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第三章
函数的概念与性质
(a，b)
(a，b]
＋∞
＋∞
－∞
相同
对应关系
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（十七）
谢谢观看！
、一看定义域
看定义域是否相同
二看
对应关系
看对应关系是否完全一致
三下结论
根据“一看”“二看”下结论第2课时 函数的概念(二)
知识点一 区间的概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤b} {x|x＜b}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b)
[点拨] 表示区间应注意的问题
(1)注意“开”与“闭”，“开”用小括号，“闭”用中括号；在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点，如(1，2)与[1，2)是不同的区间．
(2)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示．并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0，1，2}就不能用区间表示．
(3)区间的左端点a必须小于右端点b，即a＜b，这与集合不同．有时我们将b－a称为区间(a，b)或[a，b]的长度．
(4)用“－∞”或“＋∞”作为区间端点时，必须用开区间符号．符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤3}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；
(4)R＝________．
答案： (1)[1，＋∞) (2)(2，3]
(3)(－1，2)∪(2，＋∞) (4)(－∞，＋∞)
即时练1.求解下列问题：
(1)区间[a－1，a]关于原点对称，求a及该区间．
(2)区间[a，2a－1]的右端点为3，求a及该区间．
解析： (1)由已知得a－1＝－a，解得a＝.
此时区间为[－，].
(2)由已知得2a－1＝3，解得a＝2.
此时区间为[2，3]．
知识点二 同一个函数
前提条件 定义域相同
对应关系完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
(链接教材P66例3)(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x＋2，g(x)＝＋2
B．f(x)＝，g(x)＝()2＋3
C．f(x)＝x2＋2(x－1)0，g(x)＝x2＋2
D．f(x)＝＋，g(t)＝＋
AD [对于A，f(x)＝x＋2与g(x)＝＋2＝x＋2，两函数的定义域均为R，对应关系相同，所以这两个函数是同一个函数，故A正确；对于B，f(x)＝的定义域为(－∞，3)∪(3，＋∞)，函数g(x)＝()2＋3的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数，故B错误；对于C，f(x)＝x2＋2(x－1)0的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，g(x)＝x2＋2的定义域为R，两函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数，故C错误；对于D，f(x)＝＋与g(t)＝＋，两函数的定义域均为R，对应关系相同，所以这两个函数是同一个函数，故D正确．故选AD．]
判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤
[注意] (1)在化简解析式时，必须是等价变形；
(2)与用哪个字母表示无关．
即时练2.下列选项中能表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋3与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋2)2与y＝x2
B [对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠3}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．]
函数的值域
求下列函数的值域：
(1)f(x)＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x＋.
解析： (1)x∈{1，2，3，4，5}，分别代入求值，可得函数的值域为{3，5，7，9，11}．
(2)(图象法)f(x)＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示，所以函数f(x)的值域为[2，11).
(3)(分离参数法)f(x)＝＝3－(x≠－1)，
显然可取到0以外的一切实数，即函数f(x)的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞).
(4)(换元法，配方法)设u＝(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，
f(u)＝u2＋u＝－(u≥0).
由u≥0，可知≥，所以f(u)≥0，所以函数f(x)＝x＋的值域为[0，＋∞).
求函数值域常用的4种方法
(1)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的函数的方法．
(2)图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
即时练3.求下列函数的值域：
(1)y＝，x∈[1，2)；
(2)y＝x＋(x＞0)；
(3)y＝.
解析： (1)因为1≤x＜2，所以1≤x2＜4，
所以＜≤1.所以2＜≤8.
所以函数的值域是(2，8].
(2)∵x＞0，∴x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，可知y＝x＋(x＞0)的值域为[4，＋∞).
(3)因为y＝＝，
所以0≤y≤，所以原函数的值域为．
创新题型 抽象函数的定义域
已知函数f(x)的定义域为[－4，4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
解析： 因为f(x)的定义域为[－4，4]，
所以解得－≤x≤.
所以函数f(2x＋1)的定义域为.
求抽象函数的定义域的方法
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]的范围(值域)即定义域．
即时练4.已知函数f(x－1)的定义域为[0，3]，则函数f(x)的定义域为________．
解析： 由0≤x≤3得－1≤x－1≤2，
所以函数f(x)的定义域是[－1，2].
答案： [－1，2]
1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
B [y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞).]
2．(多选)下列各对函数中是同一函数的是( )
A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0
B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)
D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2
BD [选项A中函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
选项B中f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；
选项C中f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；
选项D中f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数．]
3．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析： 若[a，3a－1]为一确定区间，则a＜3a－1，
解得a＞，
所以a的取值范围是.
答案：
4．已知f(x)＝，求f(x)的定义域与值域．
解析： 要使函数有意义，则x＋2≠0，解得x≠－2，
∴函数f(x)的定义域是{x|x≠－2}．
f(x)＝＝3＋，
∵≠0，∴3＋≠3，
∴函数f(x)的值域为{y|y≠3}．
课时作业(十七) 函数的概念(二)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．区间(－3，2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2}
C [由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3＜x≤2}，故选C．]
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1和y＝
B．y＝和y＝()2
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
D [A中，y＝＝x＋1，由x－1≠0，得x≠1，故两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；B中，y＝＝|x|和y＝()2＝x，x≥0，两个函数的定义域和对应关系都不相同，不是同一个函数；C中，f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2，两个函数的对应关系不相同，不是同一个函数；D中，f(x)＝＝＝1(x＞0)，g(x)＝＝＝1(x＞0)，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数．故选D．]
3．已知函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为( )
A．[－5，5] B．[－7，13]
C．[－4，1] D．[－1，4]
D [由函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5，5]可知－5≤3－2x≤5，解得－1≤x≤4，故选D．]
4．(多选)(2021·浙江金华东阳中学高一期中)下列函数中，值域为[0，4]的是( )
A．f(x)＝x－1，x∈[1，5]
B．f(x)＝－x2＋4
C．f(x)＝
D．f(x)＝x＋－2(x＞0)
AC [对于A，由x∈[1，5]可得f(x)＝x－1∈[0，4]，故A正确；
对于B，由f(x)＝－x2＋4≤4可得该函数的值域为(－∞，4]，故B错误；
对于C，由0≤f(x)＝≤＝4可得该函数的值域为[0，4]，故C正确；
对于D，f(6)＝6＋－2＝＞4，所以该函数的值域不为[0，4]，故D错误．
故选AC．]
5．函数y＝x2(－2≤x≤3)的值域为________．
解析： 因为－2≤x≤3，所以x＝0时，y＝x2取最小值0；x＝3时，y＝x2取最大值9，
所以y＝x2(－2≤x≤3)的值域为[0，9].
答案： [0，9]
6．已知f(x)＝，则f(0)＋f(－1)＝________，函数的值域为________．
解析： 因为f(0)＝＝1，f(－1)＝＝，所以f(0)＋f(－1)＝.因为x2≥0，所以1＋x2≥1，所以0＜≤1.
答案： (0，1]
7．求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)f(x)＝x－；
(3)f(x)＝.
解析： (1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数f(x)的值域为[1，＋∞).
(2)要使函数解析式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝－.又t≥0，故f(t)≥－，所以函数f(x)的值域是.
(3)f(x)＝＝＝5＋.
易知函数的定义域是{x|x≠2}．
因为≠0，所以y≠5，所以函数f(x)的值域是(－∞，5)∪(5，＋∞).
[能力提升]
8．(多选)下列函数定义域和值域相同的是( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x2＋5
C．f(x)＝ D．f(x)＝
ACD [对于A，f(x)＝2x＋1定义域及值域都为R，对于B，f(x)＝x2＋5的定义域为R，值域为[5，＋∞)，对于C，f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对于D，f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞).故选ACD．]
9．(多选)(2021·浙江温州期末考试)已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是( )
A．[0，1] B．[1，2] C．[，2] D．[－1，1]
ABC [由x2－2x＋2＝1，得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，得x＝1.由x2－2x＋2＝2，得x2－2x＝0，即x＝0或x＝2.设定义域为[a，b]，若a＝0，则1≤b≤2，则A正确；若b＝2，则0≤a≤1，则B，C正确．故选ABC．]
10．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是________．
解析： 由于y＝f(x)与y＝＋是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3，1].
答案： [－3，1]
11．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
解析： 由题意，得即－1≤x≤1.
故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1].
答案： [－1，1]
12．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数m的取值范围．
解析： (1)函数f(x)的定义域为R，说明对任意实数x，mx2＋(m－3)x＋1≥0恒成立．
若m＝0，则－3x＋1≥0，即x≤，不符合题意．
若m≠0，要使f(x)的定义域为R，则需解得1≤m≤9.
∵实数m的取值范围是[1，9].
(2)∵f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴函数g(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的值可以取一切非负数．
当m＝0时，g(x)＝－3x＋1，满足题意．
当m≠0时，m应满足解得0＜m≤1或m≥9.
综上所述，实数m的取值范围是[0，1]∪[9，＋∞).第2课时 函数的概念(二)
知识点一 区间的概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤b} {x|x＜b}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b)
[点拨] 表示区间应注意的问题
(1)注意“开”与“闭”，“开”用小括号，“闭”用中括号；在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点，如(1，2)与[1，2)是不同的区间．
(2)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示．并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0，1，2}就不能用区间表示．
(3)区间的左端点a必须小于右端点b，即a＜b，这与集合不同．有时我们将b－a称为区间(a，b)或[a，b]的长度．
(4)用“－∞”或“＋∞”作为区间端点时，必须用开区间符号．符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤3}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；
(4)R＝________．
即时练1.求解下列问题：
(1)区间[a－1，a]关于原点对称，求a及该区间．
(2)区间[a，2a－1]的右端点为3，求a及该区间．
知识点二 同一个函数
前提条件 定义域相同
对应关系完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
(链接教材P66例3)(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x＋2，g(x)＝＋2
B．f(x)＝，g(x)＝()2＋3
C．f(x)＝x2＋2(x－1)0，g(x)＝x2＋2
D．f(x)＝＋，g(t)＝＋
判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤
[注意] (1)在化简解析式时，必须是等价变形；
(2)与用哪个字母表示无关．
即时练2.下列选项中能表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋3与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋2)2与y＝x2
函数的值域
求下列函数的值域：
(1)f(x)＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x＋.
求函数值域常用的4种方法
(1)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的函数的方法．
(2)图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
即时练3.求下列函数的值域：
(1)y＝，x∈[1，2)；
(2)y＝x＋(x＞0)；
(3)y＝.
创新题型 抽象函数的定义域
已知函数f(x)的定义域为[－4，4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
解析： 因为f(x)的定义域为[－4，4]，
所以解得－≤x≤.
所以函数f(2x＋1)的定义域为.
求抽象函数的定义域的方法
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]的范围(值域)即定义域．
即时练4.已知函数f(x－1)的定义域为[0，3]，则函数f(x)的定义域为________．
1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
2．(多选)下列各对函数中是同一函数的是( )
A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0
B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)
D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2
3．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
4．已知f(x)＝，求f(x)的定义域与值域．
课时作业(十七) 函数的概念(二)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．区间(－3，2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2}
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1和y＝
B．y＝和y＝()2
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
3．已知函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为( )
A．[－5，5] B．[－7，13]
C．[－4，1] D．[－1，4]
4．(多选)(2021·浙江金华东阳中学高一期中)下列函数中，值域为 的是( )
A．f(x)＝x－1，x∈
B．f(x)＝－x2＋4
C．f(x)＝
D．f(x)＝x＋－2(x＞0)
5．函数y＝x2(－2≤x≤3)的值域为________．
6．已知f(x)＝，则f(0)＋f(－1)＝________，函数的值域为________．
7．求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)f(x)＝x－；
(3)f(x)＝.
8．(多选)下列函数定义域和值域相同的是( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x2＋5
C．f(x)＝ D．f(x)＝
9．(多选)(2021·浙江温州期末考试)已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是( )
A．[0，1] B．[1，2] C．[，2] D．[－1，1]
10．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是________．
11．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
12．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数m的取值范围．课时作业(十七) 函数的概念(二)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．区间(－3，2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2}
C [由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3＜x≤2}，故选C．]
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1和y＝
B．y＝和y＝()2
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
D [A中，y＝＝x＋1，由x－1≠0，得x≠1，故两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；B中，y＝＝|x|和y＝()2＝x，x≥0，两个函数的定义域和对应关系都不相同，不是同一个函数；C中，f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2，两个函数的对应关系不相同，不是同一个函数；D中，f(x)＝＝＝1(x＞0)，g(x)＝＝＝1(x＞0)，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数．故选D．]
3．已知函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为( )
A．[－5，5] B．[－7，13]
C．[－4，1] D．[－1，4]
D [由函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5，5]可知－5≤3－2x≤5，解得－1≤x≤4，故选D．]
4．(多选)(2021·浙江金华东阳中学高一期中)下列函数中，值域为[0，4]的是( )
A．f(x)＝x－1，x∈[1，5]
B．f(x)＝－x2＋4
C．f(x)＝
D．f(x)＝x＋－2(x＞0)
AC [对于A，由x∈[1，5]可得f(x)＝x－1∈[0，4]，故A正确；
对于B，由f(x)＝－x2＋4≤4可得该函数的值域为(－∞，4]，故B错误；
对于C，由0≤f(x)＝≤＝4可得该函数的值域为[0，4]，故C正确；
对于D，f(6)＝6＋－2＝＞4，所以该函数的值域不为[0，4]，故D错误．
故选AC．]
5．函数y＝x2(－2≤x≤3)的值域为________．
解析： 因为－2≤x≤3，所以x＝0时，y＝x2取最小值0；x＝3时，y＝x2取最大值9，
所以y＝x2(－2≤x≤3)的值域为[0，9].
答案： [0，9]
6．已知f(x)＝，则f(0)＋f(－1)＝________，函数的值域为________．
解析： 因为f(0)＝＝1，f(－1)＝＝，所以f(0)＋f(－1)＝.因为x2≥0，所以1＋x2≥1，所以0＜≤1.
答案： (0，1]
7．求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)f(x)＝x－；
(3)f(x)＝.
解析： (1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数f(x)的值域为[1，＋∞).
(2)要使函数解析式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝－.又t≥0，故f(t)≥－，所以函数f(x)的值域是.
(3)f(x)＝＝＝5＋.
易知函数的定义域是{x|x≠2}．
因为≠0，所以y≠5，所以函数f(x)的值域是(－∞，5)∪(5，＋∞).
[能力提升]
8．(多选)下列函数定义域和值域相同的是( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x2＋5
C．f(x)＝ D．f(x)＝
ACD [对于A，f(x)＝2x＋1定义域及值域都为R，对于B，f(x)＝x2＋5的定义域为R，值域为[5，＋∞)，对于C，f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对于D，f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞).故选ACD．]
9．(多选)(2021·浙江温州期末考试)已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是( )
A．[0，1] B．[1，2] C．[，2] D．[－1，1]
ABC [由x2－2x＋2＝1，得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，得x＝1.由x2－2x＋2＝2，得x2－2x＝0，即x＝0或x＝2.设定义域为[a，b]，若a＝0，则1≤b≤2，则A正确；若b＝2，则0≤a≤1，则B，C正确．故选ABC．]
10．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是________．
解析： 由于y＝f(x)与y＝＋是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3，1].
答案： [－3，1]
11．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
解析： 由题意，得即－1≤x≤1.
故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1].
答案： [－1，1]
12．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数m的取值范围．
解析： (1)函数f(x)的定义域为R，说明对任意实数x，mx2＋(m－3)x＋1≥0恒成立．
若m＝0，则－3x＋1≥0，即x≤，不符合题意．
若m≠0，要使f(x)的定义域为R，则需解得1≤m≤9.
∵实数m的取值范围是[1，9].
(2)∵f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴函数g(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的值可以取一切非负数．
当m＝0时，g(x)＝－3x＋1，满足题意．
当m≠0时，m应满足解得0＜m≤1或m≥9.
综上所述，实数m的取值范围是[0，1]∪[9，＋∞).课时作业(十七) 函数的概念(二)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．区间(－3，2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2}
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1和y＝
B．y＝和y＝()2
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
3．已知函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为( )
A．[－5，5] B．[－7，13]
C．[－4，1] D．[－1，4]
4．(多选)(2021·浙江金华东阳中学高一期中)下列函数中，值域为 的是( )
A．f(x)＝x－1，x∈
B．f(x)＝－x2＋4
C．f(x)＝
D．f(x)＝x＋－2(x＞0)
5．函数y＝x2(－2≤x≤3)的值域为________．
6．已知f(x)＝，则f(0)＋f(－1)＝________，函数的值域为________．
7．求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)f(x)＝x－；
(3)f(x)＝.
8．(多选)下列函数定义域和值域相同的是( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x2＋5
C．f(x)＝ D．f(x)＝
9．(多选)(2021·浙江温州期末考试)已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，2]，则其定义域可能是( )
A．[0，1] B．[1，2] C．[，2] D．[－1，1]
10．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是________．
11．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
12．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数m的取值范围．
