第四章 图形的平移与旋转专题 旋转的有关证明与探究（含解析）

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第四章 图形的平移与旋转
专题 旋转的有关证明与探究
刷难关
类型1 角度问题
1.如图,在 △ABC 中,AB = AC,∠BAC=α,将BC 绕点 B逆时针旋转β至 BD，点C的对应
点为点D,连接AD,CD,若∠BAD=2∠ABC,则β的值是( )
A.α-45° B.α-60° C. 180°-2α D.150°-α
2.如图,将△ABC绕点 C 顺时针旋转90°得到△EDC.若点 A,D,E在同一条直线上,且 ∠ACB=20°,求∠CAE及∠B的度数.
3.我们把一副三角板如图(1)摆放在一起,其中OA,OD在一条直线上,∠ABO=45°,
∠DCO=30°.
(1)求∠BOC的度数;
(2)如图(2),将图(1)中的△OAB以点O 为旋转中心顺时针旋转到 的位置，求当
为多少度时，平分∠COD;
(3)如图(3),两个三角板的直角边 OA,OD摆放在同一条直线上，直角边 OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点 O 顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数是_____________.
类型2 长度问题
4.如图,将 Rt△ABC绕直角顶点 B逆时针旋转90°得到 Rt△DBE,DE 的延长线恰好经过AC的中点 F,连接AD,CE.
(1)求证:AE=CE;
(2)若 求AB的长.
5.△ABC 和△ADE 都是等边三角形.
(1)将△ADE 绕点 A旋转到图(1)的位置时,连接BD，CE并延长相交于点 P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明)；
(2)将△ADE 绕点 A旋转到图(2)的位置时,连接 BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段 PA,PB，PC 之间有怎样的数量关系 并加以证明；
(3)将△ADE绕点 A 旋转到图(3)的位置时,连接BD,CE 相交于点 P,连接PA,猜想线段 PA,PB，PC 之间有怎样的数量关系 直接写出结论，不需要证明.
类型3 面积问题
6.请认真阅读下面探究内容，完成所提出的问题：
(1)探究1:如图(1),在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=5,将边 AB 绕点 B顺时针
旋转90°得到线段 DB,连接 CD,过点 D作 BC边上的高 DE,则 DE 与 BC 的数量关系是
_______________,△BCD的面积为____________.
(2)探究2:如图(2),在一般的 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=(m+n) -(m-n) (m＞0,n＞0),将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段DB,连接CD,请用含 m,n的式子表示△BCD的
面积，并说明理由.
(3)探究3:如图(3),在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a+b+c(a>0,b>0,c>0),将边 AB绕点 B顺时针旋转90°得到线段 DB,连接 CD,试用含 a，b，c的式子表示△BCD的面积，并说明理由.
参考答案
刷难关
1. C 【解析】∵ AB = AC,∠BAC = α, ∴ ∠ABC =∵将
BC绕点B逆时针旋转β至BD,点C的对应点为点 D,∴BD=BC.如图,延长CA到 E,使得 AE=AD,则∠EAB=∠ABC+∠ACB = 2∠ABC. ∵∠BAD= 2 ∠ABC,∴∠EAB=∠BAD,∴△EAB≌△DAB(SAS),∴BE= BD= BC,∴∠E=∠ACB =∠ABC,∠EBA=∠DBA.∵α=∠E+∠EBA=∠E+ ∠ABD=∠ABC+(∠ABC-β)= 2∠ABC-β,∴α=(180°-α)-β,∴β=180-2α,故选C.
2.【解】根据旋转的性质,得 CA=CE,∠BCD=∠ACE=90°,∠B=∠EDC,∴△ACE是等腰直角三角形,∴∠CAE= 45°.∵∠ACB = 20°,∴∠ACD=90°-20°=70°,∴∠EDC= 45°+70°=115°,∴∠B=∠EDC=115°.
3.【解】(1)∵∠ABO = 45°,∠DCO = 30°,∠BAO=∠CDO = 90°,∴∠AOB = 45°,
∠COD= 60°,∴∠BOC= 180°-∠AOB. ∠COD=180°-45°-60°=75°.
(2)∵△OAB以O为旋转中心顺时针旋转得到.
∵∠COD=60°,OB'平分∠COD,∴∠COB'=
(3)如图(1),设 A'B'与OD相交于点 E.
∵A'B'∥CD,∴∠CDO=
∴∠EOB'=60°-45°=15°,∴∠BOB'=105°.
如图(2),设A'B'与AO 相交于点 F.
∵A'B'∥CD,
旋转角的度数为360°-75°=285°.
综上所述，当AB∥CD时，旋转角的度数为105°或285°.故答案为 105°或285°.
4.(1)【证明】∵将 Rt△ABC绕直角顶点 B逆时针旋转 90°得到 Rt△DBE,
∴△ABC≌△DBE,∴∠BAC=∠CDF.∵∠BAC+∠ACB = 90°,∴∠CDF+∠ACB=90°,
∴DF⊥AC.又∵点F是AC的中点,∴DF垂直平分AC,∴AE=CE.
(2)【解】由(1)知△ABC≌△DBE,∴BE=BC=,∴CE=AE=2,∴AB=AE+BE=2+.
5.【解】(2)PB=PA+PC.理由如下:
如图(1),在 BP上截取BF=PC,连接AF.
∵△ABC,△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,
∴∠BAC=∠PAF=60°,∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA.
(3)PC=PA+PB.
如图(2),在PC上截取 CM=PB,连接AM.
同(2)得△ABD≌△ACE(SAS).∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,PB=CM,∴△AMC≌△APB(SAS),∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,∴∠BAC=∠PAM=60°,
∴△AMP是等边三角形,∴PM=PA,∴PC=PM+CM=PA+PB.
6.【解】(1)∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°.
由旋转知,AB=DB.∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°,∴∠A=∠DBE.
又∵DE⊥BE,∴∠DEB=90°,∴∠DEB=∠ACB,∴△ABC≌△
·故答案为 DE=BC,12.5.
理由:过点 D作 DE⊥CB,交CB的延长线于E，如图(1)，同(1)的方法得,△ACB≌△BED(AAS),∴ BC = DE.∵BC=(m+n) -(m-n) =m +n +2mn-(m +
理由:
如图(2),过点A作AF⊥BC于
过点 D作 DE⊥CB,交CB的延长线于E，
同(1)的方法得，
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