2023-2024学年人教版八年级数学上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教版八年级数学上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 493.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-06 09:13:01 | ||
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文档简介
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的中点
2．．如图，在中，的垂直平分线交于点D，则，这是根据（ ）
A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 B．中垂线定义
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形三线合一
3．如图，在中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，己知的周长为13，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，AC＝7cm，则△EBC的周长为（ ）
A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm
5．如图，，则（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确
6．如图，直线l与线段交于点O，点P在直线l上，且，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．点P在线段的垂直平分线上
7．如图，中，，如果要使用尺规作图的方法在上确定一点P，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C． D．
8．如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ）
A．13 B．18 C．10.5 D．21
二、填空题
9．如图，在中，，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点D，连接，则为 度．
10．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的 线．
11．如图，在 中，，若，过点A作 于点D，在上取一点，使，则 ＝ ．
12．如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为 ．
13．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ．
三、解答题
14．如图，在联欢会上，有甲、乙、丙三名同学站在的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则摆放凳子的最适当的位置是在内的哪一点上，请用尺规作图找出这个点，并说明在此放凳子公平的理由？
15．如图，点是平分线上一点，，，垂足分别是，．
求证：
(1)；
(2)是线段的垂直平分线．
16．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为．请你解答下列问题：
(1)求的长；
(2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
17．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．
参考答案
1--8BCBDB DBA
9．
10．垂直平分
11．
12．
13．26
14．解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
如图，分别作AB边和BC边的垂直平分线，交点P即为所求．
15．（1）证明：是的平分线上一点，，，
．
在和中，
，
．
．
（2），
点在的垂直平分线上．
又，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线．
16．（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，，，
与是，的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．
17．证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，
∵CB＝CA，
∴∠ABM＝∠BAN，
∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CM＝CN，
∵∠C＝∠C，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵E是AD的垂直平分线上的点，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，
∴∠BNC＝∠BFE，
∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，
∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，
∴∠NDO＝30°，
∴∠BDE＝150°，
故答案为：150°；
探究：
（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CA﹣AN＝CB﹣BM，
∴MC＝NC，
在△BCN和△ACM中，，
∴△BCN≌△ACM（SAS）；
（2）如图，延长ED交BC于点F，
同理得△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，
∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，
∴∠ACB＝∠BDF＝β，
∴∠BDE＝180°﹣β．
故答案为：（180﹣β）；
应用：
∵∠C＝120°，CA＝CB，
∴∠BAC＝30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC＝∠BAC＝15°，
∵AP∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝120°，
∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，
由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠E＝90°，
∵DE＝DF，DE＝1，
∴DF＝2，
∴△DEF的面积为．
故答案为：1．
一、单选题
1．甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的中点
2．．如图，在中，的垂直平分线交于点D，则，这是根据（ ）
A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 B．中垂线定义
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形三线合一
3．如图，在中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，己知的周长为13，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，AC＝7cm，则△EBC的周长为（ ）
A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm
5．如图，，则（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确
6．如图，直线l与线段交于点O，点P在直线l上，且，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．点P在线段的垂直平分线上
7．如图，中，，如果要使用尺规作图的方法在上确定一点P，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C． D．
8．如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ）
A．13 B．18 C．10.5 D．21
二、填空题
9．如图，在中，，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点D，连接，则为 度．
10．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的 线．
11．如图，在 中，，若，过点A作 于点D，在上取一点，使，则 ＝ ．
12．如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为 ．
13．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ．
三、解答题
14．如图，在联欢会上，有甲、乙、丙三名同学站在的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则摆放凳子的最适当的位置是在内的哪一点上，请用尺规作图找出这个点，并说明在此放凳子公平的理由？
15．如图，点是平分线上一点，，，垂足分别是，．
求证：
(1)；
(2)是线段的垂直平分线．
16．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为．请你解答下列问题：
(1)求的长；
(2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
17．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．
参考答案
1--8BCBDB DBA
9．
10．垂直平分
11．
12．
13．26
14．解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
如图，分别作AB边和BC边的垂直平分线，交点P即为所求．
15．（1）证明：是的平分线上一点，，，
．
在和中，
，
．
．
（2），
点在的垂直平分线上．
又，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线．
16．（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，，，
与是，的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．
17．证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，
∵CB＝CA，
∴∠ABM＝∠BAN，
∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CM＝CN，
∵∠C＝∠C，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵E是AD的垂直平分线上的点，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，
∴∠BNC＝∠BFE，
∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，
∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，
∴∠NDO＝30°，
∴∠BDE＝150°，
故答案为：150°；
探究：
（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CA﹣AN＝CB﹣BM，
∴MC＝NC，
在△BCN和△ACM中，，
∴△BCN≌△ACM（SAS）；
（2）如图，延长ED交BC于点F，
同理得△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，
∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，
∴∠ACB＝∠BDF＝β，
∴∠BDE＝180°﹣β．
故答案为：（180﹣β）；
应用：
∵∠C＝120°，CA＝CB，
∴∠BAC＝30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC＝∠BAC＝15°，
∵AP∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝120°，
∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，
由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠E＝90°，
∵DE＝DF，DE＝1，
∴DF＝2，
∴△DEF的面积为．
故答案为：1．