(共35张PPT)
第四章
指数函数与对数函数
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（三十九）
谢谢观看！
画图
根据原始数据、表格，绘出散点图
通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线
画线
即拟合直线或拟合曲线
选求
根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线
函数
的函数解析式
利用函数解析式，根据条件对所给问题提出问
解题
题预测和控制，为决策和管理提供依据
S木
2300
2200
2100
2000
0
1
2
3
4
多4.5.3 函数模型的应用
[学习目标] 1.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的.2.感悟数学模型中参数的现实意义．
知识点 几种常见的函数模型
几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1).若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
即时练1.下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为( )
x －2 －1 0 1 2
y 1 4 16
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
应用1 已知函数模型解决实际问题
(链接教材P148例3)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算．
即时练2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
应用2 构建函数模型解决实际问题
(链接教材P149例4)某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0(1)求x的值；
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题的已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
即时练3.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，假设这50年内，冰雪覆盖面积每年减少的百分比是一样的．按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
应用3 拟合函数模型的选取
(链接教材P152例6)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x—4|(x≥1)，g(x)＝(x—4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
(1)问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60.
建立拟合函数与预测的基本步骤
即时练4.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋B．你认为最适合的函数模型的序号是________．
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知强度为x的声音对应的等级为f(x) dB时，有f(x)＝10lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音约为60 dB．计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的多少倍．
课时作业(三十九) 函数模型的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，从1岁到16岁的年龄x(单位：岁)与身高y(单位：米)的图象如图所示，则该关系较适宜的函数模型为( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋logbx
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋b
2．某商场2019年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
时间t 1 2 3 4
利润y(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝log2t B．y＝2t
C．y＝t2 D．y＝2t
3．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent(a≠0).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
4．(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
5．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．
6．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
7．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
8．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝a lg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
9．2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
x 8 9 10 11
f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝()x＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为( )
A．28元/斤 B．25元/斤
C．23元/斤 D．21元/斤
10．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增长20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
十年内方案________可以得到较多的木材．
11．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，其呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(n∈N＋)年的材料费、维修费、人工工资等共为(n2＋5n)万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；
③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值．4.5.3 函数模型的应用
[学习目标] 1.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的.2.感悟数学模型中参数的现实意义．
知识点 几种常见的函数模型
几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1).若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
A [由题意可得a＝100.当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]
即时练1.下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为( )
x －2 －1 0 1 2
y 1 4 16
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
C [表中数据体现爆炸式增长，符合的函数模型为指数函数模型．]
应用1 已知函数模型解决实际问题
(链接教材P148例3)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
解析： (1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s).
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，
即log3－log3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算．
即时练2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
解析： 先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×，
即＝，
解得h＝10，
故原式可化简为T－24＝(88－24)×，
当T＝32时，代入上式，
应用2 构建函数模型解决实际问题
(链接教材P149例4)某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0(1)求x的值；
(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？
解析： (1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0(2)设从今年开始，还需治理n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n，
令a(1－x)n≤a，即(1－x)n≤，
()≤()，≥，
解得n≥15，
故至少还需治理15年．
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题的已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
即时练3.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，假设这50年内，冰雪覆盖面积每年减少的百分比是一样的．按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
A [设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.95，∴q%＝0.95，
即x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y＝0.95·m.]
应用3 拟合函数模型的选取
(链接教材P152例6)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x—4|(x≥1)，g(x)＝(x—4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
(1)问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60.
解析： (1)选用h(x)模拟比较合理，理由如下：
计算各函数对应各月份污染度得下表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
f(x) 60 40 20 0 …
g(x) 60 26.7 6.7 0 …
h(x) 60 30 12.45 0 …
从上表可知，函数h(x)模拟比较合理，故选择h(x)作为模拟函数．
(2)令h(x)≤60，得|log2x—2|≤2，
得0≤log2x≤4，解得1≤x≤16，
所以，整治后有16个月的污染度不超过60.
建立拟合函数与预测的基本步骤
即时练4.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋B．你认为最适合的函数模型的序号是________．
解析： 若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得即解得
经检验是最适合的函数模型．
答案： ①
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
A [由题图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]
2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B [由题意可知，洗x次后存留的污垢为y＝，
令≤，解得x≥≈3.32，
因此至少要洗4次．]
3．已知强度为x的声音对应的等级为f(x) dB时，有f(x)＝10lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音约为60 dB．计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的多少倍．
解析： f(x)＝10lg ＝10(lg x＋12).
当f(x)＝140时，10(lg x＋12)＝140，所以x＝100.
当f(x)＝60时，10(lg x＋12)＝60，所以x＝10－6.
＝108，
所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的108倍．
课时作业(三十九) 函数模型的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，从1岁到16岁的年龄x(单位：岁)与身高y(单位：米)的图象如图所示，则该关系较适宜的函数模型为( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋logbx
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋b
B [根据图象可知，较适宜的函数模型为y＝a＋logbx，故选B．]
2．某商场2019年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
时间t 1 2 3 4
利润y(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝log2t B．y＝2t
C．y＝t2 D．y＝2t
B [作出散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B．]
3．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent(a≠0).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
A [因为注水过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
所以ae5n＝a，解得n＝－ln 2.
设k min后甲桶水量为 L，
所以aenk＝ae－k·ln 2＝，
即－k·ln 2＝－2ln 2，解得k＝10.
所以m＝10－5＝5.故选A．]
4．(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
ABD [图象过(1，2)点，∴2＝a1，即a＝2，
∴y＝2t.
∵＝＝1，
∴每月的增长率为1，A正确．
当t＝5时，y＝25＝32>30，∴B正确．
∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．
∵2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，
∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，
∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选ABD．]
5．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．
解析： 设彩电的原价为a元，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元.
答案： 2 250
6．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
解析： 由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
答案： 2ln 2 1 024
7．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
解析： 若用函数y＝ax＋b(a≠0)模拟，取(1，50)，(2，52)，
则有得
∴y＝2x＋48.
当x＝3时，y＝54.
若用函数y＝ax＋b模拟，取(1，50)，(2，52)，
则有得∴y＝2x＋48.
当x＝3时，y＝56.
由题知3月份的产量为53.9千件，
因此用函数y＝2x＋48模拟的估计误差较小，故用函数y＝ax＋b模拟比较好．
8．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝a lg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
解析： (1)因为D1＋2D2＝3D3，
所以alg I1＋b＋2(alg I2＋b)＝3(alg I3＋b)，
所以lg I1＋2lg I2＝3lg I3，所以I1·I＝I.
(2)由题意得
所以
所以100<10lg I＋160<120，
所以10－6当声音能量I∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．
[能力提升]
9．2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
x 8 9 10 11
f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝()x＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为( )
A．28元/斤 B．25元/斤
C．23元/斤 D．21元/斤
A [第二组数据近似为(9，34)，第四组数据近似为(11，34)，
根据四组数据(8，28)，(9，34)，(10，36)，(11，34)，可得f(x)的图象先增后减，
而f(x)＝bx＋a和f(x)＝()x＋a都是单调函数，故不符合要求，
所以选f(x)＝ax2＋bx＋C．
由第二组数据(9，34)和第四组数据(11，34)，
可得f(x)的图象关于直线x＝10对称，
故x＝12时，f(12)＝f(8)＝28.故选A．]
10．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增长20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
十年内方案________可以得到较多的木材．
解析： 设最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4A．
乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98A．
y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得较多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算).
答案： 乙
11．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，其呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(n∈N＋)年的材料费、维修费、人工工资等共为(n2＋5n)万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
解析： (1)由题意得：f(n)＝55n－90－(n2＋5n)＝－n2＋50n－90.
由f(n)>0，得－n2＋50n－90>0，即n2－20n＋36<0，解得2由于n∈N＋，故该企业从第3年开始盈利；
(2)方案一：总盈利额f(n)＝－(n－10)2＋160，当n＝10时，f(n)max＝160.
故方案一总利润160＋10＝170，此时n＝10；
方案二：每年平均利润＝50－(n＋)≤50－×2＝20，当且仅当n＝6时等号成立．故方案二总利润6×20＋50＝170，此时n＝6.
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．
12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；
③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值．
解析： (1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋B．从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|
＝
所以f(x)＝P(x)·Q(x)
＝
当1≤x<25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元．课时作业(三十九) 函数模型的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，从1岁到16岁的年龄x(单位：岁)与身高y(单位：米)的图象如图所示，则该关系较适宜的函数模型为( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋logbx
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋b
B [根据图象可知，较适宜的函数模型为y＝a＋logbx，故选B．]
2．某商场2019年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
时间t 1 2 3 4
利润y(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝log2t B．y＝2t
C．y＝t2 D．y＝2t
B [作出散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B．]
3．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent(a≠0).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
A [因为注水过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
所以ae5n＝a，解得n＝－ln 2.
设k min后甲桶水量为 L，
所以aenk＝ae－k·ln 2＝，
即－k·ln 2＝－2ln 2，解得k＝10.
所以m＝10－5＝5.故选A．]
4．(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
ABD [图象过(1，2)点，∴2＝a1，即a＝2，
∴y＝2t.
∵＝＝1，
∴每月的增长率为1，A正确．
当t＝5时，y＝25＝32>30，∴B正确．
∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．
∵2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，
∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，
∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选ABD．]
5．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．
解析： 设彩电的原价为a元，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元.
答案： 2 250
6．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
解析： 由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
答案： 2ln 2 1 024
7．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
解析： 若用函数y＝ax＋b(a≠0)模拟，取(1，50)，(2，52)，
则有得
∴y＝2x＋48.
当x＝3时，y＝54.
若用函数y＝ax＋b模拟，取(1，50)，(2，52)，
则有得∴y＝2x＋48.
当x＝3时，y＝56.
由题知3月份的产量为53.9千件，
因此用函数y＝2x＋48模拟的估计误差较小，故用函数y＝ax＋b模拟比较好．
8．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝a lg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
解析： (1)因为D1＋2D2＝3D3，
所以alg I1＋b＋2(alg I2＋b)＝3(alg I3＋b)，
所以lg I1＋2lg I2＝3lg I3，所以I1·I＝I.
(2)由题意得
所以
所以100<10lg I＋160<120，
所以10－6当声音能量I∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．
[能力提升]
9．2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
x 8 9 10 11
f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝()x＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为( )
A．28元/斤 B．25元/斤
C．23元/斤 D．21元/斤
A [第二组数据近似为(9，34)，第四组数据近似为(11，34)，
根据四组数据(8，28)，(9，34)，(10，36)，(11，34)，可得f(x)的图象先增后减，
而f(x)＝bx＋a和f(x)＝()x＋a都是单调函数，故不符合要求，
所以选f(x)＝ax2＋bx＋C．
由第二组数据(9，34)和第四组数据(11，34)，
可得f(x)的图象关于直线x＝10对称，
故x＝12时，f(12)＝f(8)＝28.故选A．]
10．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增长20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
十年内方案________可以得到较多的木材．
解析： 设最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4A．
乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98A．
y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得较多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算).
答案： 乙
11．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，其呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(n∈N＋)年的材料费、维修费、人工工资等共为(n2＋5n)万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
解析： (1)由题意得：f(n)＝55n－90－(n2＋5n)＝－n2＋50n－90.
由f(n)>0，得－n2＋50n－90>0，即n2－20n＋36<0，解得2由于n∈N＋，故该企业从第3年开始盈利；
(2)方案一：总盈利额f(n)＝－(n－10)2＋160，当n＝10时，f(n)max＝160.
故方案一总利润160＋10＝170，此时n＝10；
方案二：每年平均利润＝50－(n＋)≤50－×2＝20，当且仅当n＝6时等号成立．故方案二总利润6×20＋50＝170，此时n＝6.
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．
12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；
③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值．
解析： (1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋B．从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|
＝
所以f(x)＝P(x)·Q(x)
＝
当1≤x<25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元．课时作业(三十九) 函数模型的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，从1岁到16岁的年龄x(单位：岁)与身高y(单位：米)的图象如图所示，则该关系较适宜的函数模型为( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋logbx
C．y＝a·bx D．y＝ax2＋b
2．某商场2019年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
时间t 1 2 3 4
利润y(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝log2t B．y＝2t
C．y＝t2 D．y＝2t
3．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent(a≠0).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
4．(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
5．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．
6．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
7．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
8．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝a lg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
9．2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
x 8 9 10 11
f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝()x＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为( )
A．28元/斤 B．25元/斤
C．23元/斤 D．21元/斤
10．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增长20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
十年内方案________可以得到较多的木材．
11．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，其呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(n∈N＋)年的材料费、维修费、人工工资等共为(n2＋5n)万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；
③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值．
