广东省阳江市2023-2024学年新高三上学期开学适应性考试数学试题（含答案）

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阳江市2023-2024学年新高三上学期开学适应性考试
数学 试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③直线与平面所成角的正弦值为；④的最小值为．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，，恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ）
A．
B．已知，则等式对任意正整数都成立
C．设，则的个位数字是6
D．等式对任意正整数都成立
10．已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上任一点，则与所成角的范围为
B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为
D．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为椭圆的一部分
11．已知椭圆，其右焦点为，以为端点作条射线交椭圆于，且每两条相邻射线的夹角相等，则（ ）
A．当时，
B．当时，的面积的最小值为
C．当时，
D．当时，过作椭圆的切线，且交于点交于点，则的斜率乘积为定值
12．已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（ ）
A． B．
C．在上是增函数 D．存在最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线翻折，取的中点，连接，若，则三棱锥的外接球的半径为 .
14．已知函数在上为减函数，命题为假命题，则的最大值为 ．
15．已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为 .
16．斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，且在直线l的左上方.若，则的周长是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
18．已知数列中，是其前项的和，，.
(1)求，的值，并证明是等比数列；
(2)证明：.
19．在正三棱台中，，，为中点，在上，.

(1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知，分别是椭圆长轴的两个端点，C的焦距为2．，，P是椭圆C上异于A，B的动点，直线PM与C的另一交点为D，直线PN与C的另一交点为E．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线DE的倾斜角为定值．
21．某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行次科考任务，一艘该型号飞艇第1次执行科考任务，能成功返航的概率为，若第次执行科考任务能成功返航，则执行第次科考任务且能成功返航的概率也为，否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为万元的科考数据，且“”的概率为0.8，“”的概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为万元.
(1)若，，求的分布列；
(2)求（用和表示）.
22．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，且，证明：.
阳江市2023-2024学年新高三上学期开学适应性考试
数学 试题 参考答案：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A D A C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ABD ACD AD ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．/ 14．2 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
【解析】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
18．【解析】（1）由，得，
所以，，
由，得，
所以，.
证明如下：
由，得，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，，
即数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，
，，
，
因为，所以，
于是，
其中，
于是，
所以.
即.
19．【解析】（1）①作图步骤：延长，使其相交于，连接，则可得；
作图如下：

作图理由：在平面中，显然与不平行，延长相交于，
由，则平面，由平面，则平面，
由，，则平面，可得
故平面.
②连接，如下图所示：

在正三棱台中，，即，易知，
则，由，且，则，显然，
由分别为的中点，则，且，
易知，故.
（2）由题意，过作平面的垂线，垂足为，并连接，如下图所示：

由（1）可知：且，则，由，，
在侧面中，过分别作的垂线，垂足分别为，如下图所示：

易知,，所以，
在中，，则，
棱台的高，
由图可知直线与平面所成角为，
因为平面，且平面，所以，
所以.
20．
【解析】（1）由题意，a＝2，2c＝2，c＝1，∴．
∴椭圆C的方程为．
（2）设，，，则．①
当直线PN的斜率存在时，其方程为，代入椭圆C的方程，整理得
．
∴．
直线PM的方程为，代入椭圆C的方程，整理得
．
∴．
因此，此时DE⊥x轴，即直线DE的倾斜角为．
②当直线PN的斜率不存在时，其方程为，此时．
由①知，∴．
∴，此时DE⊥x轴，即直线DE的倾斜角为．
综上所述，直线DE的倾斜角为．
21．
【解析】（1）若，，则的所有取值为0，200，400，
记一艘该型号飞艇第次执行科考任务能成功返航为事件，获得价值为200万元的科考数据为事件，.则
，
，
所以的分布列为
0 200 400
0.86 0.13 0.01
（2）取值表示的意义如下：若一艘该型号飞艇能执行第次科考任务且在此次任务中获得价值200万元的科考数据，则，否则，.
因为的分布列为
0 200
所以
因为，
所以
22．【解析】（1）解：由函数，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以的减区间是，增区间是.
（2）证明：当时，，当时，，
因为且，结合在上单调递减，在上单调递增可得，设，则，
所以，从而，
又因为，所以，故 ①，
设，则，
令，可得；令，可得，
从而在上单调递减，在上单调递增，
又由，所以，故，
所以，
因为，所以，故 ②，
将①②两式相加可得，
设，则，所以在上单调递减，
又，所以，从而，所以，
，所以，故，
又因为，所以，
综上所述，.