1.2 一定是直角三角形吗 北师大版数学 八年级上册（含答案）

1.2 一定是直角三角形吗 北师大版数学 八年级上册
学校:______姓名:______班级:______考号:______
一、勾股定理的逆定理
1.在中，的对边分别是且满足则 .
2.已知三组数据；；.分别以每组数据中的三个数作为三角形的三边长，可以构成直角三角形的有 .(填序号)
3.如图，在中，，边上的中线则的面积是 .

4.如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，，，且，，当 时，.

5.已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为 　　 时，这三条线能组成一个直角三角形．
6.如图，在的正方形网格中，以为边画直角三角形，使点在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点共有 个．

7.的三边长分别是、、，且﹣，，，是直角三角形吗？证明你的结论．
8.判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．
(1)；
(2)．
9.根据下列条件，分别判断以，，为三边的三角形是不是直角三角形：
(1)∶∶∶∶；
(2)，，.
10.如图，在四边形中，已知，，，，且.试说明的理由.

二、勾股定理的逆定理的应用
11.若，，分别是的三边长，且，则为 三角形．
12.已知的三边长为,且满足，那么该三角形是 三角形．
13.现有长度分别是，，，，的五根木棒，任选其中的三根，能组成直角三角形的有 种，所组成的直角三角形的边长分别是 .
14.在中，，，，当 时，.
15.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度向北偏东航行，乙船以海里时的速度航行。小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两船相距海里，问乙船沿哪个方向航行？

16.在解答“判断由长为，，的三条线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的： 解：设，，，因为≠，所以由，，三条线段组成的三角形不是直角三角形． 你认为小明的解答正确吗？请说明理由．
17.在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是.线段，分别是图中的两个长方形的对角线，请你说明．

18.在中，，设为最长边．
当时，是直角三角形；当≠时，利用代数式与的大小关系，探究的形状(按角分类)．
(1)当的三边长分别为时，为 三角形；
当的三边长分别为时，为 三角形．
(2)猜想:当 时，为锐角三角形；当 时，为钝角三角形．
(3)判断当时，的形状，并求出对应的的取值范围．
三、勾股数
19.有下列各组数：①；②；③；④.其中是勾股数的有 .(填序号)
20.将勾股数扩大倍、倍、倍……可以得到勾股数；；；…，我们把这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数： .
21.若，，是一组勾股数，则 ．
22.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，，那么，，为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是 ．
23.探索勾股数的规律：观察下列各组数：（，，），（，，），（，，），（，，）可发现， ， ， 请写出第个数组： ．
24.大家见过形如这样的三元一次方程，并且知道数对 就是适合该方程的一个正整数解．法国数学家费马早在世纪还研究过形如的方程．
(1)请写出方程“”的两个正整数解： ， ;
(2)在研究直角三角形和勾股数时， 小维同学发现：当最小边长是偶数时，三边长分别是 小尔同学发现：当最小边长是奇数时，三边长分别是.
请你验证小维、小尔同学的发现．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
【解析】当时，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，
可得，
.
故答案为.
5.【答案】或
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意要分两种情况讨论已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果．
【解答】 解：根据勾股定理，当为直角边时，第三条线段长为； 当为斜边时，第三条线段长为．
故答案为或．
6.【答案】
7.【答案】解：是直角三角形，∵，
（﹣）（），
﹣，
，
（），
，
∴是直角三角形
【解析】首先计算，再利用因式分解可得（），进而可得此三角形是直角三角形．
利用勾股定理的逆定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果三角形的三边长、、有下面关系：，那么这个三角形是直角三角形．
8.【答案】(1)∵, ∴,∴该三角形是直角三角形
(2)∵, ∴≠,∴该三角形不是直角三角形
9.【答案】(1)解：∶∶∶∶，设，则，.，而,.即以，，为三边的三角形不是直角三角形.
(2),以，，为三边的三角形是直角三角形.
10.【答案】解：
.
.
又，，
.
是直角三角形，且.
即.
11.【答案】直角
12.【答案】直角
【解析】给出了三边之间的关系式，在一个等式中有三个未知数，且算术平方根、完全平方和绝对值是初中阶段常见的非负数的三种形式，根据非负数的性质可得：，，.因为,所以该三角形是直角三角形
13.【答案】 ； ，，和，，
14.【答案】
【解析】由勾股定理，得.
解得 .
15.【答案】解：由题意可得：（海里），
（海里），
，
，
故，
是直角三角形，
，
，
乙船航行的方向是南偏东（或东偏南）．
【解析】 此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出是直角三角形是解题关键根据题意得出，的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案．
16.【答案】小明的解答不正确，理由：∵,且，∴由长为，，的线段组成的三角形是直角三角形．
【解析】小明的解答不正确，理由：∵,且，∴由长为，，的线段组成的三角形是直角三角形．
17.【答案】如图，连接．
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且,
即

18.【答案】(1)锐角；钝角
(2) ；
(3)因为为最长边，所以. ①当,即时为锐角三角形; ②当,即时为直角三角形； ③当,即时为钝角三角形
19.【答案】②④
20.【答案】答案不唯一，如：；
21.【答案】
【解析】分为最长边，为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：为最长边，，不是正整数，不符合题意；
为最长边，，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：．
考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
22.【答案】答案不唯一，如，，
【解析】取分别计算出，，的值即可求解，答案不唯一．
23.【答案】，，
【解析】∵①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，据此可知答案为：，，．
24.【答案】(1)(答案不唯一) ；
(2)，
小维同学的发现正确．
，小尔同学的发现正确