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第四章
指数函数与对数函数
章末综合提升
思维导图 体系构建
核心素养 能力培优
单 元 综 合 评 价（四）
谢谢观看！章末综合提升
素养一 数学运算
数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，形成程序化思维．数学运算在本章中主要体现在以下两个方面：(1)指数、对数的运算；(2)函数的零点．
题型一 指数与对数的运算
1．计算：()－＋log2(log216)＝________．
解析： 原式＝()－3×(－)＋log24＝＋2＝.
答案：
2．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．
解析： 由2x＝3，log4＝y得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3.
答案： 3
3．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2×lg 500－lg －log29×log32.
(2)log20.25＋ln＋24·log23＋lg 4＋2lg 5－.
解析： (1)lg25＋lg 2×lg 500－lg －log29×log32
＝lg25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg －log39
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2
＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0.
(2)log20.25＋ln＋24·log23＋lg 4＋2lg 5－
＝log2＋ln e＋2log234＋lg 4＋lg 52－
＝－2＋＋81＋lg 100－2＝.
题型二 函数的零点
4．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
D [当x≤0时，令x2＋4x＋3＝0，得x＝－3或－1；当x>0时，令－2＋ln x＝0，得x＝e2.所以函数有三个零点．故选D．]
5．函数f(x)＝2x－＋a的一个零点在区间(2，4)内，则实数a的取值范围是( )
A．(－12，1) B．(－12，－1)
C．(－15，－2) D．(－15，－1)
C [因为指数函数y＝2x为增函数，
y＝－＋a在(0，＋∞)上也为增函数，所以f(x)＝2x－＋a在(0，＋∞)上为增函数，由题意f(x)的一个零点在区间(2，4)内，所以f(2)<0且f(4)>0，即解得－15
素养二 逻辑推理
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．逻辑推理在本章中体现在下列两个方面：(1)基本初等函数的性质及应用；(2)函数零点所在区间的判断．
题型三 指数函数、对数函数的性质
6．若a＝log2.10.6，b＝2.10.6，c＝log0.50.6，则a，b，c大小关系是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
B [a＝log2.10.6<0，b＝2.10.6>1，
0所以b>c>a，故选B．]
7．函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．(4，＋∞)
A [由x2－3x－4>0得(x＋1)(x－4)>0，得x>4或x<－1，设t＝x2－3x－4，要求f(x)的单调递减区间，即求t＝x2－3x－4的单调递减区间，∵t＝x2－3x－4的单调递减区间为(－∞，－1)，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1).]
8．已知函数f(x)＝2|x|，且f(log2m)>f(2)，则实数m的取值范围为( )
A．(4，＋∞) B．
C．∪(4，＋∞) D．∪(4，＋∞)
D [易知函数f(x)＝2|x|为偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
∵f(log2m)>f(2)，∴|log2m|>2，即log2m>2或log2m<－2，解得m>4或0题型四 函数零点、方程的根所在区间的判断
9．函数f(x)＝x－4·()x的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B [∵f(x)＝x－4·()x为R上的连续函数，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，∴f(1)f(2)<0，故函数y＝x－4·()x的零点所在区间为(1，2).]
10．若x0是函数f(x)＝－ln x的零点，则( )
A．－1C．1C [函数f(x)＝－ln x的定义域为x>0，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，结合选项可得f(1)＝1>0，f(2)＝－ln 2＝ln －ln <0，所以f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点在区间(1，2)内．]
素养三 直观想象
直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．直观想象在本章中体现在基本初等函数图象的识别及应用．
题型五 函数的图象
11．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
C [函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝，此函数在R上为减函数，其图象过点(0，2)，所以选项C中的图象符合要求．]
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等实数根，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(1，＋∞) D．(0，1]
D [画出函数y＝f(x)和y＝k的图象，如图所示．
由图可知，当方程f(x)＝k有两个不等实数根时，实数k的取值范围是(0，1].]
13．已知函数f(x)＝方程f(x)·[f(x)－b]＝0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
D [由f(x)[f(x)－b]＝0，得f(x)＝0或f(x)＝b，作出f(x)的图象如图．
由图象知，f(x)＝0有2个根，f(x)＝b(0素养四 数学建模
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．根据具体问题，选择合适的数学模型解决实际问题，突出体现了数学建模这一核心素养．
题型六 函数的应用
14．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
C [4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.]
15．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A的饮料销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．
解析： 用①来模拟比较合适．
因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．
单元综合评价(四) 指数函数与对数函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．化简 的结果为( )
A．－ B．
C．－ D．
A [要使式子有意义，只需－x3>0，即x<0，
所以＝＝－.]
2．函数y＝＋lg (5－3x)的定义域是( )
A． B．
C． D．
C [由题意得即∴1≤x<.]
3．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．[－2，－1] D．[－1，0]
D [∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1＝－<0，f(0)＝30－02＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0，∴有零点的区间是[－1，0].]
4．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A．mC．pC [∵m＝0.95.1<0.90＝1，∴m∈(0，1)；又n＝5.10.9>5.10＝1，∴n∈(1，＋∞)；∵p＝log0.95.15．函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是( )
A．(－1，1] B．(－∞，1)
C．[1，3) D．(1，＋∞)
C [由题意得－x2＋2x＋3>0，即x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，解得－1即函数的定义域为(－1，3)，
令g(x)＝－x2＋2x＋3，则函数g(x)的图象为开口向下，对称轴为直线x＝1的抛物线，
所以函数g(x)在区间(－1，1]上单调递增，在区间[1，3)上单调递减，
易知函数y＝logx在定义域上是减函数，由复合函数的单调性可得函数y＝log(－x2＋2x＋3)的递增区间为[1，3).故选C．]
6．函数f(x)＝2loga(x－1)(a>0，且a≠1)的图象恒过点(m，n)，则在平面直角坐标系中，函数g(x)＝()|x＋1|的大致图象为( )
B [由题意，易知函数f(x)的图象过定点(2，0)，即m＝2，n＝0，故g(x)＝()|x＋1|，其图象关于直线x＝－1对称，当x>－1时，g(x)＝()|x＋1|＝()x＋1单调递减，根据对称性，知当x<－1时，g(x)＝()|x＋1|＝()－x－1单调递增．故选B．]
7．已知0A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
A [分别作出函数y＝a|x|和y＝|logax|的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根．故选A．]
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于任意给定的两个非负数a，b(a>b)，不等式af(a)f(1)的解集为( )
A．(，1) B．(，e)
C．(0，e) D．(e，＋∞)
C [设g(x)＝x·f(x)，则g(x)是R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，从而g(x)在R上单调递减，则(ln x)f(ln x)>f(1) ln x<1＝ln e 0二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是( )
A．a＝8 B．f(0)＝－3
C．f ＝2 D．a＝4
AC [因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f ＝8＝2.]
10．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x B．y＝log2x
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
AD [A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符．]
11．若函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是增函数
C．函数y＝f(x)的图象为中心对称图形
D．函数y＝f(x)的图象为轴对称图形
ABC [函数f(x)的定义域是(－2，2).
f(－x)＝ln (2－x)－ln (2＋x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，选项A，C正确，选项D不正确；
由于f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)在(－2，2)为增函数，选项B正确．故选ABC．]
12．下列结论中正确的是( )
A．函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到
B．函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称
C．方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1，3}
D．函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数
AD [对于A，y＝ax＋2的图象可由y＝ax(a>0且a≠1)的图象向上平移2个单位得到，A正确；对于B，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，B错误；对于C，由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得
∴∴x＝3，C错误；对于D，设f(x)＝1n(1＋x)－ln (1－x)，定义域为(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，D正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(2)等于________．
解析： 易得f(0)＋f(2)＝＋log2＝2＋(－1)＝1.
答案： 1
14．函数f(x)＝log2 022(2 022x－1)的单调增区间是________．
解析： 因为y＝log2 022x与y＝2 022x－1均为增函数，故函数f(x)＝log2 022(2 022x－1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是.
答案：
15．某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为________．(注：利润率＝(销售价格－成本)÷成本)
解析： 设商品的原价为x元，成本为y元，则0.7x＝(1＋0.47)y，∴x＝2.1y.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为0.5x＝0.5×2.1y＝1.05y，利润率为－1＝0.05＝5%.
答案： 5%
16．函数y＝f(x)的图象与函数y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则函数g(x)＝f(20－8x－x2)的单调递减区间是________，g(x)的最大值为________．
解析： 由已知得，f(x)＝ln x，g(x)＝ln (20－8x－x2)，
由20－8x－x2>0，
即x2＋8x－20<0，
得－10由u＝20－8x－x2在[－4，＋∞)上单调递减，
得g(x)在[－4，2)上单调递减．
g(x)max＝g(－4)＝f(36)＝ln 36＝2ln 6.
答案： [－4，2) 2ln 6
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值．
(1)(ln 5)0＋()0.5＋－2log42；
(2)log21－lg 3log32－lg 5.
解析： (1)∵(ln 5)0＝1，()0.5＝()2×＝.
＝|1－|＝－1.
2log42＝(4)log42＝4log42＝4log4＝.
∴原式＝1＋＋－1－＝.
(2)原式＝0－lg 3·－lg 5
＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝－1.
18．(本小题满分12分)在①[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)，②[g(x)]2－[f(x)]2＝1，③f(x)g(x)＝f(2x)这三个性质中任选一个，补充在下面的命题中，并判断命题的真假．若命题为真，请写出证明过程；若命题为假，请说明理由．
命题：若设函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)与g(x)满足性质________．
注：如果选择多个性质分别解答，按第一个解答计分．
解析： 若选①，命题为真命题．
证明：[g(x)]2＋[f(x)]2＝()2＋()2＝＋
＝＝g(2x)，
所以[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)成立．
若选②，命题为真命题．
证明：[g(x)]2－[f(x)]2＝()2－()2
＝－＝＝1，
所以[g(x)]2－[f(x)]2＝1成立．
若选③，命题为真命题．
证明：f(x)g(x)＝·＝，
f(2x)＝·＝，
所以f(x)g(x)＝f(2x)成立．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
解析： (1)先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1].
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0).
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
解析： (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.
(2)①当a＝0时，2x－2＝0得x＝1，符合题意．
②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)·，则x1＝1，x2＝－，
由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，则－≥1或－≤0，解得－1≤a<0或a≤－2，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0].
21．(本小题满分12分)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
(2)若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
解析： (1)因为loga3>loga2，
所以f(x)＝logax在[a，3a]上单调递增．
又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，
即loga3＝1，所以a＝3.
(2)函数y＝(log3x)2－log3＋2
＝(log3x)2－log3x＋2
＝(log3x－)2＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，
即0≤t≤1.
所以y＝(t－)2＋∈[，]，
所以所求函数的值域为[，].
22．(本小题满分12分)中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分).
x(单位：克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．
解析： (1)当0≤x<6时，由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题中表格数据可得
解得
所以当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x.
当x≥6时，f(x)＝，
由题中表格数据可得，f(9)＝＝，解得t＝7，
所以当x≥6时，f(x)＝.
综上，f(x)＝
(2)当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4；
当x≥6时，f(x)＝单调递减，
所以f(x)的最大值为f(6)＝＝3，
因为4>3，
所以函数f(x)的最大值为4.章末综合提升
素养一 数学运算
数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，形成程序化思维．数学运算在本章中主要体现在以下两个方面：(1)指数、对数的运算；(2)函数的零点．
题型一 指数与对数的运算
1．计算：()－＋log2(log216)＝________．
2．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．
3．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2×lg 500－lg －log29×log32.
(2)log20.25＋ln＋24·log23＋lg 4＋2lg 5－.
题型二 函数的零点
4．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．函数f(x)＝2x－＋a的一个零点在区间(2，4)内，则实数a的取值范围是( )
A．(－12，1) B．(－12，－1)
C．(－15，－2) D．(－15，－1)
素养二 逻辑推理
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．逻辑推理在本章中体现在下列两个方面：(1)基本初等函数的性质及应用；(2)函数零点所在区间的判断．
题型三 指数函数、对数函数的性质
6．若a＝log2.10.6，b＝2.10.6，c＝log0.50.6，则a，b，c大小关系是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
7．函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．(4，＋∞)
8．已知函数f(x)＝2|x|，且f(log2m)>f(2)，则实数m的取值范围为( )
A．(4，＋∞) B．
C．∪(4，＋∞) D．∪(4，＋∞)
题型四 函数零点、方程的根所在区间的判断
9．函数f(x)＝x－4·()x的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
10．若x0是函数f(x)＝－ln x的零点，则( )
A．－1C．1素养三 直观想象
直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．直观想象在本章中体现在基本初等函数图象的识别及应用．
题型五 函数的图象
11．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等实数根，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(1，＋∞) D．(0，1]
13．已知函数f(x)＝方程f(x)·[f(x)－b]＝0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
素养四 数学建模
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．根据具体问题，选择合适的数学模型解决实际问题，突出体现了数学建模这一核心素养．
题型六 函数的应用
14．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
15．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A的饮料销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．
单元综合评价(四) 指数函数与对数函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．化简 的结果为( )
A．－ B．
C．－ D．
2．函数y＝＋lg (5－3x)的定义域是( )
A． B．
C． D．
3．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．[－2，－1] D．[－1，0]
4．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A．mC．p5．函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是( )
A．(－1，1] B．(－∞，1)
C．[1，3) D．(1，＋∞)
6．函数f(x)＝2loga(x－1)(a>0，且a≠1)的图象恒过点(m，n)，则在平面直角坐标系中，函数g(x)＝()|x＋1|的大致图象为( )
7．已知0A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于任意给定的两个非负数a，b(a>b)，不等式af(a)f(1)的解集为( )
A．(，1) B．(，e)
C．(0，e) D．(e，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是( )
A．a＝8 B．f(0)＝－3
C．f ＝2 D．a＝4
10．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x B．y＝log2x
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
11．若函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是增函数
C．函数y＝f(x)的图象为中心对称图形
D．函数y＝f(x)的图象为轴对称图形
12．下列结论中正确的是( )
A．函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到
B．函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称
C．方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1，3}
D．函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(2)等于________．
14．函数f(x)＝log2 022(2 022x－1)的单调增区间是________．
15．某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为________．(注：利润率＝(销售价格－成本)÷成本)
16．函数y＝f(x)的图象与函数y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则函数g(x)＝f(20－8x－x2)的单调递减区间是________，g(x)的最大值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值．
(1)(ln 5)0＋()0.5＋－2log42；
(2)log21－lg 3log32－lg 5.
18．(本小题满分12分)在①[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)，②[g(x)]2－[f(x)]2＝1，③f(x)g(x)＝f(2x)这三个性质中任选一个，补充在下面的命题中，并判断命题的真假．若命题为真，请写出证明过程；若命题为假，请说明理由．
命题：若设函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)与g(x)满足性质________．
注：如果选择多个性质分别解答，按第一个解答计分．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0).
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
(2)若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
22．(本小题满分12分)中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分).
x(单位：克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．单元综合评价(四) 指数函数与对数函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．化简 的结果为( )
A．－ B．
C．－ D．
A [要使式子有意义，只需－x3>0，即x<0，
所以＝＝－.]
2．函数y＝＋lg (5－3x)的定义域是( )
A． B．
C． D．
C [由题意得即∴1≤x<.]
3．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．[－2，－1] D．[－1，0]
D [∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1＝－<0，f(0)＝30－02＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0，∴有零点的区间是[－1，0].]
4．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A．mC．pC [∵m＝0.95.1<0.90＝1，∴m∈(0，1)；又n＝5.10.9>5.10＝1，∴n∈(1，＋∞)；∵p＝log0.95.15．函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是( )
A．(－1，1] B．(－∞，1)
C．[1，3) D．(1，＋∞)
C [由题意得－x2＋2x＋3>0，即x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，解得－1即函数的定义域为(－1，3)，
令g(x)＝－x2＋2x＋3，则函数g(x)的图象为开口向下，对称轴为直线x＝1的抛物线，
所以函数g(x)在区间(－1，1]上单调递增，在区间[1，3)上单调递减，
易知函数y＝logx在定义域上是减函数，由复合函数的单调性可得函数y＝log(－x2＋2x＋3)的递增区间为[1，3).故选C．]
6．函数f(x)＝2loga(x－1)(a>0，且a≠1)的图象恒过点(m，n)，则在平面直角坐标系中，函数g(x)＝()|x＋1|的大致图象为( )
B [由题意，易知函数f(x)的图象过定点(2，0)，即m＝2，n＝0，故g(x)＝()|x＋1|，其图象关于直线x＝－1对称，当x>－1时，g(x)＝()|x＋1|＝()x＋1单调递减，根据对称性，知当x<－1时，g(x)＝()|x＋1|＝()－x－1单调递增．故选B．]
7．已知0A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
A [分别作出函数y＝a|x|和y＝|logax|的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根．故选A．]
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于任意给定的两个非负数a，b(a>b)，不等式af(a)f(1)的解集为( )
A．(，1) B．(，e)
C．(0，e) D．(e，＋∞)
C [设g(x)＝x·f(x)，则g(x)是R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，从而g(x)在R上单调递减，则(ln x)f(ln x)>f(1) ln x<1＝ln e 0二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是( )
A．a＝8 B．f(0)＝－3
C．f ＝2 D．a＝4
AC [因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f ＝8＝2.]
10．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x B．y＝log2x
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
AD [A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符．]
11．若函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是增函数
C．函数y＝f(x)的图象为中心对称图形
D．函数y＝f(x)的图象为轴对称图形
ABC [函数f(x)的定义域是(－2，2).
f(－x)＝ln (2－x)－ln (2＋x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，选项A，C正确，选项D不正确；
由于f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)在(－2，2)为增函数，选项B正确．故选ABC．]
12．下列结论中正确的是( )
A．函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到
B．函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称
C．方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1，3}
D．函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数
AD [对于A，y＝ax＋2的图象可由y＝ax(a>0且a≠1)的图象向上平移2个单位得到，A正确；对于B，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，B错误；对于C，由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得
∴∴x＝3，C错误；对于D，设f(x)＝1n(1＋x)－ln (1－x)，定义域为(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，D正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(2)等于________．
解析： 易得f(0)＋f(2)＝＋log2＝2＋(－1)＝1.
答案： 1
14．函数f(x)＝log2 022(2 022x－1)的单调增区间是________．
解析： 因为y＝log2 022x与y＝2 022x－1均为增函数，故函数f(x)＝log2 022(2 022x－1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是.
答案：
15．某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为________．(注：利润率＝(销售价格－成本)÷成本)
解析： 设商品的原价为x元，成本为y元，则0.7x＝(1＋0.47)y，∴x＝2.1y.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为0.5x＝0.5×2.1y＝1.05y，利润率为－1＝0.05＝5%.
答案： 5%
16．函数y＝f(x)的图象与函数y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则函数g(x)＝f(20－8x－x2)的单调递减区间是________，g(x)的最大值为________．
解析： 由已知得，f(x)＝ln x，g(x)＝ln (20－8x－x2)，
由20－8x－x2>0，
即x2＋8x－20<0，
得－10由u＝20－8x－x2在[－4，＋∞)上单调递减，
得g(x)在[－4，2)上单调递减．
g(x)max＝g(－4)＝f(36)＝ln 36＝2ln 6.
答案： [－4，2) 2ln 6
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值．
(1)(ln 5)0＋()0.5＋－2log42；
(2)log21－lg 3log32－lg 5.
解析： (1)∵(ln 5)0＝1，()0.5＝()2×＝.
＝|1－|＝－1.
2log42＝(4)log42＝4log42＝4log4＝.
∴原式＝1＋＋－1－＝.
(2)原式＝0－lg 3·－lg 5
＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝－1.
18．(本小题满分12分)在①[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)，②[g(x)]2－[f(x)]2＝1，③f(x)g(x)＝f(2x)这三个性质中任选一个，补充在下面的命题中，并判断命题的真假．若命题为真，请写出证明过程；若命题为假，请说明理由．
命题：若设函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)与g(x)满足性质________．
注：如果选择多个性质分别解答，按第一个解答计分．
解析： 若选①，命题为真命题．
证明：[g(x)]2＋[f(x)]2＝()2＋()2＝＋
＝＝g(2x)，
所以[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)成立．
若选②，命题为真命题．
证明：[g(x)]2－[f(x)]2＝()2－()2
＝－＝＝1，
所以[g(x)]2－[f(x)]2＝1成立．
若选③，命题为真命题．
证明：f(x)g(x)＝·＝，
f(2x)＝·＝，
所以f(x)g(x)＝f(2x)成立．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
解析： (1)先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1].
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0).
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
解析： (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.
(2)①当a＝0时，2x－2＝0得x＝1，符合题意．
②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)·，则x1＝1，x2＝－，
由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，则－≥1或－≤0，解得－1≤a<0或a≤－2，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0].
21．(本小题满分12分)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
(2)若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
解析： (1)因为loga3>loga2，
所以f(x)＝logax在[a，3a]上单调递增．
又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，
即loga3＝1，所以a＝3.
(2)函数y＝(log3x)2－log3＋2
＝(log3x)2－log3x＋2
＝(log3x－)2＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，
即0≤t≤1.
所以y＝(t－)2＋∈[，]，
所以所求函数的值域为[，].
22．(本小题满分12分)中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分).
x(单位：克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．
解析： (1)当0≤x<6时，由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题中表格数据可得
解得
所以当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x.
当x≥6时，f(x)＝，
由题中表格数据可得，f(9)＝＝，解得t＝7，
所以当x≥6时，f(x)＝.
综上，f(x)＝
(2)当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4；
当x≥6时，f(x)＝单调递减，
所以f(x)的最大值为f(6)＝＝3，
因为4>3，
所以函数f(x)的最大值为4.单元综合评价(四) 指数函数与对数函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．化简 的结果为( )
A．－ B．
C．－ D．
2．函数y＝＋lg (5－3x)的定义域是( )
A． B．
C． D．
3．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．[－2，－1] D．[－1，0]
4．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A．mC．p5．函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是( )
A．(－1，1] B．(－∞，1)
C．[1，3) D．(1，＋∞)
6．函数f(x)＝2loga(x－1)(a>0，且a≠1)的图象恒过点(m，n)，则在平面直角坐标系中，函数g(x)＝()|x＋1|的大致图象为( )
7．已知0A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于任意给定的两个非负数a，b(a>b)，不等式af(a)f(1)的解集为( )
A．(，1) B．(，e)
C．(0，e) D．(e，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是( )
A．a＝8 B．f(0)＝－3
C．f ＝2 D．a＝4
10．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x B．y＝log2x
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
11．若函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是增函数
C．函数y＝f(x)的图象为中心对称图形
D．函数y＝f(x)的图象为轴对称图形
12．下列结论中正确的是( )
A．函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到
B．函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称
C．方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1，3}
D．函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(2)等于________．
14．函数f(x)＝log2 022(2 022x－1)的单调增区间是________．
15．某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为________．(注：利润率＝(销售价格－成本)÷成本)
16．函数y＝f(x)的图象与函数y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则函数g(x)＝f(20－8x－x2)的单调递减区间是________，g(x)的最大值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值．
(1)(ln 5)0＋()0.5＋－2log42；
(2)log21－lg 3log32－lg 5.
18．(本小题满分12分)在①[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)，②[g(x)]2－[f(x)]2＝1，③f(x)g(x)＝f(2x)这三个性质中任选一个，补充在下面的命题中，并判断命题的真假．若命题为真，请写出证明过程；若命题为假，请说明理由．
命题：若设函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)与g(x)满足性质________．
注：如果选择多个性质分别解答，按第一个解答计分．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0).
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
(2)若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
22．(本小题满分12分)中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分).
x(单位：克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．