2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：排列组合、二项式定理等解答题（解析版）
一、排列组合
1. （2023年广东省肇庆市）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数．
（1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
（2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
【答案】（1）72 （2）48
【解析】
【分析】（1）先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解；
（2）先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解.
【小问1详解】
从1，3，5中选一个填入个位，有种，
剩余四个位置全排列，有种，
故共有个．
【小问2详解】
3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有种，
其他位置进行全排列，有种，
故共有个．
二项式定理
1. （2023年广东省珠海市）二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
【答案】（1）6 （2）常数项为960，二项式系数最大的项为
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数即可列式子求解，
（2）根据二项式展开式的通项特征，即可求解.
【小问1详解】
展开式前三项的二项式系数和为22，
或（舍），
故的值为6.
【小问2详解】
由题可得，展开式中最大的二项式系数为，
展开式中二项式系数最大的项为第4项，
即；
设展开式中常数项为第项，
即，
令，得，
，
故展开式中的常数项为第5项，即960.
2. （2023年广东省中山市）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.
（1）求的值；
（2）若展开式中的常数项为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数的定义及组合数计算即可；
（2）设二项式的展开式通项，待定系数计算即可.
【小问1详解】
因为前三项的二项式系数之和等于79，所以，
解得或.因为，所以.
【小问2详解】
设的通项为，
所以当时，，
此时，常数项为，解得.
3. （2023年广东省东莞市）从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从的展开式推广到的展开式.
（1）写出的展开式中含的项（记为），并求该项的系数；
（2）写出的展开式的通项公式，并解释其正确性．
【答案】（1）；
（2），其中，且为自然数，
，解释见解析
【解析】
【分析】（1）利用的展开式可得，结合，即可求得答案；
（2）利用二项展开式可知，将化为，即可推出结论.
【小问1详解】
由二项展开式可知，
则，
其中，且为自然数，
故的系数为时的值，即有，
系数为560.
【小问2详解】
的展开式的通项公式为，
其中，且为自然数.
解释：
由二项展开式可知，
则
，
其中，且为自然数，
故的展开式的通项公式为，
其中，且为自然数.
一元线性回归模型
1. （2023年广东省东莞市）某公司近5年产品研发年投资额（单位：百万元）与年销售量（单位：千件）的数据统计表如下：
年投资额 1 2 3 4 5
年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5
（1）根据上表数据画出年投资额与年销售量的散点图；
（2）该公司计划用非线性经验回归方程作为年销售量关于年投资额的回归分析模型，并对年销售量取对数，得到如下数据表：
年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5
0 0.4 1.1 1.7
请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程．
参考数据与公式：；对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）直接在坐标系内描点即可；
（2）对非线性经验回归方程两边同时取对数，得到和之间的线性回归方程，利用最小二乘法估计公式求出和，将求出的回归方程代入，解出即可.
【小问1详解】
散点图如下：
【小问2详解】
由得，由于令，即，
由已知得，，
则，
，
所以，即，
故年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程为.
2. （2023年广东省江门市）台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美．2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：
x 2 3 4 6 8 10 13
y 13 22 31 42 50 56 58
根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：；模型②：
（1）求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（2）比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）
线性回归方程的系数：
，；
模型的决定系数：．
参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中．
【答案】（1）
（2）模型①中的决定系数小于模型②的决定系数；模型②的拟合效果更好；人工投入增量至少需要20人.
【解析】
【分析】（1），先求出关于的线性回归方程，进而可求y关于x的回归方程；
（2）代入公式分别求出模型①和模型②的决定系数比较大小即可，进而可判断模型②的拟合效果更好；再通过解不等式即可得至少人工投入增量人数.
【小问1详解】
令，则模型②为：，
由，，，，
得，
，
所以模型②中y关于x的回归方程是.
【小问2详解】
模型①中的决定系数，
模型②的决定系数，
因为，所以模型①中的决定系数小于模型②的决定系数，
所以模型②的拟合效果更好.
在模型②下，年收益增量超过80万元，
则有，所以，
所以人工投入增量至少需要20人.
四、2X2列联表
1. （2023年广东省潮州市）2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船．这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术．这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域．近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足．某调查机构为了解高三学生在志愿填报时，对考古专业的态度，在某中学高三年级随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如表所示，依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？
男生 女生 总计
不填报 5 7 12
填报 7 1 8
总计 12 8 20
附：．
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联．
【解析】
【分析】先根据公式求出，再由独立性检验的意义判定即可.
【详解】根据列联表中的数据，经计算得到．
根据小概率值的独立性检验，即可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联.
2. （2023年广东省佛山市）ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万人） 3.6 6.4 11.7 18.8 27.5
（1）根据表中数据信息及模型①与模型②，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；
（2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
基本适应 不适应
年龄小于30岁 100 50
年龄不小于30岁 75 75
根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考数据：，；，.
15 55 979 68 264 1122
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）模型②，
（2）认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关
【解析】
【分析】（1）根据数据分析，函数和一次函数模型差距较大，选择模型②：. 然后结合线性回归分析，求得函数;
（2）列联表，计算卡方，然后对比的数据，做出判断即可；
【小问1详解】
选择模型②：.
记，则.
由题知，，，，，
所以，，
所以，即y关于x的回归方程为.
【小问2详解】
由题意，得到列联表：
基本适应 不适应 合计
年龄不小于30岁 75 75 150
年龄小于30岁 100 50 150
合计 175 125 300
，
根据的独立性检验，认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
三角函数与解三角形
1. （2023年广东省梅州市）已知函数，且.
（1）求实数a的值；
（2）若，求函数的值域.
【答案】（1）3 （2）.
【解析】
【分析】（1）代值计算即可求出值.
（2）求出在区间上的值域，再利用二次函数求解作答.
【小问1详解】
因为函数，，
于是，即，解得，
所以实数a的值为3.
【小问2详解】
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，于是，
由（1）知，
，
因此当时，，当时，，
所以函数的值域是.
2. （2023年广东省湛江市）已知在中，，分别是角所对的边.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）因为且，可得：，代入正切的倍角公式即可得解；
（2）由题意可得：，所以，，由正弦定理，得，代入面积公式即可得解.
【详解】（1）因为且，
∴
∴
（2）由，得，
由，所以，
则，
由正弦定理，得，
∴面积为.
【点睛】本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题.
3. （2023年广东省梅州市）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，由正弦定理得到，不妨设，，得到.延长至点, 使得, 连接，构造相似三角形，在中，由余弦定理得到，由基本不等式求出，得到角平分线长的最大值.
【小问1详解】
由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为为角A角平分线，所以，
又，所以，所以，
不妨设，，则，故，
延长至点E，使得，连接，
则，又，
所以，故，，
则，，
则，，
在中，由余弦定理，得，
即，
因为，所以，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，故.
所以长的最大值为.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
4. （2023年广东省阳江市）记的内角的对边分别为，已知，且.
（1）证明：；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式以及正弦定理角化边化简可得，继而利用余弦定理化简即可证明结论；
（2）由利用正弦定理边化角结合二倍角公式化简可得，利用为锐角三角形，求出角C范围，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：依题意知，
故，即，
由余弦定理得，
代入可得，
因为，所以，即；
【小问2详解】
由题意为锐角三角形，且，
由（1）知，则，
由正弦定理得，
，其中为锐角，所以，
因为，则，解得，
则，则，即，
因此.
5. （2023年广东省深圳市）记的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理进行变化角处理，再结合三角恒等变换，从而求得角的大小；
（2）结合余弦定理与已知，可求得值，再根据面积公式即可求得的面积.
【小问1详解】
由正弦定理及，得，
又，
，
，
.
【小问2详解】
记的面积为，由余弦定理，
及，可得，
将代入上式，得，故，
.
6. （2023年广东省汕尾市）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解；
（2）利用余弦定理及面积公式求出、，即可得解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，，为外接圆的半径，
∴．
∵，∴．
又，∴．
【小问2详解】
由（1）知，又∵，
由余弦定理，得①，
由题意知，即②，
联立①②得，所以，故．
7. （2023年广东省汕头市）在中，为上一点，，，.
（1）若，求外接圆的半径；
（2）设（为锐角），若，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可求出，再根据正弦定理即可求出；
（2）由题意可知，由平方关系求得，设，在中由余弦定理即可求出的值，由正弦定理可求得，再根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】（1）由余弦定理得，解得；
又，解得；∴外接圆的半径为.
（2）由，所以，所以；
由，得；
设，则，，
在中，，，，，
由余弦定理得，解得；
所以，；
由正弦定理，即，解得；
所以，即的面积为.2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：排列组合、二项式定理等解答题（原卷版）
一、排列组合
1. （2023年广东省肇庆市）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数．
（1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
（2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
二项式定理
1. （2023年广东省珠海市）二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
2. （2023年广东省中山市）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.
（1）求的值；
（2）若展开式中的常数项为，求的值.
3. （2023年广东省东莞市）从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从的展开式推广到的展开式.
（1）写出的展开式中含的项（记为），并求该项的系数；
（2）写出的展开式的通项公式，并解释其正确性．
一元线性回归模型
1. （2023年广东省东莞市）某公司近5年产品研发年投资额（单位：百万元）与年销售量（单位：千件）的数据统计表如下：
年投资额 1 2 3 4 5
年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5
（1）根据上表数据画出年投资额与年销售量的散点图；
（2）该公司计划用非线性经验回归方程作为年销售量关于年投资额的回归分析模型，并对年销售量取对数，得到如下数据表：
年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5
0 0.4 1.1 1.7
请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程．
参考数据与公式：；对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
2. （2023年广东省江门市）台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美．2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：
x 2 3 4 6 8 10 13
y 13 22 31 42 50 56 58
根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：；模型②：
（1）求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（2）比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）
线性回归方程的系数：
，；
模型的决定系数：．
参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中．
四、2X2列联表
1. （2023年广东省潮州市）2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船．这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术．这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域．近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足．某调查机构为了解高三学生在志愿填报时，对考古专业的态度，在某中学高三年级随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如表所示，依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？
男生 女生 总计
不填报 5 7 12
填报 7 1 8
总计 12 8 20
附：．
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
2. （2023年广东省佛山市）ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万人） 3.6 6.4 11.7 18.8 27.5
（1）根据表中数据信息及模型①与模型②，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；
（2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
基本适应 不适应
年龄小于30岁 100 50
年龄不小于30岁 75 75
根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考数据：，；，.
15 55 979 68 264 1122
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
三角函数与解三角形
1. （2023年广东省梅州市）已知函数，且.
（1）求实数a的值；
（2）若，求函数的值域.
2. （2023年广东省湛江市）已知在中，，分别是角所对的边.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
3. （2023年广东省梅州市）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
4. （2023年广东省阳江市）记的内角的对边分别为，已知，且.
（1）证明：；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
5. （2023年广东省深圳市）记的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，且，求的面积.
6. （2023年广东省汕尾市）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求．
7. （2023年广东省汕头市）在中，为上一点，，，.
（1）若，求外接圆的半径；
（2）设（为锐角），若，求的面积.
