(共34张PPT)
第三章
函数的概念与性质
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（二十五）
谢谢观看！3.4 函数的应用(一)
[学习目标] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．
知识点一 一次函数模型
某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A和B两地的总运费为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
(3)求总运费最低的调运方案及最低运费．
解析： (1)甲地调运x台到B地，则剩下(6－x)台电脑调运到A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N).
则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，
所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6).
(2)若使y≤1 000，即20x＋960≤1 000，得x≤2.
又0≤x≤6，x∈N，
所以0≤x≤2，x∈N.
所以x＝0，1，2，即能有3种调运方案．
(3)因为y＝20x＋960是R上的增函数，又0≤x≤6，x∈N，
所以当x＝0时，y有最小值为960.
即甲地将6台运到A地，乙地调8台到B地，运到A地4台，最低运费960元．
用一次函数模型解决实际问题的策略
(1)解析式：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．
(2)单调性：对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a<0时为减函数．
知识点二 二次函数模型
某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x元/箱之间的函数关系式．
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x元/箱之间的函数关系式．
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
解析： (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，所以w＝(－3x＋240)(x－40)＝－3x2＋360x－9 600( 50≤x≤55，x∈N).
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x＜60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润是1 125元．
构建函数模型应把握四点
“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
(1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常表现为求函数值．
(2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化的根源，通常设变化的根源为自变量．
(3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知量表示函数值，直至求出函数解析式．
(4)“限制什么”就是指自变量所应满足的限制条件，不仅要考虑自变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的其他所有量是否有意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等．
即时练1.(2021·江苏省南京市期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，另需增加投入0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是年产量(单位：百台).
(1)将利润表示为关于年产量的函数；
(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？
解析： (1)依题意得，设利润为G(x)，则G(x)＝5x－x2－(0.5＋0.25x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5).
(2)由(1)可知，G(x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)，当x＝4.75时，G(x)有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．
分段函数模型
(链接教材P93例1，P94例2 )某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R(x)＝其中x是仪器的产量(单位：台).
(1)将利润f(x)(单位：元)表示为产量x的函数(利润＝总收益－总成本)；
(2)当产量x为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解析： (1)当0≤x≤400时，f(x)＝400x－x2－100x－20 000＝－x2＋300x－20 000；
当x＞400时，f(x)＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x.
所以f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－20 000＝－(x－300)2＋25 000，
当x＝300时，f(x)max＝25 000.
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x＜f(400)＝20 000＜25 000.所以当x＝300时，f(x)max＝25 000.
故当产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”).
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域).
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，求各段范围的并集，最后再下结论(关键词：值域).
即时练2.某游乐场每天的盈利额y(元)与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试解决下列问题．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，则每天至少需要卖出多少张门票？
解析： (1)当x∈[0，200]时，可设y＝k1x＋b1(k1≠0)，
代入点(0，－1 000)和(200，1 000)，
解得k1＝10，b1＝－1 000，
所以y＝10x－1 000，x∈[0，200].
当x∈(200，300]时，可设y＝k2x＋b2(k2≠0)，
代入点(200，500)和(300，2 000)，
解得k2＝15，b2＝－2 500，
所以y＝15x－2 500，x∈(200，300].
所以y＝
(2)若每天的盈利额超过1 000元，
则x∈(200，300]，所以y＝15x－2 500.
由15x－2 500>1 000，解得x>≈233.3，
故每天至少需要卖出234张门票．
1．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝x(x≥0) D．y＝x
A [由题意设y＝kx(k≠0)，将(36，108)代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0.]
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．25 C．40 D．50
B [令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不符合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不符合题意．故该公司拟录用25人．]
3．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表所示：
x/元 130 150 165
y/件 70 50 35
如果日销售量y是关于销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
解析： 设y＝ax＋b(a≠0)，
则解得
∴y＝200－x.
当每件产品的销售价为x元时，每件产品的销售利润为(x－120)元，
设每天的销售利润为S元，则S＝(200－x)×(x－120)＝－x2＋320x－24 000＝－(x－160)2＋1 600，120＜x＜200，
∴当x＝160时，S取得最大值1 600.
所以，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为160元，此时每天的销售利润为1 600元．
课时作业(二十五) 函数的应用(一)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是( )
A [从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A．]
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是( )
A．x＝60t
B．x＝150－50t
C．x＝
D．x＝
D [显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数，故选D．]
3．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为( )
A．300元 B．400元 C．700元 D．860元
D [设从甲仓库调往A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4.设总费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)，要使运费y最少，则需x最大，所以当x＝10时，运费y最少，为860元．]
4．(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是( )
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
BD [大包装饼干300克8.4元，则平均每100克2.8元，小包装饼干100克3元，则买大包装饼干实惠，故B正确；卖1大包饼干盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包饼干盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包饼干盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多，故D正确．故选BD．]
5．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话2 min，需付电话费________元；通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3，那么电话费y(元)与通话时间t (min)之间的函数关系式是________________．
解析： 由题图知，通话2 min，需付电话费3.6元，通话5 min，需付电话费6元．
当t≥3时，设y＝kx＋b(k＞0)，则有
解得∴当t≥3时，y＝1.2t.
答案： 3.6 6 y＝1.2t(t≥3)
6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为___________万元．
解析： 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27 万元，代入y＝xa中，得3a＝27，解得a＝3，故函数解析式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
答案： 125
7．某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/吨 每吨收费标准y/元
不超过2吨部分 m
超过2吨不超过4吨部分 3
超过4吨部分 n
已知某用户1月份用水量为8吨，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6吨，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)若某用户3月份用水量为3.5吨，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水．
解析： (1)由题设可得
y＝
当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，
代入得解得
所以y关于x的函数解析式为
y＝
(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5(元).故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．
(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.
故该用户最多可以用6.5吨水．
8．(2021·北京东直门中学高一月考)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出x的取值范围；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解析： (1)如图所示，作PQ⊥AF于点Q，
则PQ＝(8－y)米，EQ＝4－(8－x)＝(x－4)米，其中4≤x≤8.
易知△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝，
所以y＝－x＋10，其中x∈[4，8].
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，x∈[4，8]，
根据二次函数的性质，可得当x∈[4，8]时，
S＝－(x－10)2＋50单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM的面积最大，最大面积为48平方米．
[能力提升]
9．(多选)(2021·湖北襄阳一中、枣阳一中、宜城一中等五校高一期中)为预防流感病毒，某校每天定时对教室进行喷洒消毒．当教室内每立方米药物含量超过0.25 mg时能有效杀灭病毒．已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为：y＝(a为常数)，则下列说法正确的是( )
A．当0≤x≤0.2时，y＝5x
B．当x＞0.2时，y＝
C．教室内持续有效杀灭病毒时间为 h
D．喷洒药物3 min后开始进行有效杀灭病毒
ABD [在药物释放过程中，
设y＝kx(k≠0)，由题图知，
将点(0.2，1)代入，可得k＝5，
所以当0≤x≤0.2时，y＝5x，A正确．
当x＞0.2时，将点(0.2，1)代入y＝，
解得a＝0.2，
此时y＝，B正确．
令5x＝0.25，解得x＝0.05 h，即x＝3 min，D正确．
令＝0.25，解得x＝0.8 h，即48 min，教室内持续有效杀灭病毒时间为48－3＝45 min，即 h，C错误．故选ABD．]
10．(多选)(2021·广州越秀高一期末)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是( )
A．y1＝ B．y2＝0.4x
C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值
BCD [依题意设y1＝，y2＝k2x，k1≠0，k2≠0，x＞0，
∵在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，
∴＝1，10 k2＝4，解得k1＝10，k2＝0.4.
∴y1＝，y2＝0.4x，x＞0，
∴y1＋y2＝＋0.4x≥2＝4，当且仅当＝0.4x，即x＝5时，等号成立，所以选项B，C正确，选项A错误；
∵y1－y2＝－0.4x在(0，＋∞)上单调递减，
∴y1－y2无最小值，选项D正确，
故选BCD．]
11．已知直角梯形ABCD，如图1所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x).如果函数y＝f(x)的图象如图2所示，则△ABC的面积为________．
解析： 由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，
所以AB＝5＋＝5＋3＝8.
所以S△ABC＝×8×4＝16.
答案： 16
12．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝
(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N).则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为________．
解析： 设日销售额为F(t).
①当0≤t＜20，t∈N时，
F(t)＝＝－＋.
故当t＝10或t＝11时，F(t)max＝176.
②当20≤t≤40，t∈N时，
F(t)＝(－t＋41)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，F(t)max＝161.
综合①②知，当t＝10或t＝11时，日销售额最大，最大值为176.
答案： 176
13．经济学中，函数f(x)的边际函数M(x)定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x).某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x) ＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求该公司利润函数P(x)的边际利润函数M1(x).
(2)该公司利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值．
解析： (1)由题意得
P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000(1≤x≤100，x∈N)，
∴M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x(1≤x≤100，x∈N).
(2)∵P(x)＝－20＋74 125，
∴x＝62或x＝63时，P(x)max＝74 120.
∵M1(x)＝2 480－40x，∴当x＝1时，M1(x)max＝2 440，
∴P(x)与M1(x)不具有相等的最大值．
14．(2021·江苏常州高二期中)为了响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2 500万元．每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式．(利润＝收入－成本)
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
解析： (1)当0＜x＜40时，L(x)＝9×100x－10x2－500x－2 500＝－10x2＋400x－2 500；
当x≥40时，L(x)＝9×100x－901x－＋4 300－2 500＝1 800－.
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1 500；
当x＝20时，L(x)max＝1 500；
当x≥40时，L(x)＝1 800－≤1 800－2＝1 800－200＝1 600，
当且仅当x＝，即x＝100时，等号成立．
因为1 600＞1 500，
所以，当x＝100时，即年生产100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1 600万元．3.4 函数的应用(一)
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．
知识点一 一次函数模型
某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A和B两地的总运费为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
(3)求总运费最低的调运方案及最低运费．
用一次函数模型解决实际问题的策略
(1)解析式：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．
(2)单调性：对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a<0时为减函数．
知识点二 二次函数模型
某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x元/箱之间的函数关系式．
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x元/箱之间的函数关系式．
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
构建函数模型应把握四点
“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
(1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常表现为求函数值．
(2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化的根源，通常设变化的根源为自变量．
(3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知量表示函数值，直至求出函数解析式．
(4)“限制什么”就是指自变量所应满足的限制条件，不仅要考虑自变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的其他所有量是否有意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等．
即时练1.(2021·江苏省南京市期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，另需增加投入0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是年产量(单位：百台).
(1)将利润表示为关于年产量的函数；
(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？
分段函数模型
(链接教材P93例1，P94例2 )某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R(x)＝其中x是仪器的产量(单位：台).
(1)将利润f(x)(单位：元)表示为产量x的函数(利润＝总收益－总成本)；
(2)当产量x为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”).
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域).
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，求各段范围的并集，最后再下结论(关键词：值域).
即时练2.某游乐场每天的盈利额y(元)与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试解决下列问题．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，则每天至少需要卖出多少张门票？
1．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝x(x≥0) D．y＝x
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．25 C．40 D．50
3．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表所示：
x/元 130 150 165
y/件 70 50 35
如果日销售量y是关于销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
课时作业(二十五) 函数的应用(一)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是( )
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是( )
A．x＝60t
B．x＝150－50t
C．x＝
D．x＝
3．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为( )
A．300元 B．400元 C．700元 D．860元
4．(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是( )
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
5．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话2 min，需付电话费________元；通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3，那么电话费y(元)与通话时间t (min)之间的函数关系式是________________．
6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为___________万元．
7．某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/吨 每吨收费标准y/元
不超过2吨部分 m
超过2吨不超过4吨部分 3
超过4吨部分 n
已知某用户1月份用水量为8吨，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6吨，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)若某用户3月份用水量为3.5吨，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水．
8．(2021·北京东直门中学高一月考)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出x的取值范围；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
9．(多选)(2021·湖北襄阳一中、枣阳一中、宜城一中等五校高一期中)为预防流感病毒，某校每天定时对教室进行喷洒消毒．当教室内每立方米药物含量超过0.25 mg时能有效杀灭病毒．已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为：y＝(a为常数)，则下列说法正确的是( )
A．当0≤x≤0.2时，y＝5x
B．当x＞0.2时，y＝
C．教室内持续有效杀灭病毒时间为 h
D．喷洒药物3 min后开始进行有效杀灭病毒
10．(多选)(2021·广州越秀高一期末)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是( )
A．y1＝ B．y2＝0.4x
C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值
11．已知直角梯形ABCD，如图1所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x).如果函数y＝f(x)的图象如图2所示，则△ABC的面积为________．
12．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝
(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N).则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为________．
13．经济学中，函数f(x)的边际函数M(x)定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x).某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x) ＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求该公司利润函数P(x)的边际利润函数M1(x).
(2)该公司利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值．
14．(2021·江苏常州高二期中)为了响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2 500万元．每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式．(利润＝收入－成本)
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．课时作业(二十五) 函数的应用(一)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是( )
A [从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A．]
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是( )
A．x＝60t
B．x＝150－50t
C．x＝
D．x＝
D [显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数，故选D．]
3．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为( )
A．300元 B．400元 C．700元 D．860元
D [设从甲仓库调往A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4.设总费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)，要使运费y最少，则需x最大，所以当x＝10时，运费y最少，为860元．]
4．(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是( )
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
BD [大包装饼干300克8.4元，则平均每100克2.8元，小包装饼干100克3元，则买大包装饼干实惠，故B正确；卖1大包饼干盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包饼干盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包饼干盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多，故D正确．故选BD．]
5．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话2 min，需付电话费________元；通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3，那么电话费y(元)与通话时间t (min)之间的函数关系式是________________．
解析： 由题图知，通话2 min，需付电话费3.6元，通话5 min，需付电话费6元．
当t≥3时，设y＝kx＋b(k＞0)，则有
解得∴当t≥3时，y＝1.2t.
答案： 3.6 6 y＝1.2t(t≥3)
6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为___________万元．
解析： 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27 万元，代入y＝xa中，得3a＝27，解得a＝3，故函数解析式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
答案： 125
7．某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/吨 每吨收费标准y/元
不超过2吨部分 m
超过2吨不超过4吨部分 3
超过4吨部分 n
已知某用户1月份用水量为8吨，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6吨，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)若某用户3月份用水量为3.5吨，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水．
解析： (1)由题设可得
y＝
当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，
代入得解得
所以y关于x的函数解析式为
y＝
(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5(元).故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．
(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.
故该用户最多可以用6.5吨水．
8．(2021·北京东直门中学高一月考)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出x的取值范围；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解析： (1)如图所示，作PQ⊥AF于点Q，
则PQ＝(8－y)米，EQ＝4－(8－x)＝(x－4)米，其中4≤x≤8.
易知△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝，
所以y＝－x＋10，其中x∈[4，8].
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，x∈[4，8]，
根据二次函数的性质，可得当x∈[4，8]时，
S＝－(x－10)2＋50单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM的面积最大，最大面积为48平方米．
[能力提升]
9．(多选)(2021·湖北襄阳一中、枣阳一中、宜城一中等五校高一期中)为预防流感病毒，某校每天定时对教室进行喷洒消毒．当教室内每立方米药物含量超过0.25 mg时能有效杀灭病毒．已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为：y＝(a为常数)，则下列说法正确的是( )
A．当0≤x≤0.2时，y＝5x
B．当x＞0.2时，y＝
C．教室内持续有效杀灭病毒时间为 h
D．喷洒药物3 min后开始进行有效杀灭病毒
ABD [在药物释放过程中，
设y＝kx(k≠0)，由题图知，
将点(0.2，1)代入，可得k＝5，
所以当0≤x≤0.2时，y＝5x，A正确．
当x＞0.2时，将点(0.2，1)代入y＝，
解得a＝0.2，
此时y＝，B正确．
令5x＝0.25，解得x＝0.05 h，即x＝3 min，D正确．
令＝0.25，解得x＝0.8 h，即48 min，教室内持续有效杀灭病毒时间为48－3＝45 min，即 h，C错误．故选ABD．]
10．(多选)(2021·广州越秀高一期末)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是( )
A．y1＝ B．y2＝0.4x
C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值
BCD [依题意设y1＝，y2＝k2x，k1≠0，k2≠0，x＞0，
∵在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，
∴＝1，10 k2＝4，解得k1＝10，k2＝0.4.
∴y1＝，y2＝0.4x，x＞0，
∴y1＋y2＝＋0.4x≥2＝4，当且仅当＝0.4x，即x＝5时，等号成立，所以选项B，C正确，选项A错误；
∵y1－y2＝－0.4x在(0，＋∞)上单调递减，
∴y1－y2无最小值，选项D正确，
故选BCD．]
11．已知直角梯形ABCD，如图1所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x).如果函数y＝f(x)的图象如图2所示，则△ABC的面积为________．
解析： 由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，
所以AB＝5＋＝5＋3＝8.
所以S△ABC＝×8×4＝16.
答案： 16
12．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝
(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N).则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为________．
解析： 设日销售额为F(t).
①当0≤t＜20，t∈N时，
F(t)＝＝－＋.
故当t＝10或t＝11时，F(t)max＝176.
②当20≤t≤40，t∈N时，
F(t)＝(－t＋41)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，F(t)max＝161.
综合①②知，当t＝10或t＝11时，日销售额最大，最大值为176.
答案： 176
13．经济学中，函数f(x)的边际函数M(x)定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x).某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x) ＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求该公司利润函数P(x)的边际利润函数M1(x).
(2)该公司利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值．
解析： (1)由题意得
P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000(1≤x≤100，x∈N)，
∴M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x(1≤x≤100，x∈N).
(2)∵P(x)＝－20＋74 125，
∴x＝62或x＝63时，P(x)max＝74 120.
∵M1(x)＝2 480－40x，∴当x＝1时，M1(x)max＝2 440，
∴P(x)与M1(x)不具有相等的最大值．
14．(2021·江苏常州高二期中)为了响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2 500万元．每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式．(利润＝收入－成本)
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
解析： (1)当0＜x＜40时，L(x)＝9×100x－10x2－500x－2 500＝－10x2＋400x－2 500；
当x≥40时，L(x)＝9×100x－901x－＋4 300－2 500＝1 800－.
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1 500；
当x＝20时，L(x)max＝1 500；
当x≥40时，L(x)＝1 800－≤1 800－2＝1 800－200＝1 600，
当且仅当x＝，即x＝100时，等号成立．
因为1 600＞1 500，
所以，当x＝100时，即年生产100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1 600万元．课时作业(二十五) 函数的应用(一)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是( )
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是( )
A．x＝60t
B．x＝150－50t
C．x＝
D．x＝
3．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为( )
A．300元 B．400元 C．700元 D．860元
4．(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是( )
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
5．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话2 min，需付电话费________元；通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3，那么电话费y(元)与通话时间t (min)之间的函数关系式是________________．
6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为___________万元．
7．某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/吨 每吨收费标准y/元
不超过2吨部分 m
超过2吨不超过4吨部分 3
超过4吨部分 n
已知某用户1月份用水量为8吨，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6吨，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)若某用户3月份用水量为3.5吨，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水．
8．(2021·北京东直门中学高一月考)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出x的取值范围；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
9．(多选)(2021·湖北襄阳一中、枣阳一中、宜城一中等五校高一期中)为预防流感病毒，某校每天定时对教室进行喷洒消毒．当教室内每立方米药物含量超过0.25 mg时能有效杀灭病毒．已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为：y＝(a为常数)，则下列说法正确的是( )
A．当0≤x≤0.2时，y＝5x
B．当x＞0.2时，y＝
C．教室内持续有效杀灭病毒时间为 h
D．喷洒药物3 min后开始进行有效杀灭病毒
10．(多选)(2021·广州越秀高一期末)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是( )
A．y1＝ B．y2＝0.4x
C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值
11．已知直角梯形ABCD，如图1所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x).如果函数y＝f(x)的图象如图2所示，则△ABC的面积为________．
13．经济学中，函数f(x)的边际函数M(x)定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x).某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x) ＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求该公司利润函数P(x)的边际利润函数M1(x).
(2)该公司利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值．
14．(2021·江苏常州高二期中)为了响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2 500万元．每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式．(利润＝收入－成本)
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
