人教A版（2019） 必修 第一册第三章 函数概念与性质 3.2.1 第1课时 函数的单调性（共打包5份）

(共36张PPT)
第三章
函数的概念与性质
单调递增
单调递减
单调区间
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（二十）
谢谢观看！
设函数f(x)的定义域为D,
区间ICD,如果Vx1,x2∈I
当条件
当x<2时，都有
函数f(x)在区间
函数f(x)在区间
!上单调递增
I上单调递减
增函数
结论
减函数
yy=f(x)f(w2)
y
y=f(x)
if(x:)
图示
f(x1)1f(x2》
0
x1
%2
0
1
X2 x
取值
设x1,2是该区间内的任意两个值，且x1作差fx)-fx)或f(x2)-f(x),并通过因式
作差
变形
分解、配方、有理化等方法，向有利于判断
差的符号的方向变形，一般化为积的形式
定号
确定差fx1)-fx2)或fx2)-fx)的符号，当符
号不确定时，可以进行分类讨论
结论
根据定义得出结论第1课时　函数的单调性
[学习目标]　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解单调性的作用和实际意义．
知识点一　增函数与减函数
[问题导引]　观察下面三个函数图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示：　函数y＝x的图象从左向右看是上升的，相应函数值随自变量x的增大而增大；函数y＝(x＞0)的图象从左向右看是下降的，相应函数值随自变量x的增大而减小；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的，相应函数值，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
增函数与减函数
[点拨]　x1，x2的三个特征
(1)同区间性，即x1，x2∈I．
(2)任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2.
(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1＜x2.
(链接教材P78例1.P79例3 )
求证：函数f(x)＝x－在区间(1，＋∞)上是单调递增函数．
证明：　 x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝x1－x2－＝(x1－x2).
∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴0＜＜1，∴1＋＞0.又x1＜x2，∴x1－x2＜0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)＝x－在区间(1，＋∞)上是单调递增函数．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
　　
即时练1.已知函数f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数
B．函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数
C．函数f(x)在区间[－1，4]上是减函数
D．函数f(x)在区间[2，4]上是增函数
A　[结合题图可知函数f(x)在区间[－1，2]上的图象是“上升”的，故A正确．]
即时练2.求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数．
证明：　对于 x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
有f(x1)－f(x2)＝ eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,xx) .因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数．
知识点二　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
画出函数f(x)＝－x2＋2|x|的图象，根据图象写出函数f(x)的单调区间．
解析：　如图所示，由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(0，1)，函数的单调递减区间是(－1，0)，(1，＋∞).
求函数单调区间的2种方法
法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
[注意]　单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．
即时练3.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是____________．
解析：　由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞).
答案：　(－∞，1]和(1，＋∞)
即时练4.求函数f(x)＝的单调递减区间．
解析：　函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，
同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).
函数单调性的应用
若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)＞f(2a)　　　　 B．f(a2)C．f(a2＋a)D　[a与2a的大小无法判定，所以A不正确．同理B不正确．当a＝0时，a2＋a＝a，所以C不正确．因为a2＋1＞a2，且函数y＝f(x)在R上是减函数，所以f(a2＋1)利用单调性比较大小，应先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性进行比较．　　
已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)解析：　由题意，得解得1≤x≤2.①
因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)由①②得1≤x<.所以x的取值范围为.
利用单调性比较大小或解不等式的方法
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：　∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4].
已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　　
即时练5.已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
解析：　∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1).
答案：　(－∞，1)
即时练6.函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2在[－1，2]上不单调，求实数a的取值范围．
解析：　因为函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2在[－1，2]上不单调，所以－1<<2，解得－所以实数a的取值范围为.
1．函数y＝的单调递减区间是(　　)
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)和(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C　[由函数y＝的图象(图略)，知y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．]
2．(多选)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数f(x)在区间[1，4]上单调递增
C．函数f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减
D．函数f(x)在区间[－5，5]上不具有单调性
ABCD　[结合题中图象可知A，B，C，D均正确．]
3．(2021·湖南省长沙市阶段性测试)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　 B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝2x D．f(x)＝
C　[根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：
f(x)＝3－x，f(x)＝在(0，＋∞)上均单调递减；f(x)＝x2－3x在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增；f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增．]
4．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)＞f(－m)，求实数m的取值范围．
解析：　由函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)＞f(－m)，得m2＞－m，解得m<－1或m＞0.
所以实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(0，＋∞).
课时作业(二十)　函数的单调性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
B　[由图可知，选项B是定义域上的增函数，选项ACD不具有单调性．故选B．]
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　)
A．a≥　　　　　　 B．a≤
C．a＞ D．a<
D　[函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D．]
3．函数f(x)＝|x＋2|在[－3，0]上(　　)
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
C　[作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，易知f(x)在[－3，0]上先减后增．]
4．(2020·四川泸州泸县二中高一月考)已知定义在[0，＋∞)上的减函数f(x)，若f(2a－1)＞f ，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　[根据题意，f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，若f(2a－1)＞f ，则有0≤2a－1<，解得≤a<，即a的取值范围为，故选D．]
5．(多选)下列函数中，在R上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝
BD　[对于选项A，y＝|x|，当x<0时为减函数，不符合题意；对于选项B，显然在R上是增函数，符合题意；对于选项C，y＝x2，当x<0时为减函数，不符合题意；对于选项D，作出草图如图所示(实线部分)，观察图象可得，函数在R上为增函数，符合题意．综上所述，选项BD符合题意．]
6．已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图．根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________．
解析：　由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].
答案：　[－2，－1]和[2，6]　[－1，2]
7．若函数f(x)在区间[－2，2]上是减函数，则f(－1)________f(2).(填“＞““<”或“＝”)
解析：　因为f(x)在区间[－2，2]上是减函数，
且－1<2，所以f(－1)＞f(2).
答案：　＞
8．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
解析：　函数f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.]
答案：　[－1，＋∞)
9．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
解析：　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数；当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解析：　(1)由x2－1≠0得x≠±1，故函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}．
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数．证明：
x1，x2∈(1，＋∞)，且x1[能力提升]
11．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．bB　[∵函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f(－)＝f().又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)12．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D．<0
CD　[因为f(x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B正确，D不正确；C中，若x113．(2021·北京顺义区高一期末)若函数f(x)在其定义域上单调递增，且f(2)＝0，则满足条件的一个f(x)的解析式可能是________．(写出一个即可)
解析：　根据f(x)在定义域上单调递增，且f(2)＝0，可知f(x)的解析式可能为f(x)＝x－2.
答案：　f(x)＝x－2(答案不唯一)
14．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________________________________．
解析：　y＝|x|(1－x)＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，].
答案：　[0，]
15．已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．
解析：　(1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1>x2>－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，因为x1>x2>－2，
所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，
所以f(x1)(2)由(1)可知，当x∈(－2，2)时，函数f(x)单调递减，所以由f(－2m＋3)>f(m2)得，
解得1所以m的取值范围为(1，).
16．已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
解析：　(1)设x1∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2<0，
∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1∵a＞0，x2－x1＞0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴当1∴a≤1，∴实数a的取值范围为(0，1].第1课时　函数的单调性
[学习目标]　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解单调性的作用和实际意义．
知识点一　增函数与减函数
[问题导引]　观察下面三个函数图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示：　函数y＝x的图象从左向右看是上升的，相应函数值随自变量x的增大而增大；函数y＝(x＞0)的图象从左向右看是下降的，相应函数值随自变量x的增大而减小；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的，相应函数值，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
增函数与减函数
[点拨]　x1，x2的三个特征
(1)同区间性，即x1，x2∈I．
(2)任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2.
(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1＜x2.
(链接教材P78例1.P79例3 )
求证：函数f(x)＝x－在区间(1，＋∞)上是单调递增函数．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
　　
即时练1.已知函数f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数
B．函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数
C．函数f(x)在区间[－1，4]上是减函数
D．函数f(x)在区间[2，4]上是增函数
即时练2.求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数．
知识点二　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
画出函数f(x)＝－x2＋2|x|的图象，根据图象写出函数f(x)的单调区间．
求函数单调区间的2种方法
法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
[注意]　单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．
即时练3.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是____________．
即时练4.求函数f(x)＝的单调递减区间．
函数单调性的应用
若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)＞f(2a)　　　　 B．f(a2)C．f(a2＋a)利用单调性比较大小，应先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性进行比较．　　
已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)利用单调性比较大小或解不等式的方法
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，求实数a的取值范围．
已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　　
即时练5.已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
即时练6.函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2在[－1，2]上不单调，求实数a的取值范围．
1．函数y＝的单调递减区间是(　　)
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)和(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
2．(多选)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数f(x)在区间[1，4]上单调递增
C．函数f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减
D．函数f(x)在区间[－5，5]上不具有单调性
3．(2021·湖南省长沙市阶段性测试)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　 B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝2x D．f(x)＝
4．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)＞f(－m)，求实数m的取值范围．
课时作业(二十)　函数的单调性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
　
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　)
A．a≥　　　　　　 B．a≤
C．a＞ D．a<
　
3．函数f(x)＝|x＋2|在 上(　　)
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
　
4．(2020·四川泸州泸县二中高一月考)已知定义在
5．(多选)下列函数中，在R上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝
　
6．已知函数y＝f(x)(x∈ )的图象如图．根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________．
7．若函数f(x)在区间 上是减函数，则f(－1)________f(2).(填“＞““<”或“＝”)
8．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
9．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
[能力提升]
11．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b　
12．(多选)如果函数f(x)在 上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈ (x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．>0
B．(x1－x2) >0
C．若x1D．<0
　
13．(2021·北京顺义区高一期末)若函数f(x)在其定义域上单调递增，且f(2)＝0，则满足条件的一个f(x)的解析式可能是________．(写出一个即可)
14．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________________________________．
15．已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．
16．已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．课时作业(二十)　函数的单调性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
B　[由图可知，选项B是定义域上的增函数，选项ACD不具有单调性．故选B．]
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　)
A．a≥　　　　　　 B．a≤
C．a＞ D．a<
D　[函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D．]
3．函数f(x)＝|x＋2|在[－3，0]上(　　)
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
C　[作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，易知f(x)在[－3，0]上先减后增．]
4．(2020·四川泸州泸县二中高一月考)已知定义在[0，＋∞)上的减函数f(x)，若f(2a－1)＞f ，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　[根据题意，f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，若f(2a－1)＞f ，则有0≤2a－1<，解得≤a<，即a的取值范围为，故选D．]
5．(多选)下列函数中，在R上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝
BD　[对于选项A，y＝|x|，当x<0时为减函数，不符合题意；对于选项B，显然在R上是增函数，符合题意；对于选项C，y＝x2，当x<0时为减函数，不符合题意；对于选项D，作出草图如图所示(实线部分)，观察图象可得，函数在R上为增函数，符合题意．综上所述，选项BD符合题意．]
6．已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图．根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________．
解析：　由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].
答案：　[－2，－1]和[2，6]　[－1，2]
7．若函数f(x)在区间[－2，2]上是减函数，则f(－1)________f(2).(填“＞““<”或“＝”)
解析：　因为f(x)在区间[－2，2]上是减函数，
且－1<2，所以f(－1)＞f(2).
答案：　＞
8．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
解析：　函数f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.]
答案：　[－1，＋∞)
9．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
解析：　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数；当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解析：　(1)由x2－1≠0得x≠±1，故函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}．
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数．证明：
x1，x2∈(1，＋∞)，且x1[能力提升]
11．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．bB　[∵函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f(－)＝f().又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)12．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D．<0
CD　[因为f(x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B正确，D不正确；C中，若x113．(2021·北京顺义区高一期末)若函数f(x)在其定义域上单调递增，且f(2)＝0，则满足条件的一个f(x)的解析式可能是________．(写出一个即可)
解析：　根据f(x)在定义域上单调递增，且f(2)＝0，可知f(x)的解析式可能为f(x)＝x－2.
答案：　f(x)＝x－2(答案不唯一)
14．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________________________________．
解析：　y＝|x|(1－x)＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，].
答案：　[0，]
15．已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．
解析：　(1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1>x2>－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，因为x1>x2>－2，
所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，
所以f(x1)(2)由(1)可知，当x∈(－2，2)时，函数f(x)单调递减，所以由f(－2m＋3)>f(m2)得，
解得1所以m的取值范围为(1，).
16．已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
解析：　(1)设x1∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2<0，
∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1∵a＞0，x2－x1＞0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴当1∴a≤1，∴实数a的取值范围为(0，1].课时作业(二十)　函数的单调性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
　
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　)
A．a≥　　　　　　 B．a≤
C．a＞ D．a<
　
3．函数f(x)＝|x＋2|在 上(　　)
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
　
4．(2020·四川泸州泸县二中高一月考)已知定义在
5．(多选)下列函数中，在R上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝
　
6．已知函数y＝f(x)(x∈ )的图象如图．根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________．
7．若函数f(x)在区间 上是减函数，则f(－1)________f(2).(填“＞““<”或“＝”)
8．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
9．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
[能力提升]
11．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b　
12．(多选)如果函数f(x)在 上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈ (x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．>0
B．(x1－x2) >0
C．若x1D．<0
　
13．(2021·北京顺义区高一期末)若函数f(x)在其定义域上单调递增，且f(2)＝0，则满足条件的一个f(x)的解析式可能是________．(写出一个即可)
14．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________________________________．
15．已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．
16．已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．