23.2 解直角三角形及其应用 同步练习（含解析） 2022-2023学年上学期安徽省九年级数学期末试题选编

23.2 解直角三角形及其应用
一、单选题
1．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（　　）
A． B． C．6 D．8
4．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B．＋1 C． D．＋1
5．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
7．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）如图，是河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）已知锐角中，，，则的长为 ．
9．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝外斜坡的坡比，两个坡角的和为75°，则坝内斜坡的坡比是 ．
三、解答题
10．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）已知：在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．
（1）如图1，若．
①求证：；
②连接，求证：．
（2）如图2，若，求的值．
11．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期末）如图，修筑铁路时需打通小山修一条隧道.测绘时用一架无人机沿直线飞行，飞行高度为1200米，在处测得隧道一端处的俯角为37°，飞行2800米后到达处测得隧道另一端处的俯角为76°，已知，，，四点在同一平面内，且，求隧道的长．（参考数据：，，，）
12．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，tan∠DBC＝，AB＝4，求AD的长．
13．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）．
(1)求仰角的正弦值；
(2)求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，）
14．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）我国首艘国产航母“山东”号是保障国土安全，维护祖国统的又一利器．如图，一架歼15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航空母舰长为315米且B比C高出10米，求舰载机相对舰尾C的高度（参考数据：sinl1.3°=0. 22， sin14°=0. 24，tanl1.3°=0.2，tan14° =0.25）
15．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）为保护师生健康，深圳某中学在校门安装了测温门，如图为该“测温门”示意图．身高1.7米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，≈1.73，最后结果精确到0.1米）
16．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）
17．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1：的山坡向上行走米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．
18．（2022秋·安徽蚌埠·九年级统考期末）如图是某海岛的一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：，，）
19．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）某校新建成的图书馆投入使用，九（2）班数学兴趣小组的同学要测量图书馆的高度如图，亮亮眼睛到地面距离1.6米．亮亮在A处测得图书馆顶C点的仰角为，前进20米到达B处测得图书馆C点的仰角为，斜坡的坡度长度是13米，在同一平面内．求图书馆的高．（结果精确到1米，参考数据：）
20．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，为了测量古塔的高度，小明先从与古塔底端B在同一水平线上的点A出发，沿斜坡（坡角为）行走50米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在点E测得古塔顶端C的仰角为，底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内．请据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据，，）．

21．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C距离公路AB的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，，，，，，）
22．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)
23．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期末）如图，一艘快艇A在小岛B的西南方向上相距海里处，另-艘快艇C在快艇A的正东方向上，而小岛B在快艇C的北偏东32°的方向上，已知快艇A的速度是海里/时，若快艇A、C同时出发且同时到达小岛B，求快艇C的速度（精确到个位，参考数据：，，）
24．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）“南水北调工程”（中线）有一段堤坝如图所示，其横断面为梯形ABCD，高米，斜坡CD的坡度是1∶1，但是，为了建设高铁线路，电力部门要在堤坝的正上方通过一组高压线，且高压线的最低点P与点D，H在同一条直线上（），．
（1）求斜坡CD的坡角α．
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，则此段大坝是否达到了安全要求？（参考数据：，，，）
25．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为的山坡直线上行350米到达B处，再沿着坡角为的山坡BC直线上行600米到达C处．求小山的高度及该数学小组行进的水平距离（结果精确到1米）．
（参考数据：）
26．（2022秋·安徽·九年级统考期末）我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡度（或坡比）为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为45°，在处测得塔顶的仰角为53°，斜坡路段长26米．
(1)求点到水平地面的距离．
(2)求通讯塔的高度．（参考数据：，，）
27．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期末）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
28．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图1，为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为.长度均为的连杆，与始终在同一水平面上.
（1）旋转连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点离桌面的高度.
（2）将（1）中的连杆绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
参考答案：
1．C
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
2．D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．
3．B
【分析】过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E，然后利用三角函数和勾股定理求解即可得到答案.
【详解】解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝AC cos60°＝4，EC＝AC sin60°＝4
∵AB＝4，
∴BE＝AB+AE＝8，
∴BC＝，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．C
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD＋CD＝BC，
∴AD＋AD＝1＋．
即AD＝1．
∴S△ABC＝×BC×AD
＝（1＋）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.
5．B
【分析】作交的延长线于，设，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：作交的延长线于，
设，
，
，
，
，
则，
解得，
答：这段河的宽约为米．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．C
【分析】求斜坡的坡度，关键是斜坡的铅垂直高度和水平长度，根据已知条件，由勾股定理可求出AC的长即可得出结果．
【详解】解:
又
∴斜坡AB的坡度
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坡度的概念，涉及到构造直角三角形，用勾股定理求出相应的边长．
7．A
【分析】根据坡度的定义直接求解即可．
【详解】解：∵坡高AC=1，水平距离BC=，
∴斜坡AB的坡度为，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键．
8．
【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长．
【详解】如图，过点作于点，
设，
，,
，
故答案为：
【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
9．
【分析】根据坝外斜坡的坡比，可得坝外的坡角∠B=45，然后根据两个坡角的和为75，求得∠D的度数，继而可求得坡比．
【详解】解：∵坝外斜坡的坡比i=1：1，
∴，
则∠B=45，
∵两个坡角的和为75，
∴，
则坝内斜坡的坡比为：．
所以坡比为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了坡度与坡角的关系，熟练掌握解坡度与坡角概念，会求特殊值的正切，根据坡度求出坡角是解决问题的关键．
10．（1）①见解析；②见解析；（2）．
【分析】（1）①根据已知易得，再由可得，即可得，而矩形对边相等，从而可得；
②延长、，交于点．易证B是CG的中点，故中，．再由即可得出结论；
（3）根据可得，再由可得，进而由勾股定理可得，继而得到，再结合即可解题．
【详解】（1）证明：①如图，在矩形中，∠DAB=∠ADC=90°，
∴∠1+∠EDC=90°，
又∵，
∴∠2+∠EDC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵AB=CD，
∴，
∴．
②证明：如解图2，延长、，交于点．
∵在矩形中，AD//BC,
∴，
在和中，
∴≌，
∴，
故中，．
由（1）可知，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
又∵∠ADF=∠DCA，
∴，
∴，
在Rt△ADF中，，
∴，
∴，
又∵在矩形中，AB//CD,
∴，
∴．
【点睛】本题综合考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、三角形全等判定和性质、直角三角形性质等；本题综合性强，熟练掌握实数的运算，利用三角函数转换线段比是解题的关键．
11．隧道的长约为1500米
【分析】作，，垂足分别为，，则，在中 得到，；在中得到，从而有．
【详解】解：作，，垂足分别为，，如图所示：
，
在中，，则，
（米），
在中，，则，
（米），
答：隧道的长约为1500米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用题，读懂题意，根据条件选择恰当的三角函数求出相应线段长是解决问题的关键．
12．1
【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC，再根据tan∠DBC＝求出CD，故可得到AD的长．
【详解】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AB＝4=BC
∴BC=AC=
∵tan∠DBC＝=
∴CD=3
∴AD=AC-CD=1．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质．
13．(1)仰角的正弦值为
(2)，两点之间的距离约为
【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF=BD，DF=BE=1.6m，则AF=160m，然后根据正切的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出EF=120m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD+CD即可．
【详解】（1）如图，过点作于，过点作于，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
即．
答：仰角的正弦值为；
（2）在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴．
答：，两点之间的距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
14．舰载机相对舰尾C的高度为365米
【分析】根据题意，将题中描述转化为数学语音，根据两直线平行内错角相等得到度数，再利用直角三角函数求解即可．
【详解】如图，过A点作过B点的水平直线的垂线，它们相交于D点，延长AD与过C点的水平直线交于E点，那么线段AE的长度即为舰载机相对舰尾C的高度，再过A点的水平直线上取一点F，则 AFBDCE，
∴∠ABD = ∠BAF， ∠ACE = ∠CAF， ∠AEC = ∠ADB = 90°，
∵由题意，可得∠BAF = 11.3°，∠CAF = 14°，
∴∠ABD = 11.3°，∠ACE = 14°，
设AE= x米，则AD = （x －10）米，
∵在Rt△AEC中， tan ∠ACE = ，
∴CE =（米）
∵航空母舰的长为315米，
∴BD＝4x＋315（米），
∵在RtΔABD中，tan∠ABD＝
∴tan 11.3°= 即，
解得：x＝365
经检验，x＝365使方程成立并且符合题意，
则舰载机相对舰尾C的高度为365米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．测温门顶部A距地面的高度约为2.6米
【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDMB，设AE=x米．通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据BC=BE-CE得到1.73x-0.58x=1，解得即可求得AE 进而即可求得．
【详解】解：延长BC交AD于点E，设AE=x米．
∵，，
∴（米），（米），
∴BC=BE-CE=1.73x-0.58x=1（米）．
解得x≈0.87，
∴AE≈0.87（米），
∴AD=AE+ED≈0.87+1.7≈2.6（米）．
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．
16．（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米
【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE DE即可求得CD的长．
【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，
∴四边形BMEN为矩形，
∴NE=BM=5米，BN=ME，
在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴AM＝（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），
即广告牌CD的高度约为6.7米．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．
17．铁塔AB的高度为30米．
【分析】延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，由锐角三角函数定义得CE=BE=100（米），再由坡度的定义和勾股定理求出DF=10（米），CF=20（米），则DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，然后由锐角三角函数定义求出AG的长，即可解决问题．
【详解】解：延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，如图所示：
则四边形DFEG是矩形，
∴DG=EF，DF=GE，
在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，
∴CE=BE=100（米），
在Rt△CDF中，DF：CF=1：2，
∴CF=2DF，
∵DF2+CF2=EF2，
∴DF2+（2DF）2=（10）2，
解得：DF=10（米），
∴CF=20（米），
∴DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，
在Rt△ADG中，tan∠ADG==tan30°=，
∴AG=DG=×120=120（米），
∴AB=AG+GE-BE=120+10-100=30（米），
答：铁塔AB的高度为30米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．300米
【分析】根据斜坡AC的坡度i，可设AB＝5x米，BC＝6x米，继而表示出BD的长度，再由tan30.96°≈0.60，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
【详解】解：∵斜坡AC的坡度i，
∴AB：BC＝5：6，
故可设AB＝5x米，BC＝6x米，
在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，
∴tan30.96°0.60，
解得：x＝60（米），
经检验，x＝60是方程的解，
∴5x＝300（米），
答：该岛礁的高AB为300米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义，表示相关线段的长度．
19．23米
【分析】如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于．设．根据，构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于．设．
在中，米，，
米，米，
米，米，
（米，
，
，
，
，
答：体育馆约为23米，
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角问题，坡度、坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．70米
【分析】延长交于点M，作于点N，可得，由题意可知，，，可得，证明．，求解，从而可得答案．
【详解】解：延长交于点M，作于点N，

则，四边为矩形，
∴．
由题意可知，，，
∴．
在中，，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，．
∴，
∴古塔的高度米．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
21．126米/分钟
【分析】过作于，则米，由解直角三角形求出AD和BD的长度，则求出AB的长度，即可求出小明的速度．
【详解】解：过作于，则米，
∴，
∴，
∴，
同理：
速度：631÷5≈126（米/分钟）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD和BD的长度．
22．62.9米
【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE=CF，CE=BF，
∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，
∴CF=AF=AC=50，
∵∠CBF=63.5°，
∴（米），
∵CD∥AB，
∴∠D=53°，
∵∠BED=90°，
∴（米），
∴CD=CE+DE=62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．快艇C的速度为47海里/时
【分析】先求出快艇A到达B用的时间，作垂足为D，在Rt△ABD中由正弦求出BD长，再在Rt△BCD中由正弦求出BC长即快艇C的路程，即可求解.
【详解】解：作垂足为D，
∵ ，
∴快艇A到达B的时间为（小时）
在Rt△ABD中 ，
∴，
在Rt△BCD中
，
（海里/时）
答：快艇C的速度为47海里/时．
【点睛】此题考查解直角三角形.求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24．（1）45°；（2）达到了安全要求
【分析】（1）由题意根据斜坡CD的坡度i=1：1，得tanα=DH：CH=1，进而可得α的度数；
（2）根据题意由（1）可得CH=DH=10米，α=45°．则∠PCH=71°，再根据锐角三角函数定义可得PD的长，与18进行比较即可．
【详解】解：（1）∵斜坡CD的坡度，
∴，
∴．
即斜坡CD的坡角为45°；
（2）此次改造达到了安全要求，理由如下：
由（1）可知：米，．
∴，
在中，，
解得：（米）．
∵，
∴此次改造达到了安全要求．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
25．为502米，为768米
【分析】过B作于E，过B作于H，则四边形BEDH是矩形，于是得到，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，过B作于E，过B作于H，
则四边形是矩形，
．
在中，
米，，
（米），（米），
．
在中，米，,
（米），（米）
（米），
（米），
小山的高度CD为502米，该数学小组行进的水平距离AD为768米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键．
26．(1)点到水平地面的距离为10米
(2)通讯塔的高度围为米
【分析】（1）通过作辅助线，利用斜坡的坡度（或坡比）为，米，由勾股定理可求出的长，
（2）设米，根据坡度表示米，进而表示出 ，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
【详解】（1）如图，过作，为垂足，即为点到水平地面的距离，
∵斜坡的坡度（或坡比）为，
∴，
设米，则米，
在Rt中，米，
由勾股定理得：，
即，
解得（负数舍去），
∴（米），（米），
答：点到水平地面的距离为10米；
（2）如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，连接，，
∵斜坡的坡度（或坡比）为，
设米，米，
∵，
∴米，
∴米，
在Rt中，米，米，
∵，
∴，
解得，
∴（米），（米），
（米），
∴（米），
答：通讯塔的高度围为米．
【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．
27．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
【详解】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，
∴CD=BC sin30°=80×（千米），
AC=（千米），
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；
（2）∵cos30°=，BC=80（千米），
∴BD=BC cos30°=80×（千米），
∵tan45°=，CD=40（千米），
∴AD=（千米），
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
28．（1）；（2）下降了，约.
【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF-DE即可解决问题．
【详解】（1）过点作，垂足为，如图2，
则四边形是矩形，，
∴，
∴.
（2）下降了.
如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，
∵，∴，
又∵，∴，
∴，，
∴
.
∴下降高度：
.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．