【金版学案】2014-2015高中数学必修2苏教版：2章末知识整合

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数学·必修2(苏教版)
　若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为__________．
解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法．
y＝kx＋1恒过点(0,1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°.
∴k＝或－.
答案：或－
归纳拓展：
根据数学问题的条件和结论之间的内在联系， ( http: / / www.21cnjy.com )将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合.,1.以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律.比如，研究两曲线的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化.,2.以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质.www.21-cn-jy.com
变式训练
1．若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是____________．
解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2,0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±.2·1·c·n·j·y
∴点C的坐标为(0，)．
又M的坐标为(－1,0)，
∴kMC＝＝.
结合图形得0答案：(0，)
2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是__________．
解析：方法一　∵P(m，n)在已知圆x2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0表示的区域中，如图，－c为直线x＋y＋c＝0在y轴上的截距，可求出切线l的截距为－(－1)，∴－c≤－(－1)．∴c≥－1.【来源：21·世纪·教育·网】
方法二　P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上的点，
∴
∴m＋n＝1＋cos α＋sin α.
∴－＋1≤m＋n≤＋1.
∴－(＋1)≤－(m＋n)≤－1.
若不等式m＋n＋c≥0恒成立，
∴c≥－(m＋n)．∴c≥－1.
答案：[－1，＋∞)
　已知F(0,1)，直线l：y＝－2，圆C：x2＋(y－3)2＝1.(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点
M的轨迹E的方程；(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求S的最小值．
分析：考虑四边形PACB的面积最小，首先应建立目标函数，通过函数解决问题．
解析：(1)设动点M(x，y)，据题意有＋1＝y－(－2)，化简得x2＝4y.
(2)设动点P(x0，y0)，考虑到切线长 ( http: / / www.21cnjy.com )相等，所以四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝PA·AC，又由于圆C的半径为1，所以S＝PA＝＝.因为x＝4y0，所以S＝＝≥，当且仅当y0＝1，x0＝±2时成立．
即S的最小值为.
归纳拓展：
1．函数思想的实质是用联系 ( http: / / www.21cnjy.com )和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用有关函数的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图象等)，使问题得到解决．21·世纪*教育网
2．方程的思想多用于曲线方程的求解(如 ( http: / / www.21cnjy.com )求直线的方程、圆的方程，通常构造含确定曲线方程形态的特征常数的方程或方程组)；两直线位置关系的判定；圆的切线方程的求解等．www-2-1-cnjy-com
3．方程和函数这两种思想在本章有机地结合，帮助我们更好地解决了两曲线的位置关系及求函数的值域问题．
变式训练
3．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.
(1)当t为何值时，方程表示圆？
(2)当t为何值时，方程表示的圆的半径最大？并求出半径最大时圆的方程．
解析：(1)方程表示圆的条件是[－ ( http: / / www.21cnjy.com )2(t＋3)]2＋[2(1－4t2)]2－4(16t4＋9)>0，即(t－1)(7t＋1)<0，解得－(2)由(1)知，当－r＝
＝＝
＝.
所以当t＝时，半径r有最大值，且rmax＝＝，此时圆心坐标为，故圆的方程为2＋2＝.
　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是__________．　　21*cnjy*com
解析：设圆心与直线的距离为d，d＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＝5，R＝3，∴圆上点到直线的距离最大值为d＋R＝8，最小值d－R＝2，∴(d＋R)－(d－R)＝8－2＝6.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：6
归纳拓展：
通过各种变换，把复杂或未知转化为简单或已知，达到化归的目的.
1.运用恒等变换与同解变换，可以把角的关系变 ( http: / / www.21cnjy.com )换为斜率的关系，把两直线的位置关系变换成斜率与截距间的关系，把点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系变换为两点间距离与半径的关系等.
2.运用“实际问题——数学问题”的变换，构建数学模型，通过数学知识寻求实际问题的答案，体现数学的作用，同时发展学生解决问题的能力.【出处：21教育名师】
3.通过化抽象为具体，化数为形，化形为数，化一般为特殊的数学思想综合处理直线和圆方程中的各类问题.
变式训练
4．若线段OQ在xOy平面及yOz平面上的投影长分别为2和，试问线段OQ最长可为多少？最短可为多少？
解析：设Q(u，v，w)，据题意则有＝2，＝，
所以u2＝8－v2，w2＝17－v2，
而OQ＝.
从而有u2＋v2＋w2＝25－v2.
因为0≤v2≤8，故≤OQ≤5.
∴线段OQ最长可为5，最短可为.
5．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围为__________．21教育网
解析：圆心(2,3)到直线y＝kx＋2的距离为：，∵MN≥2，∴4－≥3.
即：≤1.解得：0≤k≤.
答案：
　设A(1，－2，x)，B(x,3,0)，C(7，x,6)，且A，B，C三点构成直角三角形，求x的值．21·cn·jy·com
解析：由已知条件知
AB2＝(x－1)2＋(3＋2)2＋(0－x)2
＝2x2－2x＋26，
BC2＝(7－x)2＋(x－3)2＋(6－0)2
＝2x2－20x＋94，
CA2＝(1－7)2＋(2＋x)2＋(x－6)2
＝2x2－8x＋76，
若AB2＋BC2＝CA2，
则4x2－22x＋120＝2x2－8x＋76，
即x2－7x＋22＝0，无实数解．
若AB2＋CA2＝BC2，
则4x2－10x＋102＝2x2－20x＋94，
即x2＋5x＋4＝0，解之得x1＝－4，x2＝－1，
若BC2＋CA2＝AB2，
则4x2－28x＋170＝2x2－2x＋26，
即x2－13x＋72＝0，无实数解．
综上可知，实数x的值－4或－1.
归纳拓展：
根据对象的属性，选择适当的 ( http: / / www.21cnjy.com )标准，把研究对象不重复、不遗漏地划分为若干类，对于培养学生综合运用基础知识能力，严谨、周密的分析能力，良好的思维素质都有重要作用．21世纪教育网版权所有
1．涉及的数学概念是分类 ( http: / / www.21cnjy.com )定义的，应用的定理、公式，运算性质是分类给出的，解题中必然引起讨论．如求直线的斜率问题，用斜率表示的直线方程，用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆等都要分类讨论．21cnjy.com
2．数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果，解题中需讨论，如判定两曲线的位置关系等．
变式训练
6．设A(－c,0)，B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹．
解析：设动点P的坐标为(x，y)
由＝a(a>0)，得＝a，化简得
(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0.
当a≠1时，得x2＋x＋c2＋y2＝0，
整理得2＋y2＝2，
当a＝1时，化简得x＝0.
所以当a≠1时，P点的轨迹是以为圆心，
为半径的圆．
当a＝1时，P点的轨迹为y轴．
7．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0无公共点，求实数m的取值范围．
解析：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程，得：
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)若圆C1与圆C2内含，则有：
<3－2.
即：m2＋3m＋2<0.解得：－2(2)若圆C1与圆C2外离，则有：
>3＋2.
即：m2＋3m－10>0.解得：m<－5或m>2.
综合(1)、(2)可知m的取值范围是
(－∞，－5)∪(－2，－1)∪(2，＋∞)．
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