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第三章
函数的概念与性质
f(x)
－f(x)
y轴
原点
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（二十二）
谢谢观看！
确定定义域
定义域关
否
既不是奇函数
于原点对称
也不是偶函数
是
计算f(-x)
确定f(x)与f(-x)的关系
结论3.2.2第1课时 函数的奇偶性
[学习目标] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题．
知识点一 函数奇偶性的概念
[问题导引1] 观察下列两个函数的图象，它们有什么特征？
提示： 图(1)是关于y轴成轴对称的；图(2)是关于原点成中心对称的．
[问题导引2] 上述特征其数量间有何关系？
提示： 函数f(x)＝x2中，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等；函数f(x)＝中，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数．
函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
[点拨]
判断函数奇偶性的两个注意点
(1)一看定义域：定义域D具有对称性，即 x∈D，－x∈D.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数，
(2)二看等式：当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．
(链接教材P82例6)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－|x|；(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x－.
解析： (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
∵ x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，
且f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
[注意] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．
即时练1.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(3)f(x)＝
解析： (1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
(2)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，
∴函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
(3)法一：作出函数f(x)的图象如图．
此函数的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．
法二：f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
对 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
当x＞0时，－x<0，
f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；
当x<0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1＝f(x).
综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
应用1 函数奇偶性的图象特征
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出函数y＝f(x)完整的图象．
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间．
解析： (1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
[一题多变]
若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解析： (1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)据图可知．单调递增区间为(－1，1).
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
即时练2.定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
解析： (1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f(3)应用2 利用函数的奇偶性求值
(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝____________．
解析： (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
答案： (1) 0 (2)0
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
即时练3.(2021·四川资阳高一期中)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝________．
解析： 因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.
答案： －1
即时练4.(2021·北京四中高三检测)已知函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋1(x∈[a，b])是偶函数，则实数b＝________．
解析： 因为函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋1(x∈[a，b])是偶函数，所以f(x)图象的对称轴为y轴，且a＋b＝0，所以其对称轴方程为x＝－＝0，所以a＝－2，b＝2.
答案： 2
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
B [选项A中的图象关于原点和y轴均不对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；选项C，D中的图象表示的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，故C，D错误；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数，故B正确．故选B．]
2．f(x)为定义在R上的奇函数，若f(2)＝3，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－2 C．3 D．2
A [函数f(x)是奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3.]
3．(多选)下列函数不具有奇偶性的是( )
A．f(x)＝x＋x3
B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝，x∈[－1，2]
CD [A中函数是奇函数，B中函数是偶函数，C中函数解析式不满足f(x)＝f(－x)，f(x)＝－f(－x)，D中函数定义域不关于原点对称，因此C，D中函数不具有奇偶性．故选CD．]
4．已知函数f(x)＝x＋(a>0).
(1)若f(1)＝3，求a的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明．
解析： (1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3，
所以a＝2>0满足题意．
(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称．
又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
课时作业(二十二) 函数的奇偶性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数f(x)＝的图象一定关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线x＝1对称
C [函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数．因此图象关于原点对称，故选C．]
2．若函数f(x)＝则f(x)( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
B [作出函数f(x)的图象，如图所示，可以看出该图象关于原点对称，故f(x)为奇函数．]
3．(2021·江苏常州教学研究合作联盟高一期中)已知定义在[m－5，1－2m]上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为( )
A．－8 B．8 C．－24 D．24
A [∵f(x)在[m－5，1－2m]上是奇函数，
∴m－5＋1－2m＝0，解得m＝－4.
又当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
∴f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(16－8)＝－8.故选A．]
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴对称的函数是偶函数
C．奇函数的图象一定过坐标原点
D．偶函数的图象一定与y轴相交
AB [由奇函数、偶函数的性质，知A，B说法正确；对于C，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点．所以C说法错误；对于D，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误．故选AB．]
5．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．
解析： ∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，
∴f(－x)＋f(x)＝0，
∴f(a)＋f(－a)＝0.
答案： 0
6．能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________．
解析： 举出x＝0不在定义域内的奇函数即可，
如f(x)＝，答案不唯一．
答案： (答案不唯一)
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)g(x)＝＋；
(3)h(x)＝
解析： (1)函数f(x)＝的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)因为g(x)＝＋，所以解得－1≤x≤1，
即函数g(x)的定义域为[－1，1]，关于原点对称．
又g(－x)＝＋＝g(x)，所以函数g(x)是偶函数．
(3)易知函数h(x)的定义域关于原点对称．当x<0时，－x＞0，h(－x)＝－x(1－x)＝－[x(1－x)]＝－h(x)；
当x＞0时，－x<0，h(－x)＝－x(1＋x)＝－[x(1＋x)]＝－h(x).
所以h(x)是奇函数．
[能力提升]
8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
A [因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．]
9．(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是( )
A．f(x)＋f(－x)＝0
B．f(x)－f(－x)＝2f(x)
C．f(x)·f(－x)<0
D．＝－1
AB [∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确；f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确；当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确；当x＝0时，的分母为0，无意义，故D不正确．]
10．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋a，则a＝________，f(－3)＝________．
解析： 由定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋a，可得f(0)＝a＝0.所以当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3)＝－3.
答案： 0 －3
11．对于函数y＝f(x)，定义域为D∈[－2，2].以下命题正确的是________．(填序号)
①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；
②若对于任意x∈[－2，2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；
③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．
解析： ①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①错误；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数，②正确；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x) 一定不是偶函数，故③正确；④中若满足f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．
答案： ②③④
12．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．
解析： (1)我同意王鹏同学的观点．理由如下：
假设f(x)是奇函数，
则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，
可得f(a)＋f(－a)＝0，
即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，所以f(x)不可能是奇函数．
(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．
(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞).3.2.2第1课时 函数的奇偶性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题．
知识点一 函数奇偶性的概念
观察下列两个函数的图象，它们有什么特征？
提示： 图(1)是关于y轴成轴对称的；图(2)是关于原点成中心对称的．
上述特征其数量间有何关系？
提示： 函数f(x)＝x2中，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等；函数f(x)＝中，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数．
函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
判断函数奇偶性的两个注意点
(1)一看定义域：定义域D具有对称性，即 x∈D，－x∈D.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数，
(2)二看等式：当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．
(链接教材P82例6)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－|x|；(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x－.
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．
即时练1.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(3)f(x)＝
应用1 函数奇偶性的图象特征
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出函数y＝f(x)完整的图象．
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间．
若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
(2)据图可知．单调递增区间为(－1，1).
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
即时练2.定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
应用2 利用函数的奇偶性求值
(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为
，则a＝________，b＝________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝____________．
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
即时练3.(2021·四川资阳高一期中)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝________．
即时练4.(2021·北京四中高三检测)已知函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋1(x∈[a，b])是偶函数，则实数b＝________．
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
2．f(x)为定义在R上的奇函数，若f(2)＝3，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－2 C．3 D．2
3．(多选)下列函数不具有奇偶性的是( )
A．f(x)＝x＋x3
B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝，x∈
4．已知函数f(x)＝x＋(a>0).
(1)若f(1)＝3，求a的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明．
课时作业(二十二) 函数的奇偶性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．函数f(x)＝的图象一定关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线x＝1对称
2．若函数f(x)＝则f(x)( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
3．(2021·江苏常州教学研究合作联盟高一期中)已知定义在 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为( )
A．－8 B．8 C．－24 D．24
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴对称的函数是偶函数
C．奇函数的图象一定过坐标原点
D．偶函数的图象一定与y轴相交
5．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．
6．能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________．
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)g(x)＝＋；
(3)h(x)＝
8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
9．(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是( )
A．f(x)＋f(－x)＝0
B．f(x)－f(－x)＝2f(x)
C．f(x)·f(－x)<0
D．＝－1
10．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋a，则a＝________，f(－3)＝________．
11．对于函数y＝f(x)，定义域为D∈ .以下命题正确的是________．(填序号)
①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；
②若对于任意x∈ ，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；
③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．
12．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．课时作业(二十二) 函数的奇偶性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数f(x)＝的图象一定关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线x＝1对称
C [函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数．因此图象关于原点对称，故选C．]
2．若函数f(x)＝则f(x)( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
B [作出函数f(x)的图象，如图所示，可以看出该图象关于原点对称，故f(x)为奇函数．]
3．(2021·江苏常州教学研究合作联盟高一期中)已知定义在[m－5，1－2m]上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为( )
A．－8 B．8 C．－24 D．24
A [∵f(x)在[m－5，1－2m]上是奇函数，
∴m－5＋1－2m＝0，解得m＝－4.
又当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
∴f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(16－8)＝－8.故选A．]
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴对称的函数是偶函数
C．奇函数的图象一定过坐标原点
D．偶函数的图象一定与y轴相交
AB [由奇函数、偶函数的性质，知A，B说法正确；对于C，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点．所以C说法错误；对于D，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误．故选AB．]
5．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．
解析： ∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，
∴f(－x)＋f(x)＝0，
∴f(a)＋f(－a)＝0.
答案： 0
6．能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________．
解析： 举出x＝0不在定义域内的奇函数即可，
如f(x)＝，答案不唯一．
答案： (答案不唯一)
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)g(x)＝＋；
(3)h(x)＝
解析： (1)函数f(x)＝的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)因为g(x)＝＋，所以解得－1≤x≤1，
即函数g(x)的定义域为[－1，1]，关于原点对称．
又g(－x)＝＋＝g(x)，所以函数g(x)是偶函数．
(3)易知函数h(x)的定义域关于原点对称．当x<0时，－x＞0，h(－x)＝－x(1－x)＝－[x(1－x)]＝－h(x)；
当x＞0时，－x<0，h(－x)＝－x(1＋x)＝－[x(1＋x)]＝－h(x).
所以h(x)是奇函数．
[能力提升]
8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
A [因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．]
9．(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是( )
A．f(x)＋f(－x)＝0
B．f(x)－f(－x)＝2f(x)
C．f(x)·f(－x)<0
D．＝－1
AB [∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确；f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确；当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确；当x＝0时，的分母为0，无意义，故D不正确．]
10．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋a，则a＝________，f(－3)＝________．
解析： 由定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋a，可得f(0)＝a＝0.所以当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3)＝－3.
答案： 0 －3
11．对于函数y＝f(x)，定义域为D∈[－2，2].以下命题正确的是________．(填序号)
①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；
②若对于任意x∈[－2，2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；
③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．
解析： ①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①错误；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数，②正确；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x) 一定不是偶函数，故③正确；④中若满足f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．
答案： ②③④
12．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．
解析： (1)我同意王鹏同学的观点．理由如下：
假设f(x)是奇函数，
则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，
可得f(a)＋f(－a)＝0，
即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，所以f(x)不可能是奇函数．
(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．
(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞).课时作业(二十二) 函数的奇偶性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．函数f(x)＝的图象一定关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线x＝1对称
2．若函数f(x)＝则f(x)( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
3．(2021·江苏常州教学研究合作联盟高一期中)已知定义在 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(m)的值为( )
A．－8 B．8 C．－24 D．24
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴对称的函数是偶函数
C．奇函数的图象一定过坐标原点
D．偶函数的图象一定与y轴相交
5．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．
6．能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________．
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)g(x)＝＋；
(3)h(x)＝
8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
9．(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是( )
A．f(x)＋f(－x)＝0
B．f(x)－f(－x)＝2f(x)
C．f(x)·f(－x)<0
D．＝－1
10．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋a，则a＝________，f(－3)＝________．
11．对于函数y＝f(x)，定义域为D∈ .以下命题正确的是________．(填序号)
①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；
②若对于任意x∈ ，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；
③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．
12．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．
