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第三章
函数的概念与性质
y＝xα
x
α
{x|x≠0}
[0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)
(－∞，0)
(0，＋∞)
定点
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（二十四）
谢谢观看！
y=x2
3
y=x2
Y=x
2
y=xi
1
y=x-1
-3
)ri
1
2
3
4
X
-1
Y=x
-2
y=x3
33.3 幂函数
[学习目标] 1.了解幂函数的概念.2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律．
知识点一 幂函数的概念
[问题导引] 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(2)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数；
(3)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数．
提示： (1)y＝x2 (2)y＝x (3)y＝x－1.
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[点拨]
(1)常见幂函数有y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3.
(2)幂函数的特征
①xα的系数为1；
②xα的底数是自变量x，指数α为常数；
③项数只有一项．
(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝2x2
C．y＝2x＋1 D．y＝x－
AD [幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数．]
即时练1.若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
解析： 因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案： 5或－1
即时练2.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________．
解析： 由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝(－3)2＝9.
答案： 9
知识点二 常见幂函数的图象与性质
[问题导引1] 根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？
提示： 根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题．
[问题导引2] 试在同一坐标系中作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1这五个函数的图象．
提示：
常见幂函数的图象与性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x
图象
定义域 R R R [0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
增区间 R [0，＋∞) R 无 [0，＋∞)
减区间 无 (－∞，0) 无 (－∞，0)(0，＋∞) 无
定点 (1，1)
[点拨] 幂函数的图象
观察幂函数的图象在第一象限内的图象特征：
(1)当α>0时，第一象限内的图象是上升的；当α<0时，第一象限内的图象是下降的；
(2)当x>1时，α值大，图象在上方；当0
如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为( )
A．2，，－，－2 B．－2，－，，2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
A [法一 曲线C1，C2过点(0，0)，(1，1)，且在第一象限内单调递增，所以n＞0，n为，2，显然C1对应y＝x2，C2对应y＝x.C3，C4过点(1，1)，且在第一象限内单调递减，所以n<0，n为－2，－，显然C3对应y＝x－，C4对应y＝x－2.
法二 取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝x，y3＝x－，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较得y1＞y2＞y3＞y4，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2.]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
即时练3.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
解析： 因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0).
幂函数的性质及应用
比较下列各组数的大小：
.
解析： (1)∵函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，又4<4.1，∴4－＞4.1－.
(2)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增．
又＞，∴＞，即－8－<－.
比较幂值大小的两种基本方法
即时练4.比较下列各题中两个幂的值的大小：
解析： (1)因为y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，又1.1＞0.9，所以1.1－<0.9－.
(2)因为3－＝，函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且<，所以<，即3－<.
(链接教材P91例题 )探讨函数f(x)＝x－的单调性．
解析： f(x)＝的定义域为(0，＋∞).
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝
＝－＝
＝.
因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，且·(＋)>0，于是f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)所以f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上是减函数．
[一题多变]
(变条件)本例若增加条件“<(3－2a) ”，求实数a的取值范围．
解析： 因为f(x)＝x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a＋1) <(3－2a) 等价于
解得利用幂函数的性质解不等式的步骤
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用．
即时练5.(2021·衢州高一检测)已知幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)，且f(2x＋1)＞8，则实数x的取值范围是________．
解析： 因为幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)，所以2m＋2＝8，
求得m＝1，幂函数f(x)＝x3.
所以f(x)＝x3在R上单调递增，因为f(2x＋1)＞8，即f(2x＋1)＞f(2)，所以2x＋1＞2，x＞.
答案：
1．在函数y＝x－4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [函数y＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．]
2．下列结论正确的是( )
A．幂函数图象一定过原点
B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
D [函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．]
3．幂函数f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为________．
解析： 设f(x)＝xα，则2α＝m，mα＝(2α)α＝2α2＝16，
所以α2＝4，所以α＝±2，所以m＝4或.
答案： 4或
4．判断大小：2.3________2.4.(填“＞”或“<”)
解析： 因为y＝x为[0，＋∞)上的增函数，
且2.3<2.4，所以2.3<2.4.
答案： <
5．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
解析： 因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.
答案： (－∞，0)
课时作业(二十四) 幂函数
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．幂函数f(x)＝kxα过点(4，2)，则k＋α＝( )
A． B．3 C． D．2
A [幂函数f(x)＝kxα中，k＝1，因为函数图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝.所以k＋α＝1＋＝.]
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
A [所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．故选A．]
3．幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
B [设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3，)，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞).故选B．]
4．已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是( )
C [函数f(x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限．所以C中函数图象不是函数y＝f(x)的图象．故选C．]
5．(多选)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是( )
A．f(－2)＞f(1)
B．f(－2)C．f(－2)＝f(－1)
D．若|a|＞|b|＞0，则f(a)BD [幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f(x)＝，f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是有f(－2)＝f(2)6．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
解析： 因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－.
答案： －
7．幂函数y＝x的定义域为________；其奇偶性是________．
解析： 因为y＝x＝3，所以函数的定义域为(－∞，＋∞)，且为偶函数．
答案： (－∞，＋∞) 偶函数
8．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调递增区间是________．
解析： 由题设知f(3)＝9，即3α＝9，所以α＝2.
所以f(x)＝x2，其增区间为[0，＋∞).
答案： [0，＋∞)
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解析： (1)若函数f(x)为正比例函数，
则所以m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则所以m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±.
10．比较下列各组数的大小．
(1)3－与3.1－；
(2)0.32，1.90.3，20.3.
解析： (1)因为函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.1，所以3－＞3.1－.
(2)因为a＝0.32<1，b＝1.90.3＞1，c＝20.3＞1，
又y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
所以1.90.3<20.3.
综上，0.32<1.90.3<20.3.
[能力提升]
11．(2021·山东滨州高一期末)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则( )
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
B [由图象可知，当x＝2时，2a<2d<2c<2b，则a12．(多选)下列命题中是真命题的有( )
A．幂函数的图象都经过点(1，1)和(0，0)
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数
D．当n<0时，幂函数y＝xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小
BD [由于幂函数f(x)＝x－1的图象不经过点(0，0)，所以A不正确；根据幂函数的定义，当x＞0时，y不可能小于0，因此幂函数的图象不可能过第四象限；如幂函数f(x)＝x在其定义域上不是单调函数，所以C不正确；根据幂函数的图象与性质，可得当n<0时，幂函数y＝xn在第一象限内单调递减，所以D是正确的．故选BD．]
13．(多选)(2021·浙江绍兴诸暨中学高一期中)下列说法中错误的有( )
A．y＝x0的图象是一条直线
B．幂函数的图象不过第二象限
C．若函数y＝的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是
D．若幂函数的图象过点(4，2)，则它的单调递增区间是[0，＋∞)
ABC [A选项，因为函数y＝x0的定义域为{x|x≠0}，所以图象不是一条直线，A错误；
B选项，若x<0，a为偶数，则xa可能大于0，B错误；
C选项，当x＞2时，函数y＝的值域为，C错误；
D选项，设幂函数为y＝xa，因为幂函数的图象过点(4，2)，所以2＝4a，解得a＝，则y＝x＝，故单调递增区间是[0，＋∞)，D正确．
故选ABC．]
14．幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
解析： 因为f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，所以m－2<0，故m<2.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－1，f(－x)≠f(x)，不符合题意．
综上知，m＝0.
答案： 0
15．已知点(，2)是幂函数f(x)图象上的点，点是幂函数g(x)图象上的点，当x为何值时，有(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解析： 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵点(，2)是幂函数f(x)图象上的点，
∴2＝()α，
∴α＝2，f(x)＝x2.
∵点是幂函数g(x)图象上的点，
∴＝(－2)β，∴β＝－2，g(x)＝x－2.在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，如图所示，则
(1)若f(x)＞g(x)，则x＞1或x<－1；
(2)若f(x)＝g(x)，则x＝1或x＝－1；
(3)若f(x)16．(2021·四川乐山高一期中)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
(1)求实数m的值．
(2)画出f(x)的大致图象．
(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．
解析： (1)由函数f(x)是幂函数，得m2＋m－1＝1，
解得m＝－2或m＝1.
又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m＝－2.
(2)由(1)知，f(x)＝x－2，x≠0，则f(x)的大致图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，
则由f(2a－1)＞f(a)，
得|2a－1|<|a|.
即(2a－1)2解得又a≠且a≠0，
所以a的取值范围为∪.3.3 幂函数
1.了解幂函数的概念.2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律．
知识点一 幂函数的概念
下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(2)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数；
(3)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数．
提示： (1)y＝x2 (2)y＝x (3)y＝x－1.
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(1)常见幂函数有y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3.
(2)幂函数的特征
①xα的系数为1；
②xα的底数是自变量x，指数α为常数；
③项数只有一项．
(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝2x2
C．y＝2x＋1 D．y＝x－
即时练1.若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
即时练2.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________．
知识点二 常见幂函数的图象与性质
根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？
提示： 根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题．
试在同一坐标系中作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1这五个函数的图象．
提示：
常见幂函数的图象与性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x
图象
定义域 R R R [0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
增区间 R [0，＋∞) R 无 [0，＋∞)
减区间 无 (－∞，0) 无 (－∞，0)(0，＋∞) 无
定点 (1，1)
幂函数的图象
观察幂函数的图象在第一象限内的图象特征：
(1)当α>0时，第一象限内的图象是上升的；当α<0时，第一象限内的图象是下降的；
(2)当x>1时，α值大，图象在上方；当0如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为( )
A．2，，－，－2 B．－2，－，，2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
即时练3.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
幂函数的性质及应用
比较下列各组数的大小：
.
比较幂值大小的两种基本方法
即时练4.比较下列各题中两个幂的值的大小：
(变条件)本例若增加条件“<(3－2a) ”，求实数a的取值范围．
利用幂函数的性质解不等式的步骤
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用．
即时练5.(2021·衢州高一检测)已知幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)，且f(2x＋1)＞8，则实数x的取值范围是________．
1．在函数y＝x－4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列结论正确的是( )
A．幂函数图象一定过原点
B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
3．幂函数f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为________．
4．判断大小：2.3________2.4.(填“＞”或“<”)
5．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
课时作业(二十四) 幂函数
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．幂函数f(x)＝kxα过点(4，2)，则k＋α＝( )
A． B．3 C． D．2
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
3．幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是( )
A．
4．已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是( )
5．(多选)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是( )
A．f(－2)＞f(1)
B．f(－2)C．f(－2)＝f(－1)
D．若|a|＞|b|＞0，则f(a)
6．函数y＝x－3在区间 上的最小值是________．
7．幂函数y＝x的定义域为________；其奇偶性是________．
8．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调递增区间是________．
所以f(x)＝x2，其增区间为
11．(2021·山东滨州高一期末)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则( )
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
12．(多选)下列命题中是真命题的有( )
A．幂函数的图象都经过点(1，1)和(0，0)
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数
D．当n<0时，幂函数y＝xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小
13．(多选)(2021·浙江绍兴诸暨中学高一期中)下列说法中错误的有( )
A．y＝x0的图象是一条直线
B．幂函数的图象不过第二象限
C．若函数y＝的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是
D．若幂函数的图象过点(4，2)，则它的单调递增区间是
14．幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
15．已知点(，2)是幂函数f(x)图象上的点，点是幂函数g(x)图象上的点，当x为何值时，有(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)16．(2021·四川乐山高一期中)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
(1)求实数m的值．
(2)画出f(x)的大致图象．
(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．课时作业(二十四) 幂函数
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．幂函数f(x)＝kxα过点(4，2)，则k＋α＝( )
A． B．3 C． D．2
A [幂函数f(x)＝kxα中，k＝1，因为函数图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝.所以k＋α＝1＋＝.]
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
A [所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．故选A．]
3．幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
B [设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3，)，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞).故选B．]
4．已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是( )
C [函数f(x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限．所以C中函数图象不是函数y＝f(x)的图象．故选C．]
5．(多选)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是( )
A．f(－2)＞f(1)
B．f(－2)C．f(－2)＝f(－1)
D．若|a|＞|b|＞0，则f(a)BD [幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f(x)＝，f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是有f(－2)＝f(2)6．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
解析： 因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－.
答案： －
7．幂函数y＝x的定义域为________；其奇偶性是________．
解析： 因为y＝x＝3，所以函数的定义域为(－∞，＋∞)，且为偶函数．
答案： (－∞，＋∞) 偶函数
8．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调递增区间是________．
解析： 由题设知f(3)＝9，即3α＝9，所以α＝2.
所以f(x)＝x2，其增区间为[0，＋∞).
答案： [0，＋∞)
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解析： (1)若函数f(x)为正比例函数，
则所以m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则所以m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±.
10．比较下列各组数的大小．
(1)3－与3.1－；
(2)0.32，1.90.3，20.3.
解析： (1)因为函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.1，所以3－＞3.1－.
(2)因为a＝0.32<1，b＝1.90.3＞1，c＝20.3＞1，
又y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
所以1.90.3<20.3.
综上，0.32<1.90.3<20.3.
[能力提升]
11．(2021·山东滨州高一期末)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则( )
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
B [由图象可知，当x＝2时，2a<2d<2c<2b，则a12．(多选)下列命题中是真命题的有( )
A．幂函数的图象都经过点(1，1)和(0，0)
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数
D．当n<0时，幂函数y＝xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小
BD [由于幂函数f(x)＝x－1的图象不经过点(0，0)，所以A不正确；根据幂函数的定义，当x＞0时，y不可能小于0，因此幂函数的图象不可能过第四象限；如幂函数f(x)＝x在其定义域上不是单调函数，所以C不正确；根据幂函数的图象与性质，可得当n<0时，幂函数y＝xn在第一象限内单调递减，所以D是正确的．故选BD．]
13．(多选)(2021·浙江绍兴诸暨中学高一期中)下列说法中错误的有( )
A．y＝x0的图象是一条直线
B．幂函数的图象不过第二象限
C．若函数y＝的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是
D．若幂函数的图象过点(4，2)，则它的单调递增区间是[0，＋∞)
ABC [A选项，因为函数y＝x0的定义域为{x|x≠0}，所以图象不是一条直线，A错误；
B选项，若x<0，a为偶数，则xa可能大于0，B错误；
C选项，当x＞2时，函数y＝的值域为，C错误；
D选项，设幂函数为y＝xa，因为幂函数的图象过点(4，2)，所以2＝4a，解得a＝，则y＝x＝，故单调递增区间是[0，＋∞)，D正确．
故选ABC．]
14．幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
解析： 因为f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，所以m－2<0，故m<2.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－1，f(－x)≠f(x)，不符合题意．
综上知，m＝0.
答案： 0
15．已知点(，2)是幂函数f(x)图象上的点，点是幂函数g(x)图象上的点，当x为何值时，有(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解析： 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵点(，2)是幂函数f(x)图象上的点，
∴2＝()α，
∴α＝2，f(x)＝x2.
∵点是幂函数g(x)图象上的点，
∴＝(－2)β，∴β＝－2，g(x)＝x－2.在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，如图所示，则
(1)若f(x)＞g(x)，则x＞1或x<－1；
(2)若f(x)＝g(x)，则x＝1或x＝－1；
(3)若f(x)16．(2021·四川乐山高一期中)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
(1)求实数m的值．
(2)画出f(x)的大致图象．
(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．
解析： (1)由函数f(x)是幂函数，得m2＋m－1＝1，
解得m＝－2或m＝1.
又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m＝－2.
(2)由(1)知，f(x)＝x－2，x≠0，则f(x)的大致图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，
则由f(2a－1)＞f(a)，
得|2a－1|<|a|.
即(2a－1)2解得又a≠且a≠0，
所以a的取值范围为∪.课时作业(二十四) 幂函数
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．幂函数f(x)＝kxα过点(4，2)，则k＋α＝( )
A． B．3 C． D．2
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
3．幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是( )
A．
4．已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是( )
5．(多选)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是( )
A．f(－2)＞f(1)
B．f(－2)C．f(－2)＝f(－1)
D．若|a|＞|b|＞0，则f(a)
6．函数y＝x－3在区间 上的最小值是________．
7．幂函数y＝x的定义域为________；其奇偶性是________．
8．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调递增区间是________．
所以f(x)＝x2，其增区间为
11．(2021·山东滨州高一期末)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则( )
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
12．(多选)下列命题中是真命题的有( )
A．幂函数的图象都经过点(1，1)和(0，0)
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数
D．当n<0时，幂函数y＝xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小
13．(多选)(2021·浙江绍兴诸暨中学高一期中)下列说法中错误的有( )
A．y＝x0的图象是一条直线
B．幂函数的图象不过第二象限
C．若函数y＝的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是
D．若幂函数的图象过点(4，2)，则它的单调递增区间是
14．幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
15．已知点(，2)是幂函数f(x)图象上的点，点是幂函数g(x)图象上的点，当x为何值时，有(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)16．(2021·四川乐山高一期中)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
(1)求实数m的值．
(2)画出f(x)的大致图象．
(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．