【金版学案】2014-2015高中数学必修2苏教版分层演练：1.2.2　空间两条直线的位置关系

数学·必修2(苏教版)
1．2　点、线、面之间的位置关系
1.2.2　空间两条直线的位置关系
知识点一　空间两条直线之间的位置关系
1．如图， 将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的所成角大小是________．
解析：先把平面图形还原为正方体(如下图)，然后根据图形就可以看出△ABC是等边三角形．
答案：60°
2．一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是________．
解析：可用模型演示．
答案：可能平行、可能相交、可能异面
3．下列命题中，其中正确的为________(填序号)．
①若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行；
②若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行；
③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行；
④若两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线互相平行；
⑤若两条直线都和第三条直线有公共点，那么这两条直线不可能互相平行．
解析：根据两条直线的位置关系，知只有③正确．
答案：③
知识点二　平行公理及等角定理的判断与应用
4．如果一个角两边与另一个角的两边分别平行，并且方向不相同，那么这两个角________．
解析：根据等角定理，但条件中方向相同变成了方向不相同，所以两角只能互补．
答案：互补
知识点三　异面直线及其所成角的概念
5．两条异面直线指的是________(填序号)．
①空间中不相交的两条直线；
②分别位于两个不同平面内的两条直线；
③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线；
④不同在任何一个平面内的两条直线．
解析：根据异面直线定义来判定．选项①中两条直线可以平行，选项②③可以借助正方体(如下图)，A′B′与AB这两条直线平行．
答案：④
6．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB与CD所成的角的大小．
解析：分别取AC、AD、BC的中点P、M ( http: / / www.21cnjy.com )、N.连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN(或其补角)就是异面直线AB和CD所成的角，如右图所示．连接MN、AN、DN，设AB＝2，∴PM＝PN＝1.而AN＝DN＝，则MN⊥AD，AM＝1，得MN＝，∴MN2＝MP2＋NP2，∴∠MPN＝90°，即异面直线AB、CD所成的角是90°.
综合点一　两直线位置关系的判断与证明
7．正方体的12条棱中，所在直线为异面直线的共有______对．
解析：正方体的每条棱与其他四条棱所在直线异面，故共有＝24对．
答案：24
综合点二　平行公理的应用
8．如下图，木工师傅沿长方体木块ABCDA1B1C1D1中棱BC和上底面的中心E将长方体木块锯开，问怎样画线？
解析：在面A1C1内过点E作B1C1的平行线，与A1B1、C1D1分别相交于F、G，连接BF、CG即可．
综合点三　异面直线所成角的判断与求解
9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AD、AA1的中点．
(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；
(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．
解析：(1)如下图，连接DC1，
∴DC1∥AB1.
∴∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．
∵∠CC1D＝45°，
∴AB1和CC1所成的角是45°.
(2)如上图，连接DA1，
∵EF∥A1D，AB1∥DC1，
∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．
∵△A1DC1是等边三角形，
∴∠A1DC1＝60°.
即直线AB1和EF所成的角是60°.
10.如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2 ，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是________．
解析：∵BC∥AD，∴∠CBD1为异面直线BD1与AD所成角，连CD1.
则由正四棱柱性质可知∠BCD1＝90°，
又∵BC＝CD＝2，DD1＝4.
∴CD1＝2.
∴tan∠CBD1＝＝，
即BD1与AD所成角的正切值是.
答案：