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第三章
函数的概念与性质
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（二十三）
谢谢观看！第2课时 函数奇偶性的应用
应用1 由函数的奇偶性求解析式
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解析： (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
当x＞0时，－x<0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(x＋2).
故f(x)＝
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∵f(x)＋g(x)＝2x＋x2，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
[注意] 若函数f(x)的定义域内含有0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.
即时练1.(2020·安徽六安高一期末)已知函数f(x)＝为奇函数，则g(x)＝________．
解析： 因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(0)＝g(0)＝0.
设x<0，则－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1，
所以f(x)＝g(x)＝－f(－x)＝－x2－1.
综上可得g(x)＝
答案：
应用2 利用函数的单调性和奇偶性比较大小
若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．f
B．f(2)C．f(2)D．f(－1)B [由题意得，f(x)为偶函数，
∴f(2)＝f(－2).
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，∴f(2)＝f(－2)利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
即时练2.已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函数，且f(－4)A．f(－1)C．f(－3)D [因为函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，且f(－4)应用3 利用函数的单调性和奇偶性解不等式
已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1，1)，在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.
解析： ∵y＝f(x)，x∈(－1，1)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＋f(1－3x)<0可化为f(1－x)<－f(1－3x)，
即f(1－x)又∵y＝f(x)在(－1，1)上是减函数，
∴f(1－x)
∴0即不等式的解集为.
利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
(2)由已知或利用奇偶性得出在区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题．
[注意] 在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)即时练3.定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)解析： ∵函数f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(|x|).
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).
∴原不等式等价于
解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－x2＋1
C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|－1
D [A中的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，故排除；B中的函数为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，故排除；C中的函数是奇函数，故排除；D中的函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增．]
2．若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上( )
A．单调递增且有最大值－5
B．单调递增且有最小值－5
C．单调递减且有最大值－5
D．单调递减且有最大值－5
A [因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.]
3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2，6]上单调递减，则f(－5)与f(3)的大小关系是________．
解析： 因为f(x)是偶函数，所以f(－5)＝f(5)，因为f(x)在[2，6]上单调递减，所以f(5)即f(－5)答案： f(－5)4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.
求出函数f(x)在R上的解析式．
解析： 因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)＝f(－x).当x<0时，－x＞0，
所以f(x)＝f(－x)＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
课时作业(二十三) 函数奇偶性的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是( )
A．8 B．－8 C． D．－
B [因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(2)＝f(－2)＝(－2)3＝－8.故选B．]
2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－3，则当x<0时，f(x)等于( )
A．x＋3 B．x－3
C．－x－3 D．－x＋3
A [根据题意，设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝－x－3，又由f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x＋3，故选A．]
3．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式＞0的解集为( )
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
A [∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，＝f(x).∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增．当x＞0时，由f(x)＞0，得f(x)＞f(3)，∴x＞3；当x<0时，由f(x)＞0，得f(x)＞f(－3)，∴－34．(多选)(2021·湛江市第二中学期末)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x＋a－2，则( )
A．a＝2 B．f(2)＝2
C．f(x)是R上的增函数 D．f(－3)＝－12
ACD [f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝a－2＝0，得a＝2，故A正确．f(2)＝4＋2＝6，故B错误．当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，故f(x)是R上的增函数，故C正确．f(－3)＝－f(3)＝－9－3＝－12，故D正确．故选ACD．]
5．已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x3－2x2，则当x＞0时，f(x)＝________．
解析： 根据题意，
设x＞0，则－x<0，
则f(－x)＝(－x)3－2(－x)2＝－x3－2x2，
又由f(x)为奇函数，
则f(x)＝－f(－x)＝x3＋2x2.
答案： x3＋2x2
6．奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上最大值为________．
解析： 法一 当x<0时，f(x)＝x2＋x＝(x＋)2－，
所以f(x)有最小值－，
因为f(x)是奇函数，
所以当x＞0时，f(x)有最大值.
法二 当x＞0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－(x－)2＋，
所以当x＞0时，f(x)有最大值.
答案：
7．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解析： ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝.②
(①＋②)÷2，得f(x)＝(x≠±1)；(①－②)÷2，得g(x)＝(x≠±1).
[能力提升]
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)C [根据函数的单调性的定义结合函数f(x)对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]＞0，可得函数f(x)在[0，＋∞)上为单调递增函数，又由函数f(x)为R上的奇函数，可得函数f(x)在R上为单调递增函数，因为－2<1<3，所以f(－2)9．已知a＞0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z.若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M和m的值可能为( )
A．4和3 B．3和1
C．5和2 D．7和4
B [由g(x)＝x5＋2x为奇函数可知，函数g(x)＝x5＋2x在[－a，a]上的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z的最大值M，最小值m满足M＋m＝2b，为偶数，故选B．]
10．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则实数a的值为________．
解析： 因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
答案： 5
11．若函数f(x)是奇函数，且在定义域R上是减函数，f(－2)＝3，则满足－3解析： 由函数f(x)是奇函数且f(－2)＝3，可知f(2)＝－f(－2)＝－3，因此－3答案： (1，5)
12．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＋f(－a)＞0，求实数a的取值范围．
解析： 作出函数图象如图所示，
由图象知，函数f(x)是奇函数，
且在R上是增函数，
由f(2－a2)＋f(－a)＞0，
知f(2－a2)＞－f(－a)，即f(2－a2)＞f(a).
所以2－a2＞a，解得－2实数a的取值范围是(－2，1).第2课时 函数奇偶性的应用
应用1 由函数的奇偶性求解析式
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
即时练1.(2020·安徽六安高一期末)已知函数f(x)＝为奇函数，则g(x)＝________．
应用2 利用函数的单调性和奇偶性比较大小
若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．f B．f(2)C．f(2)D．f(－1)
利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
即时练2.已知函数f(x)在
上是偶函数，在
上是单调函数，且f(－4)A．f(－1)C．f(－3)
应用3 利用函数的单调性和奇偶性解不等式
已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1，1)，在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.
利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
(2)由已知或利用奇偶性得出在区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题．
在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)即时练3.定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－x2＋1
C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|－1
2．若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上( )
A．单调递增且有最大值－5
B．单调递增且有最小值－5
C．单调递减且有最大值－5
D．单调递减且有最大值－5
3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2，6]上单调递减，则f(－5)与f(3)的大小关系是________．
4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.
求出函数f(x)在R上的解析式．
课时作业(二十三) 函数奇偶性的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是( )
A．8 B．－8 C． D．－
2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－3，则当x<0时，f(x)等于( )
A．x＋3 B．x－3
C．－x－3 D．－x＋3
3．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式＞0的解集为( )
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
4．(多选)(2021·湛江市第二中学期末)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x＋a－2，则( )
A．a＝2 B．f(2)＝2
C．f(x)是R上的增函数 D．f(－3)＝－12
5．已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x3－2x2，则当x＞0时，f(x)＝________．
6．奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上最大值为________．
7．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x1，x2∈ ＞0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3) ＞0，可得函数f(x)在
9．已知a＞0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈ ，b∈Z.若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M和m的值可能为( )
A．4和3 B．3和1
C．5和2 D．7和4
10．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则实数a的值为________．
11．若函数f(x)是奇函数，且在定义域R上是减函数，f(－2)＝3，则满足－312．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＋f(－a)＞0，求实数a的取值范围．课时作业(二十三) 函数奇偶性的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是( )
A．8 B．－8 C． D．－
B [因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(2)＝f(－2)＝(－2)3＝－8.故选B．]
2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－3，则当x<0时，f(x)等于( )
A．x＋3 B．x－3
C．－x－3 D．－x＋3
A [根据题意，设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝－x－3，又由f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x＋3，故选A．]
3．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式＞0的解集为( )
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
A [∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，＝f(x).∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增．当x＞0时，由f(x)＞0，得f(x)＞f(3)，∴x＞3；当x<0时，由f(x)＞0，得f(x)＞f(－3)，∴－34．(多选)(2021·湛江市第二中学期末)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x＋a－2，则( )
A．a＝2 B．f(2)＝2
C．f(x)是R上的增函数 D．f(－3)＝－12
ACD [f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝a－2＝0，得a＝2，故A正确．f(2)＝4＋2＝6，故B错误．当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，故f(x)是R上的增函数，故C正确．f(－3)＝－f(3)＝－9－3＝－12，故D正确．故选ACD．]
5．已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x3－2x2，则当x＞0时，f(x)＝________．
解析： 根据题意，
设x＞0，则－x<0，
则f(－x)＝(－x)3－2(－x)2＝－x3－2x2，
又由f(x)为奇函数，
则f(x)＝－f(－x)＝x3＋2x2.
答案： x3＋2x2
6．奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上最大值为________．
解析： 法一 当x<0时，f(x)＝x2＋x＝(x＋)2－，
所以f(x)有最小值－，
因为f(x)是奇函数，
所以当x＞0时，f(x)有最大值.
法二 当x＞0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－(x－)2＋，
所以当x＞0时，f(x)有最大值.
答案：
7．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解析： ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝.②
(①＋②)÷2，得f(x)＝(x≠±1)；(①－②)÷2，得g(x)＝(x≠±1).
[能力提升]
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)C [根据函数的单调性的定义结合函数f(x)对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]＞0，可得函数f(x)在[0，＋∞)上为单调递增函数，又由函数f(x)为R上的奇函数，可得函数f(x)在R上为单调递增函数，因为－2<1<3，所以f(－2)9．已知a＞0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z.若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M和m的值可能为( )
A．4和3 B．3和1
C．5和2 D．7和4
B [由g(x)＝x5＋2x为奇函数可知，函数g(x)＝x5＋2x在[－a，a]上的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z的最大值M，最小值m满足M＋m＝2b，为偶数，故选B．]
10．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则实数a的值为________．
解析： 因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
答案： 5
11．若函数f(x)是奇函数，且在定义域R上是减函数，f(－2)＝3，则满足－3解析： 由函数f(x)是奇函数且f(－2)＝3，可知f(2)＝－f(－2)＝－3，因此－3答案： (1，5)
12．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＋f(－a)＞0，求实数a的取值范围．
解析： 作出函数图象如图所示，
由图象知，函数f(x)是奇函数，
且在R上是增函数，
由f(2－a2)＋f(－a)＞0，
知f(2－a2)＞－f(－a)，即f(2－a2)＞f(a).
所以2－a2＞a，解得－2实数a的取值范围是(－2，1).课时作业(二十三) 函数奇偶性的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是( )
A．8 B．－8 C． D．－
2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－3，则当x<0时，f(x)等于( )
A．x＋3 B．x－3
C．－x－3 D．－x＋3
3．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式＞0的解集为( )
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
4．(多选)(2021·湛江市第二中学期末)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x＋a－2，则( )
A．a＝2 B．f(2)＝2
C．f(x)是R上的增函数 D．f(－3)＝－12
5．已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x3－2x2，则当x＞0时，f(x)＝________．
6．奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上最大值为________．
7．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x1，x2∈ ＞0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3) ＞0，可得函数f(x)在
9．已知a＞0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈ ，b∈Z.若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M和m的值可能为( )
A．4和3 B．3和1
C．5和2 D．7和4
10．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则实数a的值为________．
11．若函数f(x)是奇函数，且在定义域R上是减函数，f(－2)＝3，则满足－312．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＋f(－a)＞0，求实数a的取值范围．