积为时，求直线的方程．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据所给的条件，即可求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，用面积公式和弦长公式即可求出m.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，
依题意可得，又，所以，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
根据题意，设点，，
联立直线方程与椭圆方程可得，，消去得，
，即得，，
由弦长公式可得，
由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为，，
所以，
当且仅当，即时，面积取得最大值为，
此时直线的方程为
2. （2023年广东省湛江市）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件确定a,b的值，从而可得椭圆方程；
（2）讨论直线AB的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B坐标表示，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点.
【小问1详解】
由题意点是椭圆的一个顶点，知，
因为是等腰直角三角形，所以，即，
所以椭圆的标准方程为：．
【小问2详解】
若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．
由，得，
由题意知，设，，
所以，，
因为，所以
，
所以，整理得，
故直线的方程为，即，
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在，设其方程为，，．
由题意得，解得，
此时直线的方程为，显然过点．
综上，直线过定点．
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用，的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性
3. （2023年广东省江门市）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线方程可确定焦距，再结合离心率和椭圆的关系可求得椭圆方程；
（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据三角形面积公式可知所求面积之比为，利用可构造不等式求得的范围，从而确定面积之比的取值范围.
【小问1详解】
双曲线的方程可化为，其焦距为，
设椭圆的焦点为，，解得：，
又椭圆的离心率，，，
椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知：，，，
由题意知：直线斜率不为，则可设，，，
由得：，则，
，；
，，
；
，
又，，
，即，
又，，
设，则，，解得：，
，即与的面积之比的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题重点考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积相关问题的求解；解题关键是能够将问题转化为变量的取值范围的求解问题，利用非对称韦达的处理方法，结合的范围可构造不等式求得结果
4. （2023年广东省汕头市）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且.
（1）求曲线和曲线的标准方程；
（2）过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解 ，进而可根据 的关系求解，
（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求解最值.
【小问1详解】
椭圆，
又,
椭圆,
抛物线
【小问2详解】
因为直线斜率不为0，设为，
设，联立
整理得，.
所以，
所以，
，
设四边形的面积为，
则，
令，再令，
则在单调递增，
所以时，，
此时取得最小值4，所以.
【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到面积的关系，对于简化计算起到了重要的作用
5. （2023年广东省阳江市）已知椭圆的焦距为，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设点、、，将直线方程与椭圆的方程联立，由可得出，由韦达定理求出点的坐标，根据结合斜率关系可得出，代入结合可得出的取值范围.
【小问1详解】
解：由题意可知，所以，所以①，
又，所以②，
由①②可得，，所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
解：设点、、，
联立，得，
由题知，可得③，
由韦达定理可得，
，从而，
，
，则，即④，
把④代入③得，解得，又，故的取值范围是．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
6. （2023年广东省深圳市）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）运用双曲线的焦点到渐近线的距离为b，双曲线的离心率公式计算即可.
（2）联立直线PQ方程与双曲线方程，运用韦达定理计算可得，设出直线AP、AQ方程，联立双曲线方程可求得、、、，进而求得的范围，再结合可求得结果.
【小问1详解】
由题可知是双曲线的一条渐近线方程，右焦点为，
所以右焦点到渐近线的距离，
又因为，所以，则依题意可得，
由离心率，解得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
如图所示，
由（1）知，，
设直线的方程：，
由得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以解得，
，
所以，
设，且，
所以，即，所以，
又因为，所以，
由，得，
所以，同理可得，
由得，
所以，同理可得，
所以
，
令，由，得，
所以，
令，
因为在区间上为增函数，
所以的取值范围为，
又因为，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围
7. （2023年广东省汕尾市）已知抛物线过点（）．
（1）求C的方程；
（2）若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由抛物线过点，代入原式方程可得抛物线方程；
（2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案.
【小问1详解】
∵抛物线过点，
∴．
又∵，∴，
上故的方程为．
【小问2详解】
设，，
由（1）知，抛物线的焦点为，
∵直线的斜率为，且过点，
∴直线的方程为，
联立得，则．
∴，
故线段的长度为．
8. （2023年广东省揭阳市）已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
（1）求的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）直线恒过定点，定点坐标为，
【解析】
分析】（1）利用抛物线焦点坐标求得，从而得解；
（2）联立直线与抛物线方程得到，再由，与抛物线相切求得，化简即可得到，从而得解.
【小问1详解】
由题意得，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
直线恒过定点，定点坐标为，
由题意可知直线斜率不为0，设直线，
联立，得，
则，
由题意可知直线斜率均存在，且不为0，，
设直线，与联立得，
则，又，则，解得，
所以直线，即，
同理直线，
又点在上，所以，
消去得，即，
所以，
又，所以，所以，解得，
所以直线，故直线恒过定点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：圆锥曲线解答题
（原卷版）
1. （2023年广东省潮州市）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，当的面积为时，求直线的方程．
2. （2023年广东省湛江市）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
3. （2023年广东省江门市）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
4. （2023年广东省汕头市）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且.
（1）求曲线和曲线的标准方程；
（2）过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值.
5. （2023年广东省阳江市）已知椭圆的焦距为，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．
6. （2023年广东省深圳市）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.
7. （2023年广东省汕尾市）已知抛物线过点（）．
（1）求C的方程；
（2）若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
8. （2023年广东省揭阳市）已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
（1）求的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
