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第三章
函数的概念与性质
f(x)≤M
f(x)≥M
f(x0)＝M
f(x0)＝M
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（二十一）
谢谢观看！
分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情
读题
景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目
标与条件的关系
建模
把问题中的关系转化成函数关系，建立函数
解析式，把实际问题转换成函数问题
求解
选择合适的数学方法求解函数
对结果进行验证或评估，对错误加以改正
评价
最后将结果应用于现实，作出解释或预测第2课时 函数的最大(小)值
知识点 增函数与减函数
[实例] 如图是沙漠地带某天气温随时间的变化曲线．
[问题导引1] 该天的最高气温和最低气温分别是多少？
提示： 该天的最高气温为25℃，最低气温为－5℃.
[问题导引2] 设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
提示： 该天某时刻的气温变化范围是[－5℃，25℃].
[问题导引3] 从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
提示： 气温的最大值在t＝17h处取得，气温的最小值在t＝6h时取得．
函数的最大值、最小值
最值 最大值 最小值
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
条件 x∈D，都有f(x)≤M； x∈D，都有f(x)≥M；
x0∈D，使得f(x0)＝M x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
[点拨] 函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．
②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2， x∈R，都有f(x)>－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内．
③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
解析： 作出函数f(x)的图象，如图．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1 ，最小值为0.
图象法求最值的三 个步骤
即时练1.已知函数f(x)＝－|x－1|＋2，则函数的最大值是________，值域是________．
解析： 函数f(x)＝－|x－1|＋2＝的图象如图所示，
由图象知，函数f(x)＝－|x－1|＋2的最大值为2 ，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].
答案： 2 (－∞，2]
(链接教材P81例5 )
已知函数f(x)＝，x∈[3，5].
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解析： (1) x1，x2∈[3，5]，且x1
＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3，5]，∴x1＋2＞0，x2＋2＞0，
∵x1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[3，5]上单调递增．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为.
函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
即时练2.已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
(2)求函数f(x)在[1，5]上的最值．
解析： (1)证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2＞x1＞，
f(x1)－f(x2)＝－＝.由于x2＞x1＞，
所以x2－x1＞0，且(2x1－1)(2x2－1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减，
因此，函数f(x)＝在区间[1，5]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
函数最值的实际应用
(链接教材P80例4)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
解析： (1)当0y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；
当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*).
(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
求解实际问题的步骤
即时练3.将进货单价为40元的商品按50元1个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解析： 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故当x＝70时，y最大值＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元．
1．已知函数f(x)的定义域是[－2，2]，其图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0，2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
C [观察函数图象，知图象最低点的纵坐标为f(－2)，最高点的纵坐标为2，故选C．]
2．下列函数在[1，4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
A [B，C在[1，4]上均为增函数，A，D在[1，4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A．]
3．用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 m B．4 m C． m D． m
A [设隔墙的长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，S有最大值，为18，故隔墙的长度为3 m时，矩形场地的面积最大．故选A．]
4．(2021·浙江台洲高一期中)若函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值是4，求实数a的值．
解析： 当a＞0时，y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递增，则当x＝3时，y取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1；
当a<0 时，y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递减，则当x＝1时，y取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3(舍去).所以a＝1.
课时作业(二十一) 函数的最大(小)值
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )
A．[0，3] B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1，3]
D [因为函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3].故选D．]
2．函数f(x)＝的最小值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
B [当x＞－1时，f(x)＝x2的最小值为f(0)＝0；当x≤－1时，f(x)＝－x单调递减，可得f(x)≥1，综上可得函数f(x)的最小值为0.故选B．]
3．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
A [因为y＝x＋在定义域上是增函数，所以y≥f＝，即函数最小值为，无最大值，故选A．]
4．已知函数y＝(k＞0)在[3，8]上的最大值为1，则k的值为( )
A．1 B．6 C．1或6 D．3
A [当k＞0时，函数y＝在[3，8]上单调递减，因为函数在[3，8]上的最大值为1，所以＝1，所以k＝1.故选A．]
5．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)( )
A．最大值为2 B．最大值为1
C．最小值为－1 D．无最小值
BD [在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示．根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)无最小值．故选BD．]
6．已知函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________．
解析： 因为f(x)＝在[1，2]上单调递减，所以A＝f(1)＝1，B＝f(2)＝，则A－B＝.
答案：
7．已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为________．
解析： 由题意得，S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12＝－(x－1)2＋，
∵解得0∴当x＝1时，S取得最大值.
答案： 1
8．已知一次函数f(x)＝(4a－2)x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为________．
解析： 当4a－2＞0时，f(x)在[－2，1]上单调递增，
∴∴则a＝2；
当4a－2<0时，f(x)在[－2，1]上单调递减，
∴
∴则a＝－.
综上所述，a＝2或a＝－.
答案： 2或－
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试在图中画出f(x)的图象，并根据图象解决下列问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解析： f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞)上均单调递增，在上单调递减，
∴f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)，单调递减区间为.
(2)由(1)知f ＝，f ＝，
得f(x)在区间上的最大值为.
10．已知函数f(x)＝＋1.
(1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并证明；
(2)求f(x)在[1，3]上的最大(小)值．
解析： (1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．证明如下：
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝( eq \f(1,x) ＋1)－( eq \f(1,x) ＋1)＝，
因为x2＞x1＞0，
所以x1＋x2＞0，x2－x1＞0，(x1x2)2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取最大值，最大值为f(1)＝2，当x＝3时，函数 f(x)取最小值，最小值为f(3)＝.
[能力提升]
11．已知函数f(x)＝，x∈[0，1].若f(x)的最小值为，则实数m的值为( )
A． B． C．3 D．或3
C [函数f(x)＝＝＝2＋，x∈[0，1].
当m＝2时，f(x)＝2，不成立；
当m－2＞0，即m＞2时，f(x)在[0，1]上单调递减，在x＝1处取得最小值，则＝，解得m＝3；
当m－2<0，即m<2时，f(x)在[0，1]上单调递增，在x＝0处取得最小值，则m＝，不成立．综上可得m＝3.故选C．]
12．(多选)(2021·江苏省南京市期中)已知函数f(x)＝(≤x<2)，则该函数( )
A．最大值为
B．最大值为
C．没有最小值
D．在区间(1，2)上单调递增
AD [f(x)＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝1时等号成立，令x113．已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在(0，＋∞)上________(填“单调递增”或“单调递减”)，若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，则a的值是____________．
解析： 由于函数y＝－在区间(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增．因此函数f(x)在[，2]上单调递增，所以f()＝－2＝，且f(2)＝－＝2，解得a＝.
答案： 单调递增
14．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．
解析： 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y取最小值2；当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1，2]时，能保证y在区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2.
答案： [1，2]
15．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单价：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为p元，根据(1)中的关系式写出p关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
解析： (1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题中表格可得解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
(2)由题意得，p＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].
所以当x＝42时，pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润．
16．在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．
已知函数f(x)＝x2＋ax＋4.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)在区间[－2，2]上的值域；
(2)若________，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
解析： 方案一 选择条件①.
(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
∴f(x)在[－2，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝3，f(x)max＝f(－2)＝12，
∴函数f(x)在区间[－2，2]上的值域为[3，12].
(2)若a≥4，则函数f(x)在区间[－2，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(－2)＝8－2a≥0，解得a≤4，
又a≥4，∴a＝4.
若－4∴f(x)min＝f(－)＝4－≥0，解得－4≤a≤4，∴－4若a≤－4，则函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝8＋2a≥0，解得a≥－4，
又a≤－4，∴a＝－4.
综上所述，实数a的取值范围为[－4，4].
方案二 选择条件②.
(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
∴f(x)在[－2，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝3，f(x)max＝f(－2)＝12，
∴函数f(x)在区间[－2，2]上的值域为[3，12].
(2)∵ x∈[1，3]，f(x)≥0，
∴f(x)max≥0，即max{f(1)，f(3)}≥0，
∴f(1)≥0或f(3)≥0，解得a≥－5或a≥－，∴a≥－5.
故实数a的取值范围为[－5，＋∞).第2课时 函数的最大(小)值
知识点 增函数与减函数
[实例] 如图是沙漠地带某天气温随时间的变化曲线．
[问题导引1] 该天的最高气温和最低气温分别是多少？
提示： 该天的最高气温为25℃，最低气温为－5℃.
[问题导引2] 设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
提示： 该天某时刻的气温变化范围是[－5℃，25℃].
[问题导引3] 从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
提示： 气温的最大值在t＝17h处取得，气温的最小值在t＝6h时取得．
函数的最大值、最小值
最值 最大值 最小值
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
条件 x∈D，都有f(x)≤M； x∈D，都有f(x)≥M；
x0∈D，使得f(x0)＝M x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
[点拨] 函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．
②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2， x∈R，都有f(x)>－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内．
③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
图象法求最值的三 个步骤
即时练1.已知函数f(x)＝－|x－1|＋2，则函数的最大值是________，值域是________．
(链接教材P81例5 )
已知函数f(x)＝，x∈[3，5].
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
即时练2.已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
(2)求函数f(x)在[1，5]上的最值．
函数最值的实际应用
(链接教材P80例4)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
求解实际问题的步骤
即时练3.将进货单价为40元的商品按50元1个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
1．已知函数f(x)的定义域是[－2，2]，其图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0，2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
2．下列函数在[1，4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
3．用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 m B．4 m C． m D． m
4．(2021·浙江台洲高一期中)若函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值是4，求实数a的值．
课时作业(二十一) 函数的最大(小)值
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )
A．[0，3] B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1，3]
2．函数f(x)＝的最小值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
4．已知函数y＝(k＞0)在[3，8]上的最大值为1，则k的值为( )
A．1 B．6 C．1或6 D．3
5．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)( )
A．最大值为2 B．最大值为1
C．最小值为－1 D．无最小值
6．已知函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________．
7．已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为________．
8．已知一次函数f(x)＝(4a－2)x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为________．
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试在图中画出f(x)的图象，并根据图象解决下列问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
10．已知函数f(x)＝＋1.
(1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并证明；
(2)求f(x)在[1，3]上的最大(小)值．
[能力提升]
11．已知函数f(x)＝，x∈[0，1].若f(x)的最小值为，则实数m的值为( )
A． B． C．3 D．或3
12．(多选)(2021·江苏省南京市期中)已知函数f(x)＝(≤x<2)，则该函数( )
A．最大值为
B．最大值为
C．没有最小值
D．在区间(1，2)上单调递增
13．已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在(0，＋∞)上________(填“单调递增”或“单调递减”)，若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，则a的值是____________．
14．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．
15．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单价：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为p元，根据(1)中的关系式写出p关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
16．在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．
已知函数f(x)＝x2＋ax＋4.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)在区间[－2，2]上的值域；
(2)若________，f(x)≥0，求实数a的取值范围．课时作业(二十一) 函数的最大(小)值
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )
A．[0，3] B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1，3]
D [因为函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3].故选D．]
2．函数f(x)＝的最小值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
B [当x＞－1时，f(x)＝x2的最小值为f(0)＝0；当x≤－1时，f(x)＝－x单调递减，可得f(x)≥1，综上可得函数f(x)的最小值为0.故选B．]
3．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
A [因为y＝x＋在定义域上是增函数，所以y≥f＝，即函数最小值为，无最大值，故选A．]
4．已知函数y＝(k＞0)在[3，8]上的最大值为1，则k的值为( )
A．1 B．6 C．1或6 D．3
A [当k＞0时，函数y＝在[3，8]上单调递减，因为函数在[3，8]上的最大值为1，所以＝1，所以k＝1.故选A．]
5．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)( )
A．最大值为2 B．最大值为1
C．最小值为－1 D．无最小值
BD [在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示．根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)无最小值．故选BD．]
6．已知函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________．
解析： 因为f(x)＝在[1，2]上单调递减，所以A＝f(1)＝1，B＝f(2)＝，则A－B＝.
答案：
7．已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为________．
解析： 由题意得，S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12＝－(x－1)2＋，
∵解得0∴当x＝1时，S取得最大值.
答案： 1
8．已知一次函数f(x)＝(4a－2)x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为________．
解析： 当4a－2＞0时，f(x)在[－2，1]上单调递增，
∴∴则a＝2；
当4a－2<0时，f(x)在[－2，1]上单调递减，
∴
∴则a＝－.
综上所述，a＝2或a＝－.
答案： 2或－
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试在图中画出f(x)的图象，并根据图象解决下列问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解析： f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞)上均单调递增，在上单调递减，
∴f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)，单调递减区间为.
(2)由(1)知f ＝，f ＝，
得f(x)在区间上的最大值为.
10．已知函数f(x)＝＋1.
(1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并证明；
(2)求f(x)在[1，3]上的最大(小)值．
解析： (1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．证明如下：
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝( eq \f(1,x) ＋1)－( eq \f(1,x) ＋1)＝，
因为x2＞x1＞0，
所以x1＋x2＞0，x2－x1＞0，(x1x2)2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取最大值，最大值为f(1)＝2，当x＝3时，函数 f(x)取最小值，最小值为f(3)＝.
[能力提升]
11．已知函数f(x)＝，x∈[0，1].若f(x)的最小值为，则实数m的值为( )
A． B． C．3 D．或3
C [函数f(x)＝＝＝2＋，x∈[0，1].
当m＝2时，f(x)＝2，不成立；
当m－2＞0，即m＞2时，f(x)在[0，1]上单调递减，在x＝1处取得最小值，则＝，解得m＝3；
当m－2<0，即m<2时，f(x)在[0，1]上单调递增，在x＝0处取得最小值，则m＝，不成立．综上可得m＝3.故选C．]
12．(多选)(2021·江苏省南京市期中)已知函数f(x)＝(≤x<2)，则该函数( )
A．最大值为
B．最大值为
C．没有最小值
D．在区间(1，2)上单调递增
AD [f(x)＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝1时等号成立，令x113．已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在(0，＋∞)上________(填“单调递增”或“单调递减”)，若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，则a的值是____________．
解析： 由于函数y＝－在区间(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增．因此函数f(x)在[，2]上单调递增，所以f()＝－2＝，且f(2)＝－＝2，解得a＝.
答案： 单调递增
14．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．
解析： 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y取最小值2；当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1，2]时，能保证y在区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2.
答案： [1，2]
15．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单价：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为p元，根据(1)中的关系式写出p关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
解析： (1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题中表格可得解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
(2)由题意得，p＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].
所以当x＝42时，pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润．
16．在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．
已知函数f(x)＝x2＋ax＋4.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)在区间[－2，2]上的值域；
(2)若________，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
解析： 方案一 选择条件①.
(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
∴f(x)在[－2，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝3，f(x)max＝f(－2)＝12，
∴函数f(x)在区间[－2，2]上的值域为[3，12].
(2)若a≥4，则函数f(x)在区间[－2，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(－2)＝8－2a≥0，解得a≤4，
又a≥4，∴a＝4.
若－4∴f(x)min＝f(－)＝4－≥0，解得－4≤a≤4，∴－4若a≤－4，则函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝8＋2a≥0，解得a≥－4，
又a≤－4，∴a＝－4.
综上所述，实数a的取值范围为[－4，4].
方案二 选择条件②.
(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
∴f(x)在[－2，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝3，f(x)max＝f(－2)＝12，
∴函数f(x)在区间[－2，2]上的值域为[3，12].
(2)∵ x∈[1，3]，f(x)≥0，
∴f(x)max≥0，即max{f(1)，f(3)}≥0，
∴f(1)≥0或f(3)≥0，解得a≥－5或a≥－，∴a≥－5.
故实数a的取值范围为[－5，＋∞).课时作业(二十一) 函数的最大(小)值
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．函数y＝x2－2x，x∈ 的值域为( )
A． B．
C．
2．函数f(x)＝的最小值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
4．已知函数y＝(k＞0)在 上的最大值为1，则k的值为( )
A．1 B．6 C．1或6 D．3
5．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)( )
A．最大值为2 B．最大值为1
C．最小值为－1 D．无最小值
6．已知函数f(x)＝在区间 上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________．
7．已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为________．
8．已知一次函数f(x)＝(4a－2)x＋3在 上的最大值为9，则实数a的值为________．
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试在图中画出f(x)的图象，并根据图象解决下列问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
[能力提升]
11．已知函数f(x)＝，x∈ .若f(x)的最小值为，则实数m的值为( )
A． B． C．3 D．或3
.
12．(多选)(2021·江苏省南京市期中)已知函数f(x)＝(≤x<2)，则该函数( )
A．最大值为
B．最大值为
C．没有最小值
D．在区间(1，2)上单调递增
13．已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在(0，＋∞)上________(填“单调递增”或“单调递减”)，若f(x)在 上的值域是 ，则a的值是____________．
14．已知函数y＝x2－2x＋3在区间 上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．
15．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单价：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为p元，根据(1)中的关系式写出p关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
16．在① x∈ ，② x∈ 这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．