2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：立体几何解答题（解析版）
1. （2023年广东省江门市）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值．
【小问1详解】
证明：因为平面平面，平面平面，，
平面，所以，平面，
因为平面，因此，.
【小问2详解】
解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
所以，、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
因此，平面与平面的夹角的余弦值为.
2. （2023年广东省湛江市）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.
（1）设平面平面，证明：⊥平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由得到线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，得到，证明出线面垂直，
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.
【小问1详解】
平面平面，
平面.
平面，平面平面，
.
由图①，得，
.
平面，
平面；
【小问2详解】
由题意，得.
又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
设平面的一个法向量为.
则，
令，得，故.
设与平面所成角为.
直线与平面所成角的正弦值为.
3. （2023年广东省潮州市）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，，，．
（1）证明：平面BCD；
（2）若平面DAB与平面CAB的夹角为，求平面ACE与平面BCE的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形的中位线定理可得，，再由可得，再由直角三角形的性质可得，然后由勾股定理的逆定理可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
，分别是线段，的中点，则，，
又，所以，
因为，为的中点，所以，
所以，所以，
又，平面，
所以平面
【小问2详解】
以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
由（1）可得平面，平面，
所以，
所以为平面与平面的夹角，即，所以，
所以，，，，，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，即，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
4. （2023年广东省揭阳市）如图，在四棱锥中，，，，，，．
（1）证明：平面平面PBD；
（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，证明，从而建系，利用空间向量证明，然后结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可；
（2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
，，
,,
,即：.
且，平面,
平面，即两两垂直.
以为原点，建立如图所示直角坐标系，
易得：,
所以,
所以，
所以，平面，平面，
，且平面，
所以平面PAC，且平面PBD，
所以平面平面PBD；
【小问2详解】
因为，
设平面PBC的法向量为，
则,令，则；
又，
设平面PCD的法向量为
则，令，则；
所以，
所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.
5. （2023年广东省汕头市）如图，在五面体中，平面，平面是梯形，，，，E平分．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析;
（2）．
【解析】
【分析】（1）证明出，从而可证明平面，然后可得证面面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角的向量法求得的长，再由线面角的向量法求得结论．
【小问1详解】
由题意，，∴，，
平面，平面，∴，
，平面，∴平面，
平面，∴平面平面；
【小问2详解】
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
平面的一个法向量为，
所以，解得，
∴，又，
，
∴直线与平面所成角的正弦值．
6. （2023年广东省阳江市）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
（1）求证：平面；
（2）已知点在上满足平面，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN.
由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案.
【小问1详解】
证明：连结交于，连结，
因在中，为中点，为中点，则FO .
又平面，平面，故平面；
【小问2详解】
如图连结交延长线于，连结交于，
连结，，，EN
因，则四点共面.
又平面，平面平面，
则，四边形为平行四边形，可得 为中点.
则为BG中点.
即EN为中位线，则ENPG，.
又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD.
从而FDPG，.
7. （2023年广东省深圳市）如图，已知三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，是边长为2的正三角形，且平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点为的中点，点为圆上一点，且与位于直径的两侧，当平面时，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只要证明平面PAC即可；
（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量求解.
【小问1详解】
的中点为等边三角形，，
平面平面，平面平面平面，
平面，
为圆的直径，，
又平面PAC，平面，平面PAC；
平面平面平面；
【小问2详解】
连接OE，OF，由三角形中位线的性质可知，
又平面平面平面，
平面平面平面，
平面平面，平面平面，
由题可知，则，取中点，连接，则平面平面，
由（1）可知平面，即PM，MO，AC两两垂直，以M为原点，如下图：建立空间直角坐标系，
，
，
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，
由（1）可知平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为.
8. （2023年广东省汕尾市）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）求证：平面EDB；
（2）求证：平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD夹角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为，由证明；
（2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明；
（3）求得平面CPB的一个法向量为，易知平面PBD的一个法向量为，由求解.
【小问1详解】
解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别
为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设.
依题意得，，，.
所以，，.
设平面EDB的一个法向量为，
则有即
取，则，
因为平面EDB，因此平面EDB.
【小问2详解】
依题意得，
因为，
所以.
由已知，且，
所以平面EFD.
【小问3详解】
依题意得，且，.
设平面CPB的一个法向量为，
则即，
取.
易知平面PBD一个法向量为，
所以.
所以平面CPB与平面PBD的夹角为.2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：立体几何解答题（原卷版）
1. （2023年广东省江门市）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
2. （2023年广东省湛江市）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.
（1）设平面平面，证明：⊥平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
3. （2023年广东省潮州市）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，，，．
（1）证明：平面BCD；
（2）若平面DAB与平面CAB的夹角为，求平面ACE与平面BCE的夹角的余弦值．
4. （2023年广东省揭阳市）如图，在四棱锥中，，，，，，．
（1）证明：平面平面PBD；
（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
5. （2023年广东省汕头市）如图，在五面体中，平面，平面是梯形，，，，E平分．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
6. （2023年广东省阳江市）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
（1）求证：平面；
（2）已知点在上满足平面，求的值.
7. （2023年广东省深圳市）如图，已知三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，是边长为2的正三角形，且平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点为的中点，点为圆上一点，且与位于直径的两侧，当平面时，求平面与平面的夹角的余弦值.
8. （2023年广东省汕尾市）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）求证：平面EDB；
（2）求证：平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD夹角的大小.
