人教版高中数学必修第一册 3.3 幂函数 课时9幂函数(共25张PPT)

(共25张PPT)
3.3 幂函数
课时9 幂函数
教学目标
1. 通过对五个具体的幂函数的探究,抽象出幂函数的概念,形成对幂函数的正确认识.
2. 根据幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,归纳概括出幂函数的基本性质.
3. 掌握幂函数的图象和性质在解题中的应用,体会研究函数的一般套路和基本方法.
学习目标
课程目标 学科核心素养
通过对几个特殊的幂函数的探究,抽象出幂函数的概念,形成对幂函数的正确认识 在由五个具体的幂函数抽象出幂函数概念的过程中,培养数学抽象、直观想象素养
通过描绘几个特殊的幂函数的图象,了解幂函数的图象特征,概括幂函数的基本性质 在描绘幂函数图象、概括幂函数基本性质的过程中,培养数学抽象、逻辑推理素养
掌握幂函数的概念、图象和性质在解题中的应用,体会研究函数的一般套路和基本方法 在应用幂函数的概念、图象和基本性质解决问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养
情境导学
国家游泳中心,别名“水立方”“冰立方”,位于北京市朝阳区北京奥林匹克公园内,始建于2003年12月24日,于2008年1月正式竣工,2020年11月27日,国家游泳中心冬奥会冰壶场馆改造工程通过完工验收,“水立方”变身为“冰立方”.国家游泳中心是2008年北京奥运会的精品场馆和2022年北京冬奥会的经典改造场馆.下面,我们来看一个与国家游泳中心有关的数学问题:
如果把“水立方”看成一个立方体,设其棱长为x,体积为y,你能给出体积y关于棱长x的函数解析式吗 这个解析式具有怎样的特点
【活动1】 观察、概括幂函数概念
初探新知
【问题2】你能概括出幂函数的一般表述形式吗？
【问题1】情境导学中的函数具有什么共同特征？
【问题3】你能给出幂函数的定义吗？
【问题4】你能举几个学过的幂函数的例子吗？
【活动2】辨析幂函数
【问题5】下列函数：① y＝2x3；② y＝x2＋1；③ y＝(x＋1)3是幂函数吗？
【问题6】如何判断一个函数是不是幂函数？
【问题7】对于幂函数，我们只讨论α＝1，2，3，－1， 时的情况，即：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1， .结合之前学习函数的经验，我们应如何研究幂函数呢？
【活动3】探究幂函数的性质
【问题8】 请你作出这五个幂函数的图象．
【问题9】观察图象，请你试着研究这五个函数的性质．
典例精析
【例1】(1) 下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？
① y＝x4；② y＝2x2；③ y＝-x2；④ y＝2x；⑤ y＝x-2；⑥ y＝x3＋2.
(2) [教材改编题]已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3， )，求这个函数的解析式．
思路点拨：(1) 根据幂函数的概念判断．(2) 根据幂函数的概念设出解析式再求解．
【解】 (1) 根据幂函数的定义,函数的解析式是幂的形式,且指数是常数,底数是自变量,函数前面的系数都是1,指数位置有正有负.所以①⑤是幂函数.　(2) 设f(x)=xα.因为幂函数y=f(x)的图象经过点(3 ,),所以=3α,所以α=,所以f(x)=.
【方法规律】
幂函数的形式为y＝xα(α为常数)，即①系数为1；② 指数为常数；③ 后面不加任何项．反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式．
【变式训练1】 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点 ，则f(2)的值为(　　)
A. B. 4 C. 　　 D.
C
【解】
【例2】 [2021·上海市徐汇区高一期末]幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系的第一象限分成八个区域:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ,如图,那么幂函数y=的图象在第一象限中经过的区域是(　　)
A. Ⅳ,Ⅶ B. Ⅳ,Ⅷ C. Ⅲ,Ⅷ D. Ⅲ,Ⅶ
思路点拨：利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断.
【解】
对于幂函数y=,因为-<0,所以y=在第一象限单调递减.当指数小于零时,根据幂函数的性质可知:在直线x=1的左侧,幂函数的指数越大越接近y轴,因为->-1,所以y=的图象比y=x-1的图象更接近y轴,所以经过Ⅳ区域;在直线x=1的右侧,幂函数的指数越小越接近x轴,因为-1<-<0,所以y=的图象位于y=x-1和y=1之间,所以经过Ⅷ区域,所以函数y=的图象在第一象限中经过的区域是Ⅳ,Ⅷ.故选B.
【方法规律】
解决幂函数图象问题应把握的两个原则:(1) 依据图象高低判断幂指数大小:① 在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);② 在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2) 依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.
【变式训练2】 图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)
A. －2，－ ， ，2
B. 2， ，－ ，－2
C. － ，－2，2，
D. 2， ，－2，－
【解】 由幂函数图象及其单调性之间的关系，可知曲线C1，C2，C3，C4所对应的n依次为2， ，－ ，－2.故选B.
B
思路点拨
【例3】比较下列各题中两个数的大小：
【解】
【方法规律】
比较幂值大小的方法：
分类 比较对象 方法
指数相同，底数不同 x1α与x2α 利用幂函数y＝xα的单调性
底数相同，指数不同 ax1与ax2 利用不等式性质
底数、指数都不同 ax1与bx2 寻找“中间量”ax2或bx1或1或0等
【变式训练3】比较下列各组中三个数的大小．
（1），，
（2），，
【解】（1），， 同指不同底，幂函数y=在[0，+∞)上单调递增，故＞＞
（2）=,因为函数y=在[0，+∞)上单调递增，所以＜＜，即＜＜
（备选例题）(1) 已知函数f(x)=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,求m-2n的值;
(2) 已知(a+1)-2>(3-2a)-2,求实数a的取值范围.
思路点拨　(1) 利用幂函数的定义,可以得到关于m,n的方程组,解方程组求出m,n,即可得到m-2n的值.　(2) 利用幂函数y=x-2性质,建立实数a所满足的不等式组,通过解不等式组求出a的取值范围.
【解】
因为函数f(x)=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,所以解得所以m-2n=-3-2×=-6.　
(2) 考察幂函数y=x-2=,定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),在(0,+∞)上是减函数,且为偶函数,所以不等式(a+1)-2>(3-2a)-2,即为(|a+1|)-2>(|3-2a|)-2,于是有解得a>4,或-1【方法规律】
1. 求幂函数的解析式时,一定要注意幂函数需要符合三个条件:(1) xα的系数为1;(2) xα的底数是自变量;(3) xα的指数是常数.同时函数单调性由幂指数的正负决定.当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上单调递减.
2. 利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量或幂指数的大小,常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1) 确定可以利用的幂函数;(2) 借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系;(3) 解不等式(组)求参数范围,注意分类讨论思想的应用.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. [2021·甘肃省武威市民勤县第一中学高一月考]幂函数y＝xα(α∈R)的图象恒过定点(　　)
A. (0，0)　　 B. (1，0)　　 C. (1，1)　　　 D. (0，1)
C
2. 幂函数y=(m∈Z)的图象如图,则实数m的值为(　　)
A. 3 B. 0 C. 1 D. 2
C
3.(多选)[2020·重庆育才中学高一期中]已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2，8)，下列说法中正确的是( 　　)
A. 函数y＝xα的图象过原点
B. 函数y＝xα是偶函数
C. 函数y＝xα是减函数
D. 函数y＝xα的值域为R
AD
5. 比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1) ， ；(2) ， ；(3) ， .
4. [2021·四川省攀枝花市模拟]已知幂函数y=mxn(m,n∈R)的图象经过点(4,2),则m-n=　　　　.
【解】
(1) 因为y=在上单调递增,又1.1>0.9,所以1.>0..　(2) 因为y=在(0,+∞)上单调递减,又1.1>0.9,所以1.<0..　(3) 因为=,函数y=在上单调递增,且<,所以<,即<.
同学们再见！
Goodbye Students！