八年级数学上册试题 平行线的判定与性质（7.3-7.4）-北师大版（含答案）

平行线的判定与性质（7.3-7.4）
一．选择题
1．如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠ACE+∠2＝180°；③若∠A＝∠2，则有AB∥CE；④若∠2＝∠E，则有∠4＝∠A．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
2．如图，下列条件：①∠C＝∠CAF；②∠C＝∠EDB；③∠BAC+∠C＝180°；④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．某节数学课上邱老师和诗琪的对话，根据对话内容，判定AE∥CD的依据是（　　）
邱老师：两个直角三角板拼成如图所示的形状，在不添加辅助线的情况下，判断AE与CD的位置关系．
诗琪：AE∥CD．
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角互补，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
4．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（　　）
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．如图，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：
①AB∥CD；②∠AOC＝∠EAD+∠ECD；③若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D＝80°．
其中结论正确的个数有（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，其中∠CAB＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°，有下列结论：
①∠BAE与∠CAD互为补角；
②若∠1＝60°，则AC∥DE；
③若BC∥AD，则BC⊥AE；
④若AB⊥DE，则∠CAD＝135°．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，得到下列结论：
①∠2＝∠3；
②如果∠3＝60°，则AC∥DE；
③如果BC∥AD，则∠2＝45°；
④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
8．如图，EF⊥AB，∠1＝25°，则当AB∥CD时，∠2＝　 　度．
9．将一副直角三角板如图放置，则下列结论：
①∠1＝∠3；②如果∠2＝45°，则有BC∥AE；③如果∠2＝30°，则有DE∥AB；
④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有 　 　（填序号）．
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为　 　．
11．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：
①BC平分∠ABG；
②AC∥BG；
③与∠DBE互余的角有2个；
④若∠A＝α，则∠BDF＝180°﹣．
其中正确的是 　 　．（请把正确结论的序号都填上）
12．若将一副三角板按如图放置，下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝30°，则AC∥DE；③若∠2＝30°，则BC∥AD；④若∠2＝30°，则∠CAD＝150°．其中正确的序号有 　 　．
13．如图，已知∠1＝∠2＝75°，∠3＝50°，则∠B的大小为 　 　．
14．如图：已知点C、D是直线AB上两点，点E，F为平面内两点，且∠ACE+∠FDB＝180°，CF平分∠ECB，EH⊥AB于点H交CF于点O．则下列结论正确的是：　 　．
①EF∥AB；②CE∥DF；③∠FDB＝2∠CFD；④∠FOE＝∠CDF．
15．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　 　（填写序号）．
16．如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　 　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
三．解答题
17．如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上．
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数．
18．如图1，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，若M为线段EF上一定点，P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合）．当点P在射线FC上移动时，求证：∠FMP+∠FPM＝∠AEF；
（3）如图3，当点P在射线FD上移动时，求证：∠FPM+∠AEF＝∠EMP．
19．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝34°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）若∠2＝56°，求证：CF∥AG．
20．如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若AC平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1的度数．
21．（1）如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，连接AP、CP，求证：∠APC＝∠A+∠C；
（2）如图②，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．求证：∠APC＝2∠AEC．
22．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．
（1）求证：ED∥AB；
（2）OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD＝65°，求∠1的度数．
23．如图1，直线AD、BC相交于点O，∠DCP＝∠BCP＝α，∠B＝3α．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝2∠DCP，求∠AOC的度数（用含α的式子表示）；
（3）如图2，若点M在线段AB上，连接OM，作∠OMB的平分线MN交CP于点N，若∠BCD＝n∠MNC，求的值（用含n的式子表示）．
24．如图，BE平分∠ABC交CD的延长线于E，∠ABC＝2∠E，∠ADE＝∠BCD．
（1）请说明AB∥EF的理由；
（2）若AF平分∠BAD交DC的延长线于F，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．
25．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F．
（1）若∠ABC＝60°，则∠ADC＝　 　°，∠AFD＝　 　°；
（2）BE与DF平行吗？试说明理由；
（3）若把题目中的条件“∠A＝∠C＝90°”换成“∠A＝∠C”，其它条件不变，
BE与DF还平行吗？试说明理由．
26．已知：△ABC和同一平面内的点D．
（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．
①依题意，在图1中补全图形；
②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．
（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判断DE与BA的位置关系，并证明．
（3）如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．
27．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？
28．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）
（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．
答案
一．选择题
D．C．A．A．D．C．C．
二．填空题
8．115°．
9．①②④．
10．60°或105°或135°．
11．①②．
12．①②④．
13．25°．
14．②③④．
15．①②③④．
16．15或22.5．
三．解答题
17．解：（1）AB∥CD；
理由：∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴∠EFD＝∠EBC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）∵∠ABC＝130°，∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝130°﹣90°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝40°．
18．（1）证明：如图1，
∵∠2+∠EFD＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）如图2，过点M作MH∥AB，
由（1）得，AB∥CD，
∴MH∥AB∥CD，
∴∠HMF＝∠AEF，∠HMP＝∠FPM，
∵∠HMF＝∠HMP+∠FMP，
∴∠FMP+∠FPM＝∠FMP+∠HMP＝∠HMF＝∠AEF；
（3）过点M作MK∥AB，
由（1）得，AB∥CD，
∴MK∥AB∥CD，
∴∠EMK＝∠AEF，∠KMP＝∠FPM，
∵∠EMP＝∠EMK+∠KMP，
∴∠FPM+∠AEF＝∠KMP+∠EMK＝∠EMP．
19．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE＝34°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝34°；
（2）∵CF⊥CE，
∴∠FCE＝90°，
∴∠FCH＝90°﹣34°＝56°，
∵∠2＝56°，
∴∠FCH＝∠2，
∴CF∥AG．
20．（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠2，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠B+∠BAF＝180°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAF＝144°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠2＝∠BAF＝72°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝72°．
21．证明：（1）过点 P作PQ∥AB．
∵AB∥CD，AB∥PQ，
∴CD∥PQ（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C．
（2）∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP
∴∠EAB＝∠BAP，∠ECD＝∠DCP．
由（1）可知：∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠APC＝∠BAP+∠DCP．
∴∠APC＝2∠BAE+2∠ECD
＝2（∠BAE+∠ECD）
＝2∠AEC．
22．（1）证明：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠1+∠DOB＝90°，
∵∠EDO与∠1互余，即∠EDO+∠1＝90°，
∴∠DOB＝∠EOD，
∴ED∥AB；
（2）∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF＝∠COD＝45°，
由（1）得ED∥AB，
∴∠OFD＝∠FAO，
又∠OFD＝65°，
∴∠FOA＝65°，
∴∠1＝∠FAO﹣∠COF＝65°﹣45°＝20°．
23．（1）证明：∵∠DCP＝∠BCP＝α，
∴∠BCP＝2∠DCP＝2α，
∴∠BCD＝∠BCP+∠DCP＝3α，
∵∠B＝3α，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠D＝2∠DCP，
∴∠D＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝2α，
∴∠AOC＝∠A+∠B＝5α．
（3）解：过点N作NK∥AB，
∵AB∥CD，
∴NK∥CD，∠BMN＝∠KNM，
∴∠KNC＝∠DCN，
∵∠MNC＝∠MNK+∠CNK，
∴∠MNK＝∠BMN+∠DCN，
∴∠BMN＝∠MNC﹣∠DCN，
∵MN是∠OMB的平分线，
∴∠BMO＝2∠BMN＝2∠MNC﹣2∠DCN，
∵∠BCD＝n∠MNC＝3α，
∴∠MNC＝，
∴∠BMO＝2（∠MNC﹣∠DCN）＝2（﹣α），
∵∠A+∠AOM＝∠BMO，
∴∠AOM＝∠BMO﹣∠A，
∴∠MOC＝∠AOC+∠AOM＝∠A+∠B+∠BMO﹣∠A＝∠B+∠BMO＝3α+﹣2α＝α+＝，
∴＝＝＝2+，
∴＝2+．
24．解：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF；
（2）AF与BE的位置关系是垂直，理由如下：
∵∠ADE＝∠BCD．
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABC＝2∠ABE，∠BAD＝2∠BAF，
∴2∠ABE+2∠BAF＝180°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AF⊥BE．
25．解：（1）∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝120°，
∵DF平分∠ADC交AB于F，
∴∠FDA＝ADC＝60°，
∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝30°；
故答案为120，30；
（2）BE∥DF，理由如下：
在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∵BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F，
∴∠ADF＝∠FDC，∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE+∠FDC＝90°，
∵∠AFD+∠ADF＝90°，∠ADF＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ABE，
∴BE∥DF；
（3）BE∥DF，理由如下：
∵∠ADC+∠ABC+∠A+∠C＝360°，∠A＝∠C，
∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣2∠C，
∵BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F，
∴∠CDF＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，
∴∠CBE+∠CDF＝（∠ADC+∠ABC）＝（360°﹣2∠C）＝180°﹣∠C，
∵∠CBE+∠CEB＝180°﹣∠C，
∴∠CBE+∠CDF＝∠CBE+∠CEB，
∴∠CDF＝∠CEB，
∴BE∥DF．
26．解：（1）①补全图形如图1；
②∠EDF＝∠A．
理由：∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF；
（2）DE∥BA．
证明：如图，延长BA交DF于G．
∵DF∥CA，
∴∠2＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3．
∴DE∥BA．
（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．
理由：如左图，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，
∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；
如右图，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，
∴∠EDF+∠BAC＝180°．
27．解：（1）DG∥BC．
理由：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）CD⊥AB．
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×＝45°．
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，
∴CD⊥AB．
28．证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，
∴∠BCM＝3α，
∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，
∴AB∥CD．
解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，
∵AB∥OF，
∴∠B＝∠BOF，
CD∥OF，
∴∠FOD＝∠D，
∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．
证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠QPC＝∠PCD＝α，
∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，
∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，
且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，
∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，
又∵EP平分∠OEB，
∴∠COE＝2∠EPC+∠B．