人教版高中数学必修第一册3.2 函数的基本性质 课时6 函数的最大（小）值 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
3.2 函数的基本性质
课时6 函数的最大(小)值
教学目标
1. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义,了解函数的最值与单调性之间的关系.
2. 能够正确地运用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值与值域.
3. 了解函数图象与性质之间的内在联系,体会函数图象在研究函数问题中的应用功能.
学习目标
课程目标 学科核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大(小)值，理解函数的最大(小)值的意义 在用符号语言表达函数的最大(小)值的过程中，培养数学抽象与直观想象素养
会求一些简单函数的最大(小)值，进而运用函数的最大(小)值解决实际应用问题 在求解函数的值域、最值以及实际问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养
了解函数图象与性质之间的内在联系,体会函数图象在解决函数问题中的作用 在解决问题的过程中,体会函数图象与性质的内在联系,培养数学抽象、数学运算等素养
情境导学
为了预测2022年某一天某地的天气情况，数学兴趣小组研究了2016－2020年每年这一天的天气情况，下图是该地2021年这一天24时内气温随时间变化的曲线图．
观察图象，这一天中什么时候气温最高，什么时候气温最低？
【活动1】 概括函数最大值的含义
初探新知
【问题2】函数最值定义中的条件(2)能不能去掉？为什么？
【问题1】什么是函数的最大值 从函数的图象上如何获得函数的最大值？
【问题3】你能仿照函数最大值的定义，给出函数最小值的定义吗？
【活动2】由函数最大值的含义类比函数最小值的含义
【问题4】你能说出函数的最值和值域的联系与区别吗？
【问题5】若函数y＝f(x)在区间 上单调递增，那么函数y＝f(x)在区间 上有何最值？
【活动3】探究最大(小)值与单调性的关系
【问题6】若函数y＝f(x)在区间 上x＝b两侧单调性相反，那么函数y＝f(x)在区间 上有何最值？
典例精析
【例1】[教材改编题]函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图,则此函数的最小值、最大值分别是 (　 　)
A. -1,0 B. 0,2
C. -1,2 D. ,2
【解】由函数的图象可知f(x)的最大值为f(1)=2,f(x)的最小值为f(-2)=-1.故选C.
C
【方法规律】
从函数的图象上来看,函数的最大值就是函数图象的最高点的纵坐标,函数的最小值就是函数图象的最低点的纵坐标,因此,要求函数的最大值与最小值,只要作出函数的图象,求出图象的最高点与最低点的纵坐标即可．
【变式训练1】已知x∈R,定义函数f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为 (　 　)
A. 2 B. 1
C. -1 D. 无最大值
【解】在同一平面直角坐标系中画出函数y=2-x2,y=x的图象,如图.根据题意,图中实线部分即为函数f(x)的图象.所以当x=1时,f(x)max=1.故选B.
B
【例2】函数y＝ ，的最大值为________．
思路点拨：求分段函数的最大值，需要先求出每一段在各自范围上的最大值，再比较．注意每段上最大值的求解，需要先判断各段的单调性．也可以通过作出图象来求．
【解】
方法1：当x<1时，函数y＝x＋3单调递增，且有y<4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，则在x＝1处取得最大值，最大值为5.故函数在整个定义域内的最大值为5.
方法2：作出分段函数y＝ 的图象，如图，由图象可得函数在整个定义域内的最大值为5.
【方法规律】
分段函数的最大(小)值是各段函数最大(小)值中的最大(小)者，或者作出其图象，由图象得出其最大(小)值．
【变式训练2】 求函数y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值.
【解】y=|x+1|-|x-2|=作出函数的图象(图略),由图可知,y∈[-3,3].所以函数的最大值为3,最小值为-3.
【例3】[2021·广东省广州市增城区高一期末改编题] 已知函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值为4,求a的值.
思路点拨　求解与二次函数的最大值、最小值有关的问题,应先考虑该函数的定义域,可以采用配方法和图象法求解.
【解】 f(x)=x2+2ax+1=(x+a)2+1-a2,对称轴为直线x=-a,结合二次函数的图象知:当-a≥,即a≤-时,f(x)max=f(-1)=1-2a+1=4,所以a=-1,满足条件;当-a<,即a>-时,f(x)max=f(2)=4+4a+1=4,所以a=-,满足条件.综上所述,a=-1或a=-.
【方法规律】
求解二次函数的最大(小)值,需要综合考虑开口方向和对称轴与定义域区间的位置关系,当二次函数中含有参数时,需根据参数的不同取值进行分类讨论.
【变式训练3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈ ，求函数f(x)的最小值．
【解】 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，x∈ .当a≥1时，f(x)在 上单调递减，f(x)min＝f(1)＝3－2a；当－1（备选例题）已知函数f(x)=,其中a≤1.
(1) 当a=,x∈[1,2]时,求函数f(x)的值域;
(2) 若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
思路点拨（1) 当a=,x∈[1,2]时,f(x)=x++2,是单调递增函数,求出其最大值和最小值,即可得到其值域.　(2) 分离参数,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理.　
【解】(1) 当a=,x∈[1,2]时,f(x)=x++2,f(x)在x∈[1,2]上是单调递增,证明如下:设1≤x10,2x1x2-1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2) 当x∈[1,+∞)时,>0恒成立,则x2+2x+a>0对x∈[1,+∞)恒成立,即a>-(x2+2x)在x∈[1,+∞)上恒成立.令g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1,x∈[1,+∞),所以g(x)在[1,+∞)上是单调递减,g(x)max=g(1)=-3.又a≤1,所以-3【方法规律】
(1) 若函数f(x)在[a,b]上是单调递增,则f(x)min=f(a),f(x)max=f(b),得值域为[f(a),f(b)],若函数f(x)在[a,b]上是减函数,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),得值域为[f(b),f(a)].
(2) 不等式恒成立问题常可转化为函数的最值问题借助单调性来求解.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. [教材改编题]函数f(x)＝ 的最大值是(　 　)
A. B. C. D.
A
2． [2021·湖南省怀化市高一期末]下列函数中，在(0，＋∞)上存在最小值的是( 　　)
A. y＝(x－1)2 B. y＝
C. y＝－x2＋2x D. y＝2x＋1
A
3. (多选)[2021·江苏省常州市高一期末]已知函数f(x)＝ (x∈[3，5])，下列结论中正确的是(　 　)
A. f(x)是增函数 B. f(x)是减函数
C. f(x)的最大值是 D. f(x)的值域是
ACD
4. 已知函数f(x)=其中m>0,若f(x)的最小值为0,则实数m的取值范围是　　　　.
5. [2021·陕西省汉中市汉台中学高三月考]二次函数f(x)=x2-2x+3在[0,m]上有最大值3,最小值1,则实数m的取值范围是　　　　.
[2,4]
(0,4]
同学们再见！
Goodbye Students！