八年级数学上册试题 15.3.1 直角三角形中30度角的性质定理-沪科版（含答案）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上册试题 15.3.1 直角三角形中30度角的性质定理-沪科版（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 383.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-05 19:53:39 | ||
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文档简介
15.3.1 直角三角形中30度角的性质定理
一、单选题
1．直角三角形中30°角所对的直角边为，则斜边的长为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为（ ）
A．4m B．6m C．8m D．12m
3．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A．6米; B．9米; C．12米; D．15米.
4．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，DE垂直平分AB，∠C=90°，∠BAC=15°若BC=6cm，则AE的长度为（ ）
A．15cm B．12cm C．10cm D．8cm
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点G．若EG=3，则BF=( )
A． B．3 C．2 D．4
6．如图，在中，，于点，如果，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，点D是射线上的一点，且，作点P关于的对称点Q，连接，，．点P从点A出发向点B运动，在这过程中，线段的长度变化情况是（ ）
A．保持不变 B．一直变大 C．一直变小 D．先变小再变大
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果∠DCB=30°，CB=2，那么AB的长为_______．
10．如图，AB＝AC＝6，，BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD＝___________．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝_____cm．
12．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为___(用含t的代数式表示)．
13．如图所示，在中，，将点C沿折叠，使点C落在边D点，若，则______．
14．如图，一副直角三角板的一条边重合，将其置于平面直角坐标系中，其中轴，，，若点D的坐标为，则点C的坐标为_____________．
三、解答题
15．如图，中，为直角，，于，若，求的长．
16．如图，在中，，于点，平分交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
17．如图，中，，
(1)利用尺规作图：作线段的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)
(2)，设与交于点．连结，求的周长．
18．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且和相交于点于．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，，则______．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线MN，交AB于D；
（2）在（1）的条件下，连结CD，求△BCD的周长．
20．已知：如图，点是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
答案
一、单选题
B．B．B.B．D．A．B．B．
二、填空题
9．4
10．3
11．6．
12．．
13．18．
14．．
三、解答题
15．
为直角，，
，
于，
．
，
．
．
16．
解：（1）∵，，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
即．
（2）∵，，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴，．
∴中，，
∴中，，
∴．
17．
解：（1）如图，即为所求．
（2）连接
∵,，
∴，
∵,
∴AB=2，
∵是垂直平分线，
∴，
∴=BD+CD，
∴的周长= BD+CD+BC=AB+BC=1+2=3，
∴的周长是．
18．
（1）证明：∵为等边三角形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）如图
∵，
∴．
∴．
（3）
由（2）得，
由（1）得
19．解：（1）如图，点D即为所求．
（2）在Rt△ABC中，∵AB=8，∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=AB=4，
∵MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠A=∠DCA=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴△BDC的周长为12．
故答案为（1）见解析；（2）△BDC的周长为12.
20．
解：（1）证明：∵△BPD是等边三角形，
∴BP=BD，∠PBD=60°，
∴∠PBC+∠CBD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABP+∠CBP=60°，AB=BC，
∴∠ABP=∠CBD，
在△ABP和△CBD中，
∴△ABP≌△CBD（SAS），
∴AP=CD；
（2）作CM⊥BD交BD的延长线于M．
∵△ABC，△PBD都是等边三角形，
∴BA=BC，BP=BD=PD=10，∠ABC=∠PBD，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△ABP≌△CBD（SAS），
∴∠APB=∠BDC=150°，
∴∠CDM=30°，∠M=90°，
∴CM=CD=，
∴S△APB=S△BCD= BD CM=×10×=．
一、单选题
1．直角三角形中30°角所对的直角边为，则斜边的长为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为（ ）
A．4m B．6m C．8m D．12m
3．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A．6米; B．9米; C．12米; D．15米.
4．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，DE垂直平分AB，∠C=90°，∠BAC=15°若BC=6cm，则AE的长度为（ ）
A．15cm B．12cm C．10cm D．8cm
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点G．若EG=3，则BF=( )
A． B．3 C．2 D．4
6．如图，在中，，于点，如果，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，点D是射线上的一点，且，作点P关于的对称点Q，连接，，．点P从点A出发向点B运动，在这过程中，线段的长度变化情况是（ ）
A．保持不变 B．一直变大 C．一直变小 D．先变小再变大
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果∠DCB=30°，CB=2，那么AB的长为_______．
10．如图，AB＝AC＝6，，BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD＝___________．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝_____cm．
12．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为___(用含t的代数式表示)．
13．如图所示，在中，，将点C沿折叠，使点C落在边D点，若，则______．
14．如图，一副直角三角板的一条边重合，将其置于平面直角坐标系中，其中轴，，，若点D的坐标为，则点C的坐标为_____________．
三、解答题
15．如图，中，为直角，，于，若，求的长．
16．如图，在中，，于点，平分交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
17．如图，中，，
(1)利用尺规作图：作线段的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)
(2)，设与交于点．连结，求的周长．
18．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且和相交于点于．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，，则______．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线MN，交AB于D；
（2）在（1）的条件下，连结CD，求△BCD的周长．
20．已知：如图，点是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
答案
一、单选题
B．B．B.B．D．A．B．B．
二、填空题
9．4
10．3
11．6．
12．．
13．18．
14．．
三、解答题
15．
为直角，，
，
于，
．
，
．
．
16．
解：（1）∵，，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
即．
（2）∵，，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴，．
∴中，，
∴中，，
∴．
17．
解：（1）如图，即为所求．
（2）连接
∵,，
∴，
∵,
∴AB=2，
∵是垂直平分线，
∴，
∴=BD+CD，
∴的周长= BD+CD+BC=AB+BC=1+2=3，
∴的周长是．
18．
（1）证明：∵为等边三角形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）如图
∵，
∴．
∴．
（3）
由（2）得，
由（1）得
19．解：（1）如图，点D即为所求．
（2）在Rt△ABC中，∵AB=8，∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=AB=4，
∵MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠A=∠DCA=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴△BDC的周长为12．
故答案为（1）见解析；（2）△BDC的周长为12.
20．
解：（1）证明：∵△BPD是等边三角形，
∴BP=BD，∠PBD=60°，
∴∠PBC+∠CBD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABP+∠CBP=60°，AB=BC，
∴∠ABP=∠CBD，
在△ABP和△CBD中，
∴△ABP≌△CBD（SAS），
∴AP=CD；
（2）作CM⊥BD交BD的延长线于M．
∵△ABC，△PBD都是等边三角形，
∴BA=BC，BP=BD=PD=10，∠ABC=∠PBD，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△ABP≌△CBD（SAS），
∴∠APB=∠BDC=150°，
∴∠CDM=30°，∠M=90°，
∴CM=CD=，
∴S△APB=S△BCD= BD CM=×10×=．