八年级数学上册试题 15.3 等腰三角形 -沪科版（含答案）

15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质定理及推论
一、单选题
1．已知等腰三角形的两边长为和．且、满足，则这个三角形的三边长分别是（ ）
A．7，7，3 B．3，3，7 C．7，7，3或3，3，7 D．无法计算
2．如图，在中AB＝AC，BC=4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，在中，，的平分线与的中垂线交于点O，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的度数为（ ）
A．70° B．40° C．35° D．30°
5．已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边BC上的中线所在的直线 B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边AB的垂直平分线 D．△ABC的边AC上的高所在的直线
6．等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是（ ）．
A．50° B．65° C．70° D．75°
7．若一个等腰三角形的两边长分别为 ，，则三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．或
8．等腰三角形的顶角为 80°，则它的底角为（ ）
A．100° B．80° C．50° D．50°或 80°
二、填空题
9．如图，已知和均为等边三角形，点O是的中点，点D在射线上，连结，则_________，若，则的最小值=_________．
10．如图，∠AOC=∠BOC=15°，CF∥OA，CE⊥OA于点E，若CF=16，则CE=________.
11．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作．若则该等腰三角形的顶角为_______________．
12．如图①是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt△ABC中，BC＝6，则AB＝_____．
13．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为_________．
14．中，，则______．
三、解答题
15．已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．
16．如图，已知的交点为，；过点作，垂足为．
（1）求证：△≌△
（2）求证：为边的中点．
17．已知等腰三角形的周长是16cm．
（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；
（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；
18．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
19．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
20．如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．
（1）探究、、之间的关系，并说明理由；
（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．
第2课时 等腰三角形的判定定理及推论
一、单选题
1．已知一个等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角为（）
A．20° B．50° C．40° D．20°或80°
2．如图，平分∠，∠=15°，∥，⊥于点，=4，则=( )．
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
3．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A=40°，∠B=50 B．∠A=40°，∠B=60°
C．∠A=40°，∠B=70 D．∠A=40°，∠B=80°
5．如图所示，在中，，，且，则的度数为（ ）
A．22.5° B．45° C．36° D．25°
6．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是（　　）
A．100 B．40 C．55 D．80
7．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于交于，若则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰三角形的底边长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交、于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
9．等腰△ABC周长为18cm，其中两边长的差为3cm，则腰长为_____．
10．由坐标平面内的三点，，构成的是________三角形．
11．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，若，，则的大小为_________度．
12．如图，在中，，，平分，交于点，若，则______________．
13．如图，在△ABC中，，，，，，则_____
14．如图，在锐角中，，点为边上的一定点，连接，，，分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为______；当周长的最小值时， 的度数为______．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF．
（2）若∠ACF＝70°，求∠EAC的度数．
16．如图，是等边三角形，点是的中点，，过点作，垂足为,的反向延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
17．已知中，，为边上的高，平分，分别交、于点、．求证：．
18．如图1，AD∥BC，AB ⊥BC于B，∠DCB=75°，以CD为边的等边△DCE的另一顶点E在线段AB上．
(1)填空：∠ADE=____°；
(2)求证： AB=BC;
(3)如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求的值．
19．在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD与高BE的交点．
（1）求证：△ADC≌△BDF．
（2）连接CF，若CD＝4，求CF的长．
20．在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且.
（1）如图1，当为中点时，求证：；
（2）如图2，若，，求．
第1课时答案
一、单选题
A.D．A．D．A．B. C．C．
二、填空题
9．．
10．8．
11．108°．
12．12．
13．15．
14．50°
三、解答题
15．
解：（1）若该等腰三角形的腰长为，则另外两边的长为，，
根据三角形三边关系∵2＋2＝4＜8，故不能构成三角形；
（2）若等腰三角形的底边长为，则腰长为，
即另外两边的长为，，能构成三角形；
综上所述，该等腰三角形的另外两边的长为，．
故答案为：，．
16．
证明：（1）在和中
∴△≌△ ．
（2）∵△≌△
∴
又∵
∴为△的中线 （三线合一）
即F为BC边的中点
17．
（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4=8cm．
∴等腰三角形的三边长为4cm，4cm，8cm，
又∵4+4＝8，
∴不符合三角形三边关系定理．
∴应该是底边长为4cm．
∴腰长为（16-4）÷2=6cm．
∴等腰三角形的三边长为4cm，6cm，6cm，
又∵4+6>6，符合三角形三边关系定理，
∴另外两边长都为6cm；
综合上述可得，另外两边分别为6cm、6cm．
（2）如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6=4cm．
∴等腰三角形的三边长为4cm，6cm，6cm，
又∵4+6>6，符合三角形三边关系定理．
∴另外两边长分别为6cm和4cm．
如果底边长为6cm，则腰长为（16-6）÷2=5cm．
∴等腰三角形的三边长为6cm，5cm，5cm，
又∵5+5>6，符合三角形三边关系定理，
∴另外两边长都为5cm．
综合上述可得另外两边长分别为6cm、4cm或5cm、5cm．
18．
（1）证明：平分
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB，
；
②，
平分
（2）
理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，
，∠DBC=∠ABC，
又
又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴．
19．
（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，
∴AB′=AC′，
∴∠AB′D=30°，
∴AD=AB′，
∴AD=BC，
故答案为；
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，
在△AB′C′和△ABC中，
，
∴△AB′C′≌△ABC（SAS）
∴B′C′=BC=8，
∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋补中线”，
∴AD=B′C′=4，
故答案为4；
（2）猜想．
证明：如图，延长至点E使得，连接B′E、C′E，
∵AD是△AB′C’的中线，
∴B′D=C′D，
∵DE=AD，
∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∵α+β=180°，
∴∠B′AC′+∠BAC=180°，
∴∠EB′A=∠BAC，
在△EB′A和△CAB中，
∴△EB′A≌△CAB（SAS），
∴AE=BC，
∴AD=BC．
20．
（1）和是等腰三角形，
延长AB至G，使得BG=CF，连接DG
在和中，
BG=CF，
，
在和中，
DE=DE，
，
（2）在CA上截取CG=BE,连接DG
是等腰三角形，
在和中，
CG=BE，
在和中，
FD=FD，
第2课时答案
一、单选题
D．A．A．C.B．D．A．B．
二、填空题
9．5cm或7cm．
10．等腰直角．
11．80．
12．2．
13．11．
14．4，120°．
三、解答题
15．
证明：∵∠ABC＝90°
∴△ABE与△CBF为直角三角形．
∵在Rt△ABE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠ACF＝70°，
∴∠FBC＝25°，
由Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠EAB＝∠FBC＝25°，
∴∠EAC＝20°．
16．
证明：（1）∵点是的中点
∴
∵
∴
在和中
∴≌
∴
∴
∴
（2）∵点是等边中边的中点
∴且平分
∴,
∵
∴
∴
∴是等腰三角形
又∵
∴是中边的中线
又
∴垂直平分．
17．
解析∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．
解：（1）∵∠DCB=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°
∵△DCE为等边三角形，
∴∠EDC=60°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45°．
（2）证明：连接AC
由（1）知∠ADE =45 ，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAB=90 ，
∴∠AED=45 ，
∴AD=AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∵△DCE为等边三角形，
∴CD=CE，
∴点C也在线段DE的垂直平分线上 ，
∴AC就是线段DE的垂直平分线，
即AC⊥DE，
∴AC平分∠EAD，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形
∴BA=BC
（3）解：连接AF，延长BF交AD的延长线于点G
∵∠FBC=30 ，∠ABC=90 ，
∴∠ABF=60 ，
∵∠DCB=75 ，
∴∠BFC=75 ，
故BC=BF，
由(2)知：BA=BC，
∴BA=BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF=FA，
∴∠BAC=60 ，
∴∠DAF=30 ，
又∵AD∥BC，
∴∠FAG=∠G=30 ，
∴FG =FA= FB，
又∠DFG=∠CFB，
∴△BCF≌△GDF（ASA），
∴DF=CF，
∴=1．
19．
（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠FDB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF＝∠FDB＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴由三角形内角和定理得：∠CAD＝∠FBD，
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（ASA）；
（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD＝4，
∴DF＝CD＝4，
在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF＝＝＝4．
20．
（1）当为中点时，在等边三角形中，
由“三线合一”知：，，
又，，
，
，
，，
在中：，
；
（2）如图，作于点，
，，，
在中，，
，，
又，，
，为等腰三角形，
由“三线合一”知：，
．