4.2.1 旋转的定义与性质同步练习（含解析）

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第四章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义与性质
刷基础
知识点1 旋转的相关概念
1.以下生活现象中，属于旋转变换的是( )
A.钟表的指针和钟摆的运动 B.站在电梯上的人的运动
C.坐在火车上睡觉 D.地下水位线逐年下降
2.如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是( )
3.下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，则第2023个图案与第1个至第4个中的第__________个箭头方向相同(填序号).
知识点2 旋转的性质
4如图,将△ABC绕点 A 顺时针旋转到△ADE的位置，且点 D恰好落在 AC边上，则下列结论不一定成立的是( )
A.∠ABC=∠ADE B. BC=DE C. BC∥AE D. AC 平分∠BAE
第4题图 第5题图
5如图,△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC= 40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到. 使点C的对应点 C'恰好落在边 AB上，则∠CAA'的度数是( )
A.50° B.70° C.110° D. 120°
6.如图,△ABC 是等腰直角三角形,DE 是过点 C 的直线,BD⊥DE,AE⊥DE,则△BDC 通过下列变换能与△ACE重合的是( )
A.绕点C逆时针旋转90度 B.沿AB的垂直平分线翻折
C.绕AB的中点M顺时针旋转90度 D.沿DE 方向平移
第6题图 第7题图
7.如图,将Rt△ABC 的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到 AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°＜β＜90°)得到AF,连接EF.若AB=4,AC=3,且α+β=∠B,则EF=____________.
8.如图,在△ABC 和△ADE中,点 E 在 BC边上,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,AB=AD.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)如果∠AEC=75°,将△ADE绕着点 A 旋转一个锐角后与△ABC 重合，求这个旋转角的大小.
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1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,将△ABC绕点 C顺时针旋转得到△A'B'C,其中点A'与点 A是对应点，点 B'与点 B是对应点.若点 B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于( )
C.1.5 D.1
第1题图 第2题图
2.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=1,△A'B'C由△ABC绕点C 顺时针旋转得到，其中点A'与点A、点B'与点 B是对应点，连接AB',且A,B',A'在同一条直线上,则AA'的长为( )
A.3 B.6 C.4 D.8
3.如图，在边长为6的正方形 ABCD内作∠EAF=45°,AE 交 BC于点E,AF交 CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转 90°得到△ABG.若 DF=3,则BE的长为( )
A.2 C.1
第3题图 第4题图
4.如图，已知在△ABC 中,BA = BC = 10,AC = 12,将△ABC绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'.点D是边 AC 的中点，点E为边 BC 上的动点，在△ABC绕点A 逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点 E'，则线段 DE'长度的最大值与最小值的差是( )
D.18
5.如图,在△ABC 中,∠BAC=70°,将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到 连接 若 ∥则
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6.在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 100°,D是 BC 的中点.在射线AD上任意取一点 P，连接PB.将线段 PB绕点 P逆时针方向旋转 80°，点B的对应点是点 E，连接BE,CE.
(1)如图(1),当点E落在射线AD上时,
①∠BEP=_____________°;
②直线 CE与直线AB的位置关系是___________.
(2)如图(2)，当点E落在射线AD的左侧时，试判断直线 CE与直线AB 的位置关系，并证明你的结论.
参考答案
刷基础
1. A【解析】钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换；站在电梯上的人的运动、坐在火车上睡觉、地下水位线逐年下降都属于平移现象.故选 A.
2. C【解析】∵将五角星绕其中心旋转 180°,∴题图中阴影部分的三角形应竖直向下.故选C.
3.3【解析】根据题图可以看出4个图案为一个循环,2 023÷4=505 3,故第2 023个图案与第3个图案箭头方向相同，故答案为3.
4. C【解析】∵将△ABC绕点A 顺时针旋转到△ADE 的位置,且点 D恰好落在 AC 边上,
∴∠ABC=∠ADE,BC=DE,∠BAC=∠CAE,∴AC平分∠BAE.结论BC∥AE 不一定成立.故选C.
5. D【解析】∵∠ACB = 90°,∠ABC = 40°,∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-40°=50°.
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',使点C的对应点C'恰好落在边AB上,
∴∠A'BA=∠ABC=40°,A'B=AB,∴∠BAA'=∠BA'A =
.故选D.
6. C【解析】∵BD⊥DE,AE⊥DE,∴∠BDC=∠CEA=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠BCD=∠CAE(同角的余角相等),∴在△BDC 与△CEA中,
∴BD=CE,CD=AE.绕点C旋转后,△BDC与△ACE 不重合,故选项 A 不符合题意;△BDC与
△ACE 不关于AB 的垂直平分线对称，则沿AB的垂直平分线翻折后不重合，故选项B不符合题意；因为△ABC 是等腰直角三角形，M为AB的中点，所以CM⊥AB，所以绕中点M顺时针旋转90°,△BDC 与△CEA 重合,故选项C符合题意；先沿DE方向平移△BDC，使点D与点E重合后，再将平移后的三角形绕点E顺时针旋转90°,则△BDC 与△CEA 重合,故选项D不符合题意.故选 C.
7.5【解析】由旋转的性质可得AE=AB=4,AC=AF=3.∵∠B+∠BAC=90°,且α+β=∠B,
∴∠BAC+α+β=90°,∴∠EAF=90°.在Rt△AEF中，由勾股定理得EF=5，故答案为5.
8.(1)【证明】在△ABC 和△ADE中, ∴△ABC≌△ADE(ASA).
(2)【解】∵△ABC≌△ADE,∴AC=AE,∴∠C=∠AEC=75°,∴∠CAE=180°-∠C-∠AEC=30°,∴△ADE绕着点A 逆时针旋转30°后与△ABC重合，∴这个旋转角为30°.
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1. C【解析】连接AA',如图.
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,∴AB=2,
将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,∴ CA=CA',
为等边三角形,∴ 为等边三角形.
过点 A 作AD⊥A'C于点 D, 1.5,
∴点A到直线A'C 的距离为 1.5.故选C.
2.A【解析】∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×1=2.∵△ABC绕点C顺时针旋转得到 ∠B=60°,∴△CAA'为等腰三角形,∴∠CAA'=·点A,B',A'在同一条直线上,故选A.
3. A【解析】由题意可得,△ADF≌△ABG,∴DF= BG=3,∠DAF=∠BAG.
∵∠DAB=90°,∠EAF= 45°,∴∠DAF+∠EAB = 45°,∴∠BAG+∠EAB=45°,
∴∠EAF=∠EAG.在△EAG和△EAF中 ∴△EAG≌△EAF(SAS),
∴GE= FE.设BE=x,则GE=BG+BE=3+x,CE=6-x,∴EF=3+x.∵CD=6,DF=3,∴CF=3.
在Rt△ECF中,∠C=90°,CE +CF =EF ,即(6-x) +3 =(3+x) ,解得x=2,即BE=2.故选A.
4. C【解析】如图,连接BD,作AH⊥B'C'于H, 于D'.由旋转得AB= AB',BC=
在旋转过程中，当点E'与E''重合时，DE 的值最小，最小值为 当点E'与E"重合时,DE'的值最大,最大值为6+12=18,∴线段 DE'长度的最大值与最小值的差为 故选C.
5.40°【解析】∵△ABC绕点A逆时针旋转得到
40°.故答案为40°.
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6.【解】(1)①由旋转性质得,PB=PE,∴∠PEB=∠BPE)=50°.故答案为 50.②∵AB=AC,D是 BC的中点，∴ 90°-50°=40°.∵AE垂直平分线段 BC,∴EB=EC,∴∠ECB= ∠EBC=40°.∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠ABC =∠ACB=40°,∴∠ABC=∠ECB,∴AB∥EC.故答案为CE∥AB.
(2)CE∥AB.证明如下:如图，连接CP并延长交 BE于点 F.
∵PB = PE,∠BPE= 80°,∴∠PBE=∠BEP=50°.∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠ABC= ∠ACB=40°. ∵ AB = AC,D 是 BC 的中点,∴AD垂直平分 BC,∴PB=PC=PE,∴∠PBC=
∠BCP,∠PEC = ∠PCE.∵∠BPF=∠BCP+∠PBC,∠EPF=∠ECP+∠PEC,∴∠BPE=∠BPF+ ∠EPF=2(∠PBC+∠PEC),∴∠PBC+∠PEC=40°,∴∠ABE+∠BEC=40°+2×50°+40°=180°,∴CE∥AB.
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