4.5.1 函数的零点与方程的解 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
第 4 章 指数函数与对数函数
人教A版2019必修第一册
4.5.1 函数的零点与方程的解
01.
零点的定义
02.
零点存在定理
目录
03.
零点的应用
学习目标
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.
2.会求函数的零点.
3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.
Topic. 01
01 情景导入
情景导入
方程解法时间图 · 中国
公元50年—100年
一次方程、二次方程
和三次方程根
11世纪·北宋·贾宪
三次方程正根数值解法
13世纪·南宋秦九韶
任意次代数方程正根解法
7世纪·隋唐·王孝通
三次或三次以上方程
方程解法时间图 · 西方
一次方程、二次方程
的一般解法
1541年·意大利
塔尔塔利亚
三次方程一般解法
1802～1829
挪威·阿贝尔
证明了五次以上一般方程没有求根公式
记载了费拉里的四次方程一般解法
9世纪·阿拉伯
花拉子米
1545年·意大利
卡尔达诺
解方程的历史
Topic. 02
02 函数零点的定义
函数零点
问题1:方程 (1)x2-2x-3=0 ,(2)x2-2x+1=0 ,(3)x2+2x+3=0的根分别是什么
方程(1)中,Δ>0,有两个不相等的实根,x1=-1,x2=3;
方程(2)中,Δ=0,有两个相等的实根,x1=x2=1;
方程(3)中,Δ<0,无实根.
函数零点
问题2:方程 (1)x2-2x-3=0 ,(2)x2-2x+1=0 ,(3)x2+2x+3=0的图象与x轴的交点分别是什么
函数(1)的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0);
函数(2)的图象与x轴的交点坐标为(1,0);
函数(3)的图象与x轴没有交点.
问题3:由问题1和2，方程的根和函数的图象与x轴的交点有什么关系？
方程的根是函数的图象与x轴交点的横坐标.
函数零点
零点
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
问题1:函数的零点是一个点吗？
零点不是一个点，零点指的是一个实数.
问题2:试归纳函数零点的等价说法？
方程f(x)=0
有实数根
函数y=f(x)
有零点．
函数y=f(x)的图
象与x轴有公共点
定义理解：
函数零点
常见函数的零点
1个
无

2个




1个
无
无
1个
1个
无
函数零点
(1)代数法：
(2)几何法：
若方程 可解，其实数根就是函数的零点.

若方程 难以直接求解，将其改为 ，
进一步改为 ，在同一坐标系中分别画出两个函数
和 的图像，两图像交点的横坐标就是函数
的零点.





求函数零点的方法
函数零点
1.求函数的零点
(1)令
∴函数的零点为
(
(1) (2)
2.指出下列函数的零点．
(1)f(x)＝4x－3；　　　 (2)f(x)＝1＋；
(3)f(x)＝x4－1; (4)f(x)＝(lgx)2－lgx.
函数零点
函数零点
Topic. 03
03 零点存在定理
零点存在定理
探究：对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象,发现它在区间[2, 4]上有零点。这时，函数图象与x轴有什么关系 在区间[-2, 0]上是否也有这种关系 你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系
再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用 f(x)的取值刻画这种关系的方法.
2
1
1
-2
2
-1
3
4
-1
-2
-3
-4
0
y
x
1.在区间(－2,0)上有零点 ;f(－2)= ,
f(0)= , f(－2).f(0) 0(<或>);
2.在区间(2,4)上有零点 ,f(2).f(4) 0(<或>).
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。
2
1
1
-2
2
-1
3
4
-1
-2
-3
-4
0
y
x
-1
5
-3
<
3
<
零点存在定理
观察函数的图象并填空:
1.在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
2. 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
3.在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；
4.在区间(e,g)上f(e)·f(g) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(e,g)上______(有/无)零点；
x
y
O
a
b
c
d
O
y
x
g
e
思考：在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点？
<
有
<
有
<
有
<
无
零点存在定理
零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是　 　的一条曲线,且有　 　,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得　 　,这个c也就是方程f(x)=0的解.
零点存在定理
连续不断
f(a)·f(b)<0
f(c)=0
零点存在定理
思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
不一定存在零点，如右图。
思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
不一定存在零点，如右图。
0
y
x
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)·f(b)<0”这两个条件缺一不可
零点存在定理
思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a)·f(b)<0？
x
y
0


有零点
f(a)·f(b)<0f(x)在[a,b]上连续
思考4： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？
0
y
x
函数零点存在定理可以证明函数有零点，
但不能判定零点的个数。
零点存在定理
思考5： 若函数f(x)在 (a,b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在 (a,b)上有唯一零点？
f(x)在(a,b)内为单调函数
零点存在定理
判断零点所在区间
C
解析
解析
B
解析
C
零点存在定理
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值;
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断;
(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
方法总结
判断零点所在区间
零点存在定理
零点个数的判断
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
y=lnx
y= －2x+6
4.判断函数f(x)=lnx＋2x－6的零点的个数，并证明
由lnx＋2x－6＝0得lnx＝－2x＋6
因为e＞1时，作y＝lnx与y＝－2x＋6的图象，
y＝lnx为增函数，y＝－2x＋6为减函数，有一个交点．
函数零点
方程的根
图象交点
零点存在定理
C
5.
零点存在定理
6.
7.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是 。
解：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b
的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0Topic. 04
04 课堂小结
课堂小结
总结：
1.函数零点定义。
2.零点存在定理。
3.零点的应用
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