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第四章
指数函数与对数函数
f(x)＝0
f(a)f(b)<0
至少有一个
存在c∈(a，b)
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（三十七）
谢谢观看！
个y
5
4
3
2
1
A
4-3-2
2345x
21
-24．5.1 函数的零点与方程的解
[学习目标] 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
知识点一 函数的零点
[问题导引] 观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
结合上述问题，方程的根与对应函数的图象有什么关系？
提示： 方程f(x)＝0的根与函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等．
1．概念：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
[点拨] (1)函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0).
(2)并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点．
(3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
解析： (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3A．
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－.
根据函数解析式求函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[注意] 几何法常用来判断函数零点个数．
即时练1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1).
解析： (1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.
所以函数f(x)的零点为－2.
(2)令＝0，解得x＝1.
所以函数f(x)的零点为1.
(3)令4x＋5＝0，
则4x＝－5<0，而4x>0，
所以方程4x＋5＝0无实数根．
所以函数f(x)不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数f(x)的零点为0.
知识点二 函数零点存在定理
[问题导引] 观察函数f(x)的图象：
(1)在区间(a，b)上________(填“有”或“无”)零点；f(a)·f(b)________0(填“>”或“<”).
(2)在区间(b，c)上________(填“有”或“无”)零点；f(b)·f(c)________0(填“>”或“<”).
(3)在区间(c，d)上________(填“有”或“无”)零点；f(c)·f(d)________0(填“>”或“<”).
提示： (1)有 < (2)有 < (3)有 <
1．条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0；
2．结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
f(x)＝2x＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
C [法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，
∴f(x)在(0，1)内有零点．
法二：2x＋x－2＝0，即2x＝2－x，所以原函数的零点所在区间即为函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝2x和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1).]
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值；
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数．则在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则在该区间内至少有一个零点．
即时练2.(2021·北京门头沟区高一期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4
f(x) 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
C [由表可知f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，
f(3)f(4)>0，
由零点存在定理可知f(x)一定存在零点的区间是(2，3).故选C．]
即时练3.设函数f(x)＝－log2x，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，＋∞)
B [由题得f(1)＝1－0＝1>0，f(2)＝－1＝－<0，所以f(1)f(2)<0，又因为函数是(0，＋∞)上的连续函数，由零点存在定理得函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B．]
应用1 函数零点个数的判断
(链接教材P143例1)(1)函数y＝x－的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．无数
(2)函数f(x)＝x－logx的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．无数
解析： (1)函数y＝x－的零点个数是方程x－＝0的解的个数，可得x2－4＝0，
解得x＝±2.所以函数的零点有2个．故选C．
(2)函数f(x)＝x－logx的零点个数，就是函数y＝x与y＝logx的图象的交点个数，如图，可知函数的图象只有一个交点．函数f(x)＝x－logx的零点个数为1.故选B．
答案： (1)C (2)B
判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．
即时练4.函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.]
即时练5.实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)的定义域中的三个数，且满足a
A．2 B．奇数 C．偶数 D．至少是2
D [由函数零点存在定理得，y＝f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点，
在(b，c)上至少有一个零点，而f(b)≠0，所以y＝f(x)在区间(a，c)上至少有2个零点．故选D．]
应用2 根据零点情况求参数范围(应用型)
函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
C [易知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以所以0已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
即时练6.已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若 x0∈(－1，1)，f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－3，1) D．(1，＋∞)
A [当a＝0时，f(x)＝3，不合题意，当a≠0时，由题意知f(－1)·f(1)<0，即(－3a＋3)(a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A．]
1．函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是( )
A．(0，4) B．(4，0)
C．4 D．8
C [由f(x)＝x2－8x＋16＝0，得x＝4，所以函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是4，故选C．]
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.]
3．函数f(x)＝x3－x2－4x的一个零点所在区间为( )
A．(－2，0) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
A [f(x)＝x3－x2－4x＝x(x2－x－4).令g(x)＝x2－x－4，
结合g(0)＝－4<0，g(－2)＝2>0，以及函数零点存在定理得出f(x)＝x3－x2－4x的一个零点所在区间为(－2，0).故选A．]
4．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.若函数y＝f(x)在[－1，1]上存在零点，求a的取值范围．
解析： 因为函数f(x)＝x2－4x＋a＋3的图象的对称轴是直线x＝2，所以y＝f(x)在[－1，1]上是减函数，又函数y＝f(x)在[－1，1]上存在零点，所以即解得－8≤a≤0.故a的取值范围为[－8，0].
课时作业(三十七) 函数的零点与方程的解
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝|x| B．y＝2x2－3
C．y＝x3－x D．y＝
C [对于选项A，y＝|x|是偶函数，与题意不符；对于选项B，y＝2x2－3是偶函数，与题意不符；对于选项C，y＝x3－x是奇函数，且存在零点x＝－1，0，1与题意相符；对于选项D，y＝是奇函数，但不存在零点，与题意不符．故选C．]
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B [由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．]
3．函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2)
A [f(－2)＝－5，f(－1)＝1，f(0)＝1，f(1)＝1，f(2)＝7.因为f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)>0，f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，所以函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(－2，－1)，故选A．]
4．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．a>1 B．a<1
C．a<－1或a>1 D．－1C [函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则f(－1)·f(1)<0，即(1－a)·(1＋a)<0，解得a<－1或a>1，故选C．]
5．(多选)下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝2x－1的零点为0
C．函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点即方程f(x)＝0的实数根
BD [函数的零点是数，不是点，A错误；由2x－1＝0，得x＝0，B正确；函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，是函数f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标，D正确，C错误．故选BD．]
6．函数f(x)＝的零点是________．
解析： 由f(x)＝＝x＋2＝0，
解得x＝－2，所以f(x)的零点是－2.
答案： －2
7．若二次函数f(x)＝x2－12x＋36的零点在区间(2a－1，2a＋5)上，则实数a的取值范围是________．
解析： 函数f(x)＝x2－12x＋36的零点是6，由2a－1<6<2a＋5知答案： (，)
8．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析： ∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－.
答案： 1和－
9．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
解析： (1)令(lg x)2－lg x＝0，则
lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，
∴x＝1或x＝10.
因此函数f(x)的零点是1，10.
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)有3个零点，分别为－1，1，2.
10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
解析： 有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝20－02＝1>0，
且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，
所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，
即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
[能力提升]
11．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点( )
A．只有一个 B．只有两个
C．至少有两个 D．无法判断
B [因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.故函数f(x)只有两个零点－2和2.]
12．(多选)已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，若f(a)·f(b)<0，则在区间[a，b]上( )
A．方程f(x)＝0没有实数根
B．方程f(x)＝0至多有一个实数根
C．若函数f(x)单调，则f(x)＝0必有唯一的实数根
D．若函数f(x)不单调，则f(x)＝0至少有一个实数根
CD [由函数零点存在定理，知函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，所以若函数f(x)不单调，则f(x)＝0至少有一个实数根，若函数f(x)单调，则函数f(x)必有唯一的零点，即f(x)＝0必有唯一的实数根，故选CD．]
13．方程lg x＋x－1＝0有________个实数根．
解析： 由原方程得lg x＝－x＋1，问题转化为函数y＝lg x的图象与函数y＝－x＋1的图象交点的个数．作出相应函数的图象，如图．由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个实数根．
答案： 1
14．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，b＝________．
解析： ∵函数f(x)＝3x＋x－5，∴f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)f(2)<0，且函数f(x)在R上单调递增，∴f(x)的零点x0在区间[1，2]内．∴a＝1，b＝2.
答案： 1 2
15．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解析： (1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，
另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞).
16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．
解析： (1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)图象如图所示，
单调递增区间：(－∞，－1]，[1，＋∞)；单调递减区间：(－1，1).
(3)因为方程f(x)＝m有三个不同的解，
由图象可知，－1即m∈(－1，1).4．5.1 函数的零点与方程的解
[学习目标] 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
知识点一 函数的零点
[问题导引] 观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
结合上述问题，方程的根与对应函数的图象有什么关系？
提示： 方程f(x)＝0的根与函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等．
1．概念：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
根据函数解析式求函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[注意] 几何法常用来判断函数零点个数．
即时练1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1).
知识点二 函数零点存在定理
[问题导引] 观察函数f(x)的图象：
(1)在区间(a，b)上________(填“有”或“无”)零点；f(a)·f(b)________0(填“>”或“<”).
(2)在区间(b，c)上________(填“有”或“无”)零点；f(b)·f(c)________0(填“>”或“<”).
(3)在区间(c，d)上________(填“有”或“无”)零点；f(c)·f(d)________0(填“>”或“<”).
1．条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0；
2．结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
f(x)＝2x＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值；
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数．则在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则在该区间内至少有一个零点．
即时练2.(2021·北京门头沟区高一期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4
f(x) 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
即时练3.设函数f(x)＝－log2x，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，＋∞)
应用1 函数零点个数的判断
(链接教材P143例1)(1)函数y＝x－的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．无数
(2)函数f(x)＝x－logx的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．无数
判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．
即时练4.函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
即时练5.实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)的定义域中的三个数，且满足aA．2 B．奇数 C．偶数 D．至少是2
应用2 根据零点情况求参数范围(应用型)
函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
即时练6.已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若 x0∈(－1，1)，f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－3，1) D．(1，＋∞)
1．函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是( )
A．(0，4) B．(4，0)
C．4 D．8
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
3．函数f(x)＝x3－x2－4x的一个零点所在区间为( )
A．(－2，0) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
4．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.若函数y＝f(x)在[－1，1]上存在零点，求a的取值范围．
课时作业(三十七) 函数的零点与方程的解
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝|x| B．y＝2x2－3
C．y＝x3－x D．y＝
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间 上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2)
4．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．a>1 B．a<1
C．a<－1或a>1 D．－1
5．(多选)下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1，x∈ 的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝2x－1的零点为0
C．函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点即方程f(x)＝0的实数根
6．函数f(x)＝的零点是________．
7．若二次函数f(x)＝x2－12x＋36的零点在区间(2a－1，2a＋5)上，则实数a的取值范围是________．
8．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
9．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
11．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点( )
A．只有一个 B．只有两个
C．至少有两个 D．无法判断
12．(多选)已知函数f(x)在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，若f(a)·f(b)<0，则在区间 上( )
A．方程f(x)＝0没有实数根
B．方程f(x)＝0至多有一个实数根
C．若函数f(x)单调，则f(x)＝0必有唯一的实数根
D．若函数f(x)不单调，则f(x)＝0至少有一个实数根
13．方程lg x＋x－1＝0有________个实数根．
14．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈ ，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，b＝________．
15．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．课时作业(三十七) 函数的零点与方程的解
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝|x| B．y＝2x2－3
C．y＝x3－x D．y＝
C [对于选项A，y＝|x|是偶函数，与题意不符；对于选项B，y＝2x2－3是偶函数，与题意不符；对于选项C，y＝x3－x是奇函数，且存在零点x＝－1，0，1与题意相符；对于选项D，y＝是奇函数，但不存在零点，与题意不符．故选C．]
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B [由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．]
3．函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2)
A [f(－2)＝－5，f(－1)＝1，f(0)＝1，f(1)＝1，f(2)＝7.因为f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)>0，f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，所以函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(－2，－1)，故选A．]
4．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．a>1 B．a<1
C．a<－1或a>1 D．－1C [函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则f(－1)·f(1)<0，即(1－a)·(1＋a)<0，解得a<－1或a>1，故选C．]
5．(多选)下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝2x－1的零点为0
C．函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点即方程f(x)＝0的实数根
BD [函数的零点是数，不是点，A错误；由2x－1＝0，得x＝0，B正确；函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，是函数f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标，D正确，C错误．故选BD．]
6．函数f(x)＝的零点是________．
解析： 由f(x)＝＝x＋2＝0，
解得x＝－2，所以f(x)的零点是－2.
答案： －2
7．若二次函数f(x)＝x2－12x＋36的零点在区间(2a－1，2a＋5)上，则实数a的取值范围是________．
解析： 函数f(x)＝x2－12x＋36的零点是6，由2a－1<6<2a＋5知答案： (，)
8．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析： ∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－.
答案： 1和－
9．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
解析： (1)令(lg x)2－lg x＝0，则
lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，
∴x＝1或x＝10.
因此函数f(x)的零点是1，10.
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)有3个零点，分别为－1，1，2.
10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
解析： 有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝20－02＝1>0，
且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，
所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，
即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
[能力提升]
11．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点( )
A．只有一个 B．只有两个
C．至少有两个 D．无法判断
B [因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.故函数f(x)只有两个零点－2和2.]
12．(多选)已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，若f(a)·f(b)<0，则在区间[a，b]上( )
A．方程f(x)＝0没有实数根
B．方程f(x)＝0至多有一个实数根
C．若函数f(x)单调，则f(x)＝0必有唯一的实数根
D．若函数f(x)不单调，则f(x)＝0至少有一个实数根
CD [由函数零点存在定理，知函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，所以若函数f(x)不单调，则f(x)＝0至少有一个实数根，若函数f(x)单调，则函数f(x)必有唯一的零点，即f(x)＝0必有唯一的实数根，故选CD．]
13．方程lg x＋x－1＝0有________个实数根．
解析： 由原方程得lg x＝－x＋1，问题转化为函数y＝lg x的图象与函数y＝－x＋1的图象交点的个数．作出相应函数的图象，如图．由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个实数根．
答案： 1
14．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，b＝________．
解析： ∵函数f(x)＝3x＋x－5，∴f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)f(2)<0，且函数f(x)在R上单调递增，∴f(x)的零点x0在区间[1，2]内．∴a＝1，b＝2.
答案： 1 2
15．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解析： (1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，
另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞).
16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．
解析： (1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)图象如图所示，
单调递增区间：(－∞，－1]，[1，＋∞)；单调递减区间：(－1，1).
(3)因为方程f(x)＝m有三个不同的解，
由图象可知，－1即m∈(－1，1).课时作业(三十七) 函数的零点与方程的解
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝|x| B．y＝2x2－3
C．y＝x3－x D．y＝
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间 上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2)
4．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．a>1 B．a<1
C．a<－1或a>1 D．－1
5．(多选)下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1，x∈ 的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝2x－1的零点为0
C．函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点即方程f(x)＝0的实数根
6．函数f(x)＝的零点是________．
7．若二次函数f(x)＝x2－12x＋36的零点在区间(2a－1，2a＋5)上，则实数a的取值范围是________．
8．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
9．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
11．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点( )
A．只有一个 B．只有两个
C．至少有两个 D．无法判断
12．(多选)已知函数f(x)在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，若f(a)·f(b)<0，则在区间 上( )
A．方程f(x)＝0没有实数根
B．方程f(x)＝0至多有一个实数根
C．若函数f(x)单调，则f(x)＝0必有唯一的实数根
D．若函数f(x)不单调，则f(x)＝0至少有一个实数根
13．方程lg x＋x－1＝0有________个实数根．
14．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈ ，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，b＝________．
15．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．