人教版高中数学必修第一册 3.2 函数的奇偶性 课时7 函数的奇偶性 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
3.2 函数的基本性质
课时7 函数的奇偶性（1）
教学目标
1. 理解函数奇偶性的概念,并能运用函数奇偶性的概念判断一些简单函数的奇偶性.
2. 掌握奇函数和偶函数的图象特征,会用奇函数和偶函数的图象特征解决有关问题.
3. 体会函数奇偶性的定义与图象特征在解题中的应用,提高分析与解决问题的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
通过函数的图象,直观感受函数图象的对称性,在此基础上建构并理解函数奇偶性的定义 借助函数的图象,建构并理解函数奇偶性的定义,培养直观想象、数学抽象素养
熟练掌握判断函数奇偶性的方法,能利用函数的奇偶性的定义和图象特征解决相关问题 在运用函数的奇偶性的定义和图象特征解决相关问题的过程中,培养直观想象、逻辑推理素养
体会函数的奇偶性的定义与图象特征在解题中的应用,提高分析问题与解决问题的能力 在运用函数奇偶性的定义与图象特征解题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
情境导学
在大自然和我们的生活中存在着许多对称的现象：翩翩起舞的蝴蝶，晶莹剔透的雪花，惟妙惟肖的剪纸，美不胜收的风景……
对称体现了均衡、和谐美，数学中有
哪些对称的现象？哪些函数的图象具有
对称性？你能说出这些函数的对称轴或
对称中心吗？你能否写出这些函数的
解析式？
【活动1】 从特殊到一般得出偶函数的定义
初探新知
【问题2】如何判定函数y＝f(x)图象关于y轴对称？
【问题1】如何判定函数f(x)＝x2图象关于y轴对称？
【问题3】你能给出偶函数的定义吗？
【问题4】如何判定函数y＝f(x)图象关于原点对称？
【活动2】由形到数得出奇函数的定义
【问题5】你能给出奇函数的定义吗？
【问题6】结合函数奇偶性的定义，从图象角度你对奇函数、偶函数有了哪些认识？
【活动3】奇、偶函数定义的深度探究
【问题7】具有奇偶性的函数定义域有什么特征？
【问题8】在初中学过哪几类函数？你能说出它们的奇偶性吗？
【问题9】函数按奇偶性分类，可分为哪几类？
典例精析
【例1】[教材改编题]判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=3,x∈R;
(2) f(x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3];
(3) f(x)=
思路点拨：判断奇偶性，就是判断f(－x)与f(x)的关系，而计算f(－x)的前提是－x属于定义域．
【解】(1) 因为定义域为R,又f(-x)=3=f(x),所以函数f(x)是偶函数.　(2) 因为x∈[-3,3],f(-x)=5(-x)4-4(-x)2+7=5x4-4x2+7=f(x),所以函数f(x)是偶函数.　
(3) 因为定义域为R,当x>0时,f(x)=1-x2,此时-x<0,所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2,所以f(-x)=-f(x);当x=0时,f(-0)=-f(0)=0.综上,对x∈R,总有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为R上的奇函数.
【方法规律】
根据奇(偶)函数的定义判断一个函数的奇偶性，可以按如下步骤进行：① 求出函数的定义域；② 判断定义域是否关于原点对称．若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，进行③；③ x∈I(I为定义域)，计算f(－x).若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，则f(x)既不是偶函数也不是奇函数．
【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=2-|x|;
(2) f(x)= +;
(3) f(x)=;
(4) f(x)=
【解】 (1) 因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以f(x)为偶函数.
(2) 因为函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又因为f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3) 因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(4) f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)+1=-x+1=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.
【例2】设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________.
思路点拨：利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在[－5，0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)<0的解集．
【解】
由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图象如图所示，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2【方法规律】
1. 借助函数的奇偶性作函数图象的步骤：
(1) 确定函数的奇偶性；
(2) 作出(或观察)函数在原点一侧的图象；
(3) 根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在原点另一侧的函数图象．
2. 奇、偶函数图象的应用类型及处理策略：
利用奇、偶函数的图象解决求值、比较大小及解不等式问题时，可以利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．
【变式训练2】[2022·湖南师范大学附属中学高一月考改编题]已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-4x-3,试求出f(x)的单调区间.
【解】 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-4x-3,根据奇函数的图象关于原点对称的特征可作出f(x)的图象,如图.由图象可知(-∞,-2)和(2,+∞)是单调递增区间,(-2,0)和(0,2)是单调递减区间.
【例3】(1) [2021·陕西省渭南市尚德中学高一月考改编题]若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,
b=　　　　;
(2) 已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=　　　　.
思路点拨　(1) 由偶函数的定义域关于原点对称,可求得a的值,再由偶函数的定义建立关于b的方程求出b;　(2) 根据奇函数的定义建立a的方程,解方程求出a的值即可.
0
【解】 (1) 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=.函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,则只含有偶次项,易得b=0.　
(2) 由奇函数定义有f(-x)+f(x)=0,得a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,易得a=0.
【方法规律】
已知函数的奇偶性求参数值的思路；
(1) 若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．
(2) 利用函数特点：多项式是奇函数时，只含有奇次项；是偶函数时，只含有偶次项；若奇次项、偶次项共存，则函数不具有奇偶性．
(3) 一般化策略：对x取定义域内的任意一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值．
(4) 特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．
【变式训练3】若f(x)=ax3+b+1,且f(2)=5,则f(-2)=　　　　.
【解】 设g(x)=ax3+b,则有f(x)=g(x)+1,因为f(2)=5,所以g(2)=4,因为g(-x)=-(ax3+b)=-g(x),所以g(x)是R上的奇函数,则g(-2)=-4,所以f(-2)=g(-2)+1=-3.
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（备选例题）已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=,h(x)=.
(1) 试判断g(x)与h(x)的奇偶性;
(2) 试判断g(x),h(x)与f(x)的关系;
(3) 由此你能猜想出什么样的结论
思路点拨 (1) 要判断g(x)与h(x)的奇偶性,基本思路是运用定义.　(2) 通过观察,容易发现g(x)+h(x)=f(x).　(3) 由(2)可猜想:定义在R上的函数f(x),可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和.
【解】(1) 因为g(-x)==g(x),h(-x)==-h(x),所以g(x)是偶函数,h(x)是奇函数.　
(2) g(x)+h(x)=+=f(x).　
(3) 定义在R上的函数f(x),可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和.
【方法规律】
(1) 判断函数奇偶性的主要方法就是运用函数奇偶性的定义,“二看一定”:“二看”是指一看定义域是否关于原点对称,二看f(-x)与f(x)的关系;一定是定结论.(2) 函数的定义域是否关于原点对称是函数具有奇偶性的必备条件,判断函数的奇偶性时,首先应考虑定义域是否关于原点对称,若不具备这个条件,则必不是奇函数也不是偶函数;若具备了这个条件,再对定义域内的任意x的值,考察f(-x)与f(x)的关系,然后结合定义作出结论;(3) 函数y=f(x)就奇偶性而言,可以分为以下四类:① 是奇函数但不是偶函数;② 是偶函数但不是奇函数;③ 既是奇函数又是偶函数;④ 既不是奇函数也不是偶函数.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.[2021·陕西省榆林市高考一模]下列四个函数y＝x3，y＝2x＋3，y＝x2＋1，y＝x＋ 中，奇函数有(　 　)
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
C
2．函数y=的奇偶性是 (　　)
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
A
3. (多选)[2021·陕西省西安市西安中学高三期中]下列函数中，既是偶函数又在(0，3)上单调递减的函数有(　　)
A. y＝－x2＋1 B. y＝x3
C. y＝－|x|＋1 D. y＝
AC
4. 已知函数f(x)=是奇函数,则实数a的值是　　　　.
5.[2020·湖北省鄂州三校联考改编题]若函数f(x-2)为奇函数,f(-2)=0,且f(x)在区间[-2,+∞)上单调递减,则不等式f(3-x)>0的解集为 　 .
1
(5,+∞)
同学们再见！
Goodbye Students！