(共34张PPT)
第三章
函数的概念与性质
章末综合提升
思维导图 体系构建
核心素养 能力培优
单 元 综 合 评 价（三）
谢谢观看！
性质
图象定义
函数的集合定义
幂函数
函数单调性的定义及证明
集合的区间表示
概念
特殊
同一函数
函数
单调性
单调性及最值
函数单调性的应用
大小比较
函数
函数的三种表示法
表示
奇偶性
解不等式
函数三种表示法的应用
应用（一）
函数奇偶性的定义及判断
图象特征
建立函数模型
利用分段函数模型解决实际问题
函数奇偶性的应用
奇偶性与单调性的关系
函数性质的探究
奇偶性在求值、求解析式中的应用章末综合提升
素养一 数学运算
数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现学科素养中的数学运算．
题型一 函数的定义域
1．函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为( )
A． B．
C． D．∪
D [由题意知解得x＜1，且x≠，即f(x)的定义域是∪.]
2．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，函数g(x)＝，则函数g(x)的定义域为( )
A． B．(－1，＋∞)
C．∪(0，3) D．
A [由题可得解得－题型二 函数的值域(值)
3．(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________．
解析： 因为＞2，所以f()＝6－4＝2，
所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.
答案： 2
4．已知函数f(x)＝，其定义域是[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
A [f(x)＝＝＝2＋，所以f(x)在[－8，－4)上为减函数，所以f(x)max＝f(－8)＝，无最小值．故选A．]
5．函数y＝x－的值域为________．
解析： 设t＝，则t≥0，且x＝－t2＋，代入原式得y＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋1.因为t≥0，所以y≤.故所求函数的值域为
答案：
题型三 函数的解析式
6．函数f(x)是R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝________．
解析： 设x＞0，则－x＜0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x＞0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x＞0时，f(x)＝x(x＋1).
答案： x(x＋1)
7．如图为函数f(x)的图象，则f(x)＝________．
解析： 当－3≤x<－1时，函数f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－；
当－1≤x<1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f(x)＝x－；
当1≤x<2时，f(x)＝1.
综上所述，f(x)＝
答案：
素养二 直观想象
直观想象主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．本章主要体现在利用函数的图象研究函数的性质．
题型四 函数图象的识别及应用
8．定义运算a b＝设函数f(x)＝x (x＋1)，则该函数的图象应该是( )
C [由a b的定义，可知f(x)＝，由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)，排除A，B；当x<0时，y＝x2>0，排除D，只有C符合，故选C．]
9．对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
解析： (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
图象关于y轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|
＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0，1].
素养三 逻辑推理
逻辑推理主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．本章中，函数单调性、奇偶性的判定及应用体现学科素养中的逻辑推理．
10．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
B [因为f(x)＝，
所以f(x－1)＝＝，
f(x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．故选B．]
11．已知函数f(x)＝.
(1)当x∈(1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并证明；
(2)在(1)的条件下，若实数m满足f(3m)＞f(5－2m)，求m的取值范围．
解析： (1)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝
＝
＝，
因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以3m＞5－2m＞1，解得1＜m＜2，
所以m的取值范围为(1，2).
素养四 数学建模
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．在本章中，数学建模主要体现在函数模型的应用中．
题型六 函数的应用
12．(2021·山西临汾古县第一中学高一期中)国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若旅游团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到最多人数75为止．旅游社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于旅游团人数x(单位：人)的函数关系式．
(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解析： (1)由题意，得
y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S(x)元，
则S(x)＝
即S(x)＝
因为S(x)＝900x－15 000在区间(0，30]上单调递增，所以当x＝30时，S(x)取最大值12 000元．又S(x)＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30，75]，所以当x＝60时，S(x)取得最大值21 000.
因为21 000＞12 000，所以当旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
单元综合评价(三) 函数的概念与性质
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·浙江台州中学高一月考)函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞)
C．[1，2) D．(1，＋∞)
B [由题意得解得x≥1且x≠2，故函数f(x)的定义域为[1，2)∪(2，＋∞)，故选B．]
2．已知函数f(x)＝若f()＋f(1)＝0，则a＝( )
A．－6 B．－3 C．3 D．6
A [因为f(1)＝2，且f()＋f(1)＝0，所以f()＝－2＜0，所以f()＝1＋＝－2，解得a＝－6.故选A．]
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
B [A：y＝x是奇函数，故不符合题意；B：y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C：y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D：y＝－是奇函数，不合题意．]
4．偶函数y＝f(x)在区间[0，4]上单调递减，则有( )
A．f(－1)＞f(2)＞f(－3)
B．f(2)＞f(－1)＞f(－3)
C．f(－3)＞f(－1)＞f(2)
D．f(－1)＞f(－3)＞f(2)
A [由y＝f(x)为偶函数，
则f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
又因为函数y＝f(x)在区间[0，4]上单调递减，
所以f(1)＞f(2)＞f(3).
即f(－1)＞f(2)＞f(－3)，故选A．]
5．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是( )
A．(－24，40) B．[－24，40]
C．(－∞，－24] D．[40，＋∞)
D [∵函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴方程为x＝，且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，
∴根据二次函数的性质可知≥5，解得k≥40，则实数k的取值范围为[40，＋∞)，故选D．]
6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝( )
A．－26 B．－18 C．－10 D．19
A [令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，
∴g(－2)＝－g(2).又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，
∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.]
7．已知f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈[－2，－]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )
A． B． C． D．1
D [当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2.当x∈[－2，－]时，f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，∴m≥1，n≤0，∴m－n≥1，m－n的最小值为1.故选D．]
8．(2021·河南洛阳第一高级中学月考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足＞0.若a，b∈R，a＋b＜0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
B [由题可知，函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，则m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故m＝2.
所以f(x)＝x7，又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为R上单调递增的奇函数，
由a＋b＜0，得a＜－b，
所以f(a)＜f(－b)＝－f(b)，
则f(a)＋f(b)＜0，故选B．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．)
9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2
BD [因为f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确．故选BD．]
10．已知函数f(x)＝则下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为R
C．f(x)为奇函数 D．f(x)为增函数
ACD [根据分段函数的解析式可知，f(x)的定义域为R，选项A正确；f(x)的值域为(－∞，－1)∪{0}∪(1，＋∞)，选项B不正确；画出函数图象可知，选项C，D正确．故选ACD．]
11．甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
BD [在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．故选BD．]
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列四个结论中正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x) 在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减
D．若x＞0时，f(x)＝x2－2x，则x＜0时，f(x)＝－x2－2x
ABD [由奇函数在x＝0处有定义知，f(0)＝0，故A正确；由图象的对称性可知B正确；由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C错误；当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∴－f(x)＝f(－x)＝x2＋2x，∴f(x)＝－x2－2x，故D正确．故选ABD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知f()＝，则函数f(x)的解析式为____________．
解析： 令t＝，则x＝(t≠0且t≠－1)，
∴f(t)＝＝(t≠0且t≠－1)，
∴f(x)＝(x≠－1且x≠0).
答案： f(x)＝(x≠－1且x≠0)
14．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a＝__________．
解析： 由题意知a≠0，当a＞0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上可知a＝±2.
答案： ±2
15．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为_______________________________元．
解析： 设每天获得的销售利润为y元，则y＝mx－30m＝(162－3x)(x－30)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，
由162－3x≥0，得x≤54，则30≤x≤54，
当x＝42时，y有最大值为432，
所以若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为42元．
答案： 42
16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号).
解析： 因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以①为偶函数；因为f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝f(－x)，则g(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－g(x)，所以②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，
则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．
答案： ②④
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
解析： (1)函数f(x)的大致图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，函数f(x)的单调递减区间为(2，4].
18．(本小题满分12分)在①f(x＋1)＝f(x)＋2x－1；②f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3；③f(x)≥2恒成立，且f(0)＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，__________．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1，4]上的值域．
解析： 若选择①：
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c，
因为f(x＋1)＝f(x)＋2x－1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c＝ax2＋(b＋2)x＋c－1，
所以，解得a＝1，b＝－2；
又因为二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，可得a＋b＋c＝2，所以c＝3，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
若选择②：
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝3，可得c＝3.因为f(x＋1)＝f(1－x)，
所以二次函数f(x)的对称轴为x＝1，
即－＝1，
二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，可得a＋b＋c＝2，解得a＝1，b＝－2，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
若选择③：
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝3，可得c＝3，
因为二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，可得a＋b＋c＝2，所以a＋b＝－1，
又f(x)≥2恒成立，可知对称轴x＝1，即－＝1，解得a＝1，b＝－2，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
(2)根据(1)可知f(x)＝x2－2x＋3，因为对称轴x＝1，
可知f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在区间(1，4]上单调递增，所以f(x)max＝f(4)＝11，f(x)min＝f(1)＝2，
故f(x)在[－1，4]上的值域为[2，11].
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
解析： (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，解得b＝0.
又f(2)＝，∴＝，∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋，则f(x)在(－∞，－1]上单调递增．证明如下．
设x1＜x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－).∵x1＜x2≤－1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，1－＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在(－∞，－1]上单调递增．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析： (1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2×(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1，3].
21．(本小题满分12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解析： (1)∵a＞b，∴a－b＞0，
由题意得＞0，∴f(a)＋f(－b)＞0.
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b).
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数．
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.
∴实数m的取值范围为(－∞，4].
22．(本小题满分12分)某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共14 t，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工销售后，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(t)有如下关系：P＝.设该蔬菜种植基地将x(t)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元).(注：总利润＝销售获利－加工费)
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润．
解析： (1)由题意，知当0≤x≤8时，
y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋，
当8＜x≤14时，
y＝0.6x＋0.2(14－x)－＝x＋2，
即y＝
(2)由(1)知当0≤x≤8时，y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋，
所以当x＝4时，y取得最大值，为.
当8＜x≤14时，y＝x＋2，
所以当x＝14时，y取得最大值，为.
因为＞，所以当x＝4时，y取得最大值为.
故当精加工蔬菜4 t时，总利润最大为万元．章末综合提升
素养一 数学运算
数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现学科素养中的数学运算．
题型一 函数的定义域
1．函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为( )
A． B．
C． D．∪
2．已知函数f(x)的定义域为
，函数g(x)＝，则函数g(x)的定义域为( )
A． B．(－1，＋∞)
C．∪(0，3) D．
题型二 函数的值域(值)
3．(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________．
4．已知函数f(x)＝，其定义域是
5．函数y＝x－的值域为________．
题型三 函数的解析式
6．函数f(x)是R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝________．
7．如图为函数f(x)的图象，则f(x)＝________．
素养二 直观想象
直观想象主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．本章主要体现在利用函数的图象研究函数的性质．
题型四 函数图象的识别及应用
8．定义运算a b＝设函数f(x)＝x (x＋1)，则该函数的图象应该是( )
9．对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
素养三 逻辑推理
逻辑推理主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．本章中，函数单调性、奇偶性的判定及应用体现学科素养中的逻辑推理．
10．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
11．已知函数f(x)＝.
(1)当x∈(1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并证明；
(2)在(1)的条件下，若实数m满足f(3m)＞f(5－2m)，求m的取值范围．
素养四 数学建模
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．在本章中，数学建模主要体现在函数模型的应用中．
题型六 函数的应用
12．(2021·山西临汾古县第一中学高一期中)国庆期间，某旅行社带旅游团去风景区旅游，若旅游团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若旅游团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到最多人数75为止．旅游社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于旅游团人数x(单位：人)的函数关系式．
(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S(x)元，
则S(x)＝
即S(x)＝
因为S(x)＝900x－15 000在区间(0，30]上单调递增，所以当x＝30时，S(x)取最大值12 000元．又S(x)＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30，75]，所以当x＝60时，S(x)取得最大值21 000.
因为21 000＞12 000，所以当旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
单元综合评价(三) 函数的概念与性质
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·浙江台州中学高一月考)函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞)
C．[1，2) D．(1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝若f()＋f(1)＝0，则a＝( )
A．－6 B．－3 C．3 D．6
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
4．偶函数y＝f(x)在区间
上单调递减，则有( )
A．f(－1)＞f(2)＞f(－3)
B．f(2)＞f(－1)＞f(－3)
C．f(－3)＞f(－1)＞f(2)
D．f(－1)＞f(－3)＞f(2)
5．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是( )
A．(－24，40) B．[－24，40]
C．(－∞，－24] D．[40，＋∞)
6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝( )
A．－26 B．－18 C．－10 D．19
7．已知f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈
时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )
A． B． C． D．1
8．(2021·河南洛阳第一高级中学月考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足＞0.若a，b∈R，a＋b＜0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．)
9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2
10．已知函数f(x)＝则下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为R
C．f(x)为奇函数 D．f(x)为增函数
11．甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列四个结论中正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x) 在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减
D．若x＞0时，f(x)＝x2－2x，则x＜0时，f(x)＝－x2－2x
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知f()＝，则函数f(x)的解析式为____________．
14．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a＝__________．
15．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为_______________________________元．
16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号).
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
18．(本小题满分12分)在①f(x＋1)＝f(x)＋2x－1；②f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3；③f(x)≥2恒成立，且f(0)＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，__________．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1，4]上的值域．
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
21．(本小题满分12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
22．(本小题满分12分)某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共14 t，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工销售后，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(t)有如下关系：P＝.设该蔬菜种植基地将x(t)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元).(注：总利润＝销售获利－加工费)
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润．单元综合评价(三) 函数的概念与性质
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·浙江台州中学高一月考)函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞)
C．[1，2) D．(1，＋∞)
B [由题意得解得x≥1且x≠2，故函数f(x)的定义域为[1，2)∪(2，＋∞)，故选B．]
2．已知函数f(x)＝若f()＋f(1)＝0，则a＝( )
A．－6 B．－3 C．3 D．6
A [因为f(1)＝2，且f()＋f(1)＝0，所以f()＝－2＜0，所以f()＝1＋＝－2，解得a＝－6.故选A．]
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
B [A：y＝x是奇函数，故不符合题意；B：y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C：y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D：y＝－是奇函数，不合题意．]
4．偶函数y＝f(x)在区间[0，4]上单调递减，则有( )
A．f(－1)＞f(2)＞f(－3)
B．f(2)＞f(－1)＞f(－3)
C．f(－3)＞f(－1)＞f(2)
D．f(－1)＞f(－3)＞f(2)
A [由y＝f(x)为偶函数，
则f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
又因为函数y＝f(x)在区间[0，4]上单调递减，
所以f(1)＞f(2)＞f(3).
即f(－1)＞f(2)＞f(－3)，故选A．]
5．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是( )
A．(－24，40) B．[－24，40]
C．(－∞，－24] D．[40，＋∞)
D [∵函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴方程为x＝，且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，
∴根据二次函数的性质可知≥5，解得k≥40，则实数k的取值范围为[40，＋∞)，故选D．]
6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝( )
A．－26 B．－18 C．－10 D．19
A [令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，
∴g(－2)＝－g(2).又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，
∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.]
7．已知f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈[－2，－]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )
A． B． C． D．1
D [当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2.当x∈[－2，－]时，f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，∴m≥1，n≤0，∴m－n≥1，m－n的最小值为1.故选D．]
8．(2021·河南洛阳第一高级中学月考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足＞0.若a，b∈R，a＋b＜0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
B [由题可知，函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，则m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故m＝2.
所以f(x)＝x7，又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为R上单调递增的奇函数，
由a＋b＜0，得a＜－b，
所以f(a)＜f(－b)＝－f(b)，
则f(a)＋f(b)＜0，故选B．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．)
9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2
BD [因为f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确．故选BD．]
10．已知函数f(x)＝则下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为R
C．f(x)为奇函数 D．f(x)为增函数
ACD [根据分段函数的解析式可知，f(x)的定义域为R，选项A正确；f(x)的值域为(－∞，－1)∪{0}∪(1，＋∞)，选项B不正确；画出函数图象可知，选项C，D正确．故选ACD．]
11．甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
BD [在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．故选BD．]
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列四个结论中正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x) 在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减
D．若x＞0时，f(x)＝x2－2x，则x＜0时，f(x)＝－x2－2x
ABD [由奇函数在x＝0处有定义知，f(0)＝0，故A正确；由图象的对称性可知B正确；由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C错误；当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∴－f(x)＝f(－x)＝x2＋2x，∴f(x)＝－x2－2x，故D正确．故选ABD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知f()＝，则函数f(x)的解析式为____________．
解析： 令t＝，则x＝(t≠0且t≠－1)，
∴f(t)＝＝(t≠0且t≠－1)，
∴f(x)＝(x≠－1且x≠0).
答案： f(x)＝(x≠－1且x≠0)
14．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a＝__________．
解析： 由题意知a≠0，当a＞0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上可知a＝±2.
答案： ±2
15．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为_______________________________元．
解析： 设每天获得的销售利润为y元，则y＝mx－30m＝(162－3x)(x－30)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，
由162－3x≥0，得x≤54，则30≤x≤54，
当x＝42时，y有最大值为432，
所以若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为42元．
答案： 42
16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号).
解析： 因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以①为偶函数；因为f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝f(－x)，则g(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－g(x)，所以②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，
则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．
答案： ②④
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
解析： (1)函数f(x)的大致图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，函数f(x)的单调递减区间为(2，4].
18．(本小题满分12分)在①f(x＋1)＝f(x)＋2x－1；②f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3；③f(x)≥2恒成立，且f(0)＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，__________．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1，4]上的值域．
解析： 若选择①：
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c，
因为f(x＋1)＝f(x)＋2x－1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c＝ax2＋(b＋2)x＋c－1，
所以，解得a＝1，b＝－2；
又因为二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，可得a＋b＋c＝2，所以c＝3，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
若选择②：
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝3，可得c＝3.因为f(x＋1)＝f(1－x)，
所以二次函数f(x)的对称轴为x＝1，
即－＝1，
二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，可得a＋b＋c＝2，解得a＝1，b＝－2，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
若选择③：
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝3，可得c＝3，
因为二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，可得a＋b＋c＝2，所以a＋b＝－1，
又f(x)≥2恒成立，可知对称轴x＝1，即－＝1，解得a＝1，b＝－2，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
(2)根据(1)可知f(x)＝x2－2x＋3，因为对称轴x＝1，
可知f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在区间(1，4]上单调递增，所以f(x)max＝f(4)＝11，f(x)min＝f(1)＝2，
故f(x)在[－1，4]上的值域为[2，11].
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
解析： (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，解得b＝0.
又f(2)＝，∴＝，∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋，则f(x)在(－∞，－1]上单调递增．证明如下．
设x1＜x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－).∵x1＜x2≤－1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，1－＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在(－∞，－1]上单调递增．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析： (1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2×(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1，3].
21．(本小题满分12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解析： (1)∵a＞b，∴a－b＞0，
由题意得＞0，∴f(a)＋f(－b)＞0.
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b).
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数．
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.
∴实数m的取值范围为(－∞，4].
22．(本小题满分12分)某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共14 t，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工销售后，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(t)有如下关系：P＝.设该蔬菜种植基地将x(t)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元).(注：总利润＝销售获利－加工费)
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润．
解析： (1)由题意，知当0≤x≤8时，
y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋，
当8＜x≤14时，
y＝0.6x＋0.2(14－x)－＝x＋2，
即y＝
(2)由(1)知当0≤x≤8时，y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋，
所以当x＝4时，y取得最大值，为.
当8＜x≤14时，y＝x＋2，
所以当x＝14时，y取得最大值，为.
因为＞，所以当x＝4时，y取得最大值为.
故当精加工蔬菜4 t时，总利润最大为万元．单元综合评价(三) 函数的概念与性质
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·浙江台州中学高一月考)函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞)
C．[1，2) D．(1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝若f()＋f(1)＝0，则a＝( )
A．－6 B．－3 C．3 D．6
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
4．偶函数y＝f(x)在区间[0，4]上单调递减，则有( )
A．f(－1)＞f(2)＞f(－3)
B．f(2)＞f(－1)＞f(－3)
C．f(－3)＞f(－1)＞f(2)
D．f(－1)＞f(－3)＞f(2)
5．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是( )
A．(－24，40) B．[－24，40]
C．(－∞，－24] D．[40，＋∞)
6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝( )
A．－26 B．－18 C．－10 D．19
7．已知f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈[－2，－]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )
A． B． C． D．1
8．(2021·河南洛阳第一高级中学月考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm3－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足＞0.若a，b∈R，a＋b＜0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．)
9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2
10．已知函数f(x)＝则下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为R
C．f(x)为奇函数 D．f(x)为增函数
11．甲同学家到乙同学家的途中有一个公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列四个结论中正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x) 在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减
D．若x＞0时，f(x)＝x2－2x，则x＜0时，f(x)＝－x2－2x
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知f()＝，则函数f(x)的解析式为____________．
14．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a＝__________．
15．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为_______________________________元．
16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号).
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
18．(本小题满分12分)在①f(x＋1)＝f(x)＋2x－1；②f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3；③f(x)≥2恒成立，且f(0)＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数f(x)的图象经过点(1，2)，__________．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1，4]上的值域．
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
21．(本小题满分12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
22．(本小题满分12分)某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共14 t，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工销售后，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(t)有如下关系：P＝.设该蔬菜种植基地将x(t)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元).(注：总利润＝销售获利－加工费)
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润．
