21.3 二次函数与一元二次方程 同步练习（含解析） 2022-2023学年上学期安徽省九年级数学期末试题选编

21.3 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，则的面积为(　 )
A．6 B．4 C．3 D．1
2．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）若二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
3．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）关于抛物线下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．与y轴交点坐标
4．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
5．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
6．（2022秋·安徽阜阳·九年级统考期末）若二次函数的图象与x轴交于，B两点，则点B的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）以下有关抛物线的结论，正确的是（ ）．
A．开口向上 B．与y轴的交点坐标是
C．与x轴只有一个交点 D．顶点坐标是
8．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
9．（2022秋·安徽安庆·九年级期末）已知抛物线y＝（x﹣a）2+x﹣3a+1与直线y＝a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点，且抛物线的对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞ B．a＞ C．＜a＜ D．﹣＜a＜﹣
10．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）若函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
11．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）平面直角坐标系中，随着m取值的变化，一次函数与函数的图象的公共点的个数分别为（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3
13．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与直线如图所示，则方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）已知函数，若使成立的x值恰好有2个，则k的值为 ．
17．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是
三、解答题
18．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）二次函数的图象与y轴交于点．
(1)求出m的值，并求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(2)x取什么值时，抛物线在x轴上方？
(3)将该抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，请直接写出所得新抛物线的表达式．
19．（2022秋·安徽·九年级统考期末）抛物线与交于点，分别交轴于点，，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．已知，．
(1)求的值．
(2)若点，及都在抛物线上，判断，，的大小关系，并说明理由．
(3)求的值．
20．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
(3)若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
21．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）已知是关于x的一次函数．
(1)当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点？
(2)若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标；
(3)在（2）的条件下，直接写出当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，令分别等于0，求得的坐标，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
在中，当时，
解得：
当时，，
即，
∴
故的面积为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，求得的坐标是解题的关键．
2．A
【分析】当抛物线与坐标轴由三个交点时，抛物线与x轴有两个交点且不经过原点．再利用根的判别式解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=x2+2x-m与坐标轴有三个交点，
∴Δ=4+4m＞0， 解得m＞-1，
∵抛物线不经过原点，
∴m≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数与x轴交点个数由Δ判断，与y轴交点由c判断．
3．D
【分析】根据的图象与性质解答．
【详解】中，
抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
所以选项A、B、C均正确．
令，得
抛物线与y轴的交点坐标为．
因此选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
5．B
【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝﹣1和x＝4的函数值相等，则可对B进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对C进行判断；利用二次函数的性质则可对D进行判断．
【详解】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、抛物线与x轴的交点、图象法求一元二次方程的近似根、根的判别式、二次函数图象与系数的关系，准确计算是解题的关键．
6．A
【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．
【详解】解：∵二次函数为，
∴二次函数的对称轴直线为，
∵，关于对称轴直线为对称，
∴
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．D
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误即可得出结论．
【详解】A.∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，故A错误；
B.∵当x=0时，y=-3，
∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,-3)，故B错误；
C.∵，
∴抛物线与x轴有两个交点，故C错误；
D.∵抛物线，
∴顶点坐标是（2,1），故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题的关键．
8．C
【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致图象，观察图象即可得出结论．
【详解】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
9．B
【分析】根据直线和抛物线有两个不同的交点，由直线和抛物线解析式得出关于x的一元二次方程，通过判别式Δ＞0，求出a的取值，再根据对称轴在y轴右侧，得出a的取值，故可以判断B正确．
【详解】解：∵抛物线y=（x-a）2+x-3a+1与直线y=a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点，
∴（x-a）2+x-3a+1=a，
整理得：x2+（1-2a）x+a2-4a+1=0，
Δ=（1-2a）2-4×1×（a2-4a+1）=1-4a+4a2-4a2+16a-4=12a-3＞0，
∴a＞，
又∵二次函数y=（x-a）2+x-3a+1=x2+（1-2a）x+a2-3a+1对称轴在y轴右侧，
∴-=-+a＞0，
∴a＞，
∴a＞，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，直线与抛物线的交点等知识，关键是对二次函数的图象和性质的掌握．
10．A
【分析】有图可知的顶点纵坐标，可知函数与直线的交点，再将看作是函数向上平移5个单位，结合图象即可得出答案．
【详解】解：函数的顶点的纵坐标为，
直线与函数图象只有一个交点，
相当于函数向上平移5个单位，
关于x的一元二次方程的根的情况为没有实数根．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的平移，能够结合图象得出相关信息是解题的关键．
11．B
【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝ ，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．
【详解】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．
12．A
【分析】根据题意得出直线与二次函数以及的交点，作出图像，即可求解．
【详解】解：如图所示，
即
即，
当，
即时，，
解得：,
则交点坐标为
∵是由向右移动4个单位，
则当时，与只有1个交点
即当或时，两函数图象公共点的个数为1，当时，2个公共点，当时没有公共点，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，数形结合是解题的关键．
13．B
【分析】方程有两个相等实数根，即与只有一个交点，即经过顶点，代入即可求解．
【详解】解：∵方程有两个相等实数根，
∴与只有一个交点，
∴
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键．
14．A
【分析】方程的解就是使成立的未知数值，也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图像即得方程的解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴ 方程的解就是使成立的未知数值，也就是抛物线与直线的交点的横坐标
∵由图像可知，抛物线与直线相交于点（0，-3）和（3，0）
∴方程的解是，．
故选：A
【点睛】本题考查了利用函数图像法解方程，变形得到是关键．
15．A
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解；
【详解】∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
16．k=-1或k>3
【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使成立的x值恰好有2个的k值．
【详解】函数的图象如图：
根据图象知道当或时，对应成立的x值恰好有2个，
所以或．
故答案为或．
【点睛】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
17．或
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解．
【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为，则，
解得：．
∴方程的解为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．
18．(1)，抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入二次函数解析式求得，进而化为顶点式求得顶点坐标，令，解一元二次方程即可求得它与轴的交点；
（2）根据（1）中解析式画出函数图象，结合函数图象即可求得答案；
（3）根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】（1）将点代入二次函数解析式，得
，
抛物线解析式为：．
，
顶点坐标为．
令，即，
，
解得，
抛物线与轴的交点坐标为．
（2）设抛物线与轴的交点为，由（1）可知．
当时，抛物线在x轴上方；
（3）（3），将该抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到的新的抛物线解析式为，
即．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，化为顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，根据交点坐标求不等式的解集，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，，可得，然后代入可得的值；
（2）求出，可得抛物线的对称轴是直线，根据点，及并结合增减性可得，，的大小关系；
（3）求出，两点的坐标，可得的值．
【详解】（1）解：∵，，轴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴的值为．
（2）由（1）可得：，
当时，得，
解得：或，
∴，
∴，即抛物线的对称轴是直线，
∵点，及都在抛物线上，
又∵抛物线开口向上，且，
∴．
∴，，的大小关系为．
（3）∵，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴，
当时，得，
∴，
∵，
当时，得，
∴，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是掌握二次函数相关的性质．
20．(1)
(2)不在，见解析
(3)y1＜y2，见解析
【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式，把点（1，3）的坐标代入所设的解析式中即可求得a，从而可求得函数解析式；
（2）把点P的纵坐标代入抛物线的解析式中，得到关于x的二元一次方程，若方程有解，则点P在抛物线，否则不在抛物线上；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，根据抛物线的增减性质即可比较大小．
【详解】（1）设抛物线的解析式为
把点（1，3）的坐标代入中，得a+4=3
∴
即抛物线的解析式为；
（2）动点P（x，5）不在抛物线上
理由如下：
在中，当y=5时，得
即
此方程无解
故点P不在抛物线上；
（3）y1＜y2
理由如下：
抛物线的对称轴为直线x=2
∵二次项系数 1<0，且
∴函数值随自变量的增大而增大
即y1＜y2
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是关键，属于二次函数的基础题目．
21．(1)
(2)另一个公共点坐标为
(3)当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围为或
【分析】（1）根据一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点得出方程有两个相等的实数根，即△，解方程即可；
（2）先求出二次函数的顶点坐标，再把顶点坐标代入中求出的值，在解方程组即可得到另一公共点的坐标；
（3）在（2）的条件下，结合函数图象求出自变量的取值范围．
【详解】（1）解：一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点，
方程即有两个相等的实数根，
△，
解得：，
当时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点；
（2）解：二次函数，
二次函数的顶点，
一次函数的图象与二次函数的图象一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，
，
解得：，
一次函数的解析式为，
则联立方程组得：，
解得：或，
一次函数的图象与二次函数的图象的令一公共点坐标为；
（3）解：如图所示：
由图象知，在（2）的条件下，当二次函数值大于一次函数值时，自变量的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是直线和抛物线的交点个数与一元二次方程实数根之间的关系，当△时，一元二次方程有两个不等的实数根，图象有两个公共点；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根，图象有一个公共点；当△时，一元二次方程无实数根，图象没有公共点．