(共35张PPT)
第四章
指数函数与对数函数
增函数
增函数
增函数
y＝kx(k>0)
ax>kx>logax
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（三十六）
谢谢观看！
y
y=2*
8
y=x2
6
4
y=logzx
2
1234
X
-2
AV
I
I
I
1
I
I
I
1
I
1
I
0
H
h
A
B
C
D4．4.3 不同函数增长的差异
[学习目标] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.3.比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
知识点 三种不同函数增长的差异
[实例] 观察函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的图象，思考以下几个问题：
[问题导引1] 三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？
提示： 三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增．
[问题导引2] 当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？
提示： 三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢．
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
[点拨] (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝20x B．y＝x20
C．y＝log20x D．y＝20x
A [比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A．]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度速度介于指数增长速度和对数增长速度之间．
即时练1.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
C [由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数，故选C．]
应用1 几类函数模型的比较
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中的曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小．
解析： (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1x2，
从图象上可以看出当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
所以f(2 021)>g(2 021)；
又因为g(2 021)>g(6)，
所以f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6).
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数，图象呈直线上升的函数是一次函数．
即时练2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．
解析： (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
应用2 函数模型的选择(应用型)
某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解析： 根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
即时练3.为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据：
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面积y/m2 24 36
现有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝mx2＋n(m>0)可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式．
(2)若市环保局在2019年年底投放了11 m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由．
解析： (1)对于函数模型y＝kax，
由已知得
所以y＝×.
对于函数模型y＝mx2＋n，由已知得
所以y＝x2＋.
(2)若用模型y＝×，
则当x＝0时，y1＝，
若用模型y＝x2＋，则当x＝0时，
y2＝.
易知，使用模型y＝×更为合适.
1．下列函数中，随x的增大，y增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
C [结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象(图略)可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.故选C．]
2．(多选)有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型不适合的有( )
A．y＝logax(a>1)
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0)
D．y＝logax＋b(a>1)
ABD [由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数模型增长速度越来越慢，B中的函数模型增长速度保持不变，故选ABD．]
3．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是( )
B [水深h为自变量，随着h的增大， A项中V的增长速度越来越快，C项中先慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢．]
4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
解析： 在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x).
答案： f(x)>g(x)
课时作业(三十六) 不同函数增长的差异
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
B [D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
D [法一：相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛物线拟合程度最好，故选D．
法二：可以采用特殊值代入法，取某个x的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x＝4，经检验易知选D．]
3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
D [法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．
法二：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时以后丁车在最前面，故选D．]
4．(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
ABD [结合指数函数y＝和对数函数y＝logx的图象易得C正确，A、B、D错误．]
5．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元、1 000元、1 500元时，分别选择________方案．
解析： 将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．
答案： 乙、甲、丙
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析： 当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比x ln x增长的要快．
答案： y＝x2
7．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解析： 函数f(x)与g(x)的图象如右．
根据图象易得：当0≤x<4时，
f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)[能力提升]
8．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x
A [如图所示，结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>x>lg x，故选A．]
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C．若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
解析： 由题意设A(n，3n)，B(m，3m)，由9n＝32n＝3m得m＝2n，解得n＝，则C(，3m)，A(，3)，又因为A，B，O三点共线，设直线AB对应的解析式为y＝kx(k>0)，则解得m＝2log32，所以n＝log32.所以点A的坐标为(log32，2).
答案： (log32，2)
10．某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据：
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x 38 40 44 46 48 50 52 56
y 45 55 61 63 65 66 67 68
(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y＝a＋bx与y＝c＋d中哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)若(1)中的a＝7，b＝1.2，c＝4.2，d＝0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z＝200y－x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应为何值？
解析： (1)补齐的图如图所示：
由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选取y＝c＋d更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式．
(2)依题意得：z＝200×(4.2＋0.07)－x(32≤x≤64)，
化简得z＝840＋14－x(32≤x≤64)，
设t＝(4≤t≤8)，
则有z＝－t2＋14t＋840＝－(t－7)2＋889.
故当t＝7即投入的年宣传费x＝49千元时，年利润取到最大值．4．4.3 不同函数增长的差异
[学习目标] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.3.比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
知识点 三种不同函数增长的差异
[实例] 观察函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的图象，思考以下几个问题：
[问题导引1] 三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？
提示： 三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增．
[问题导引2] 当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？
提示： 三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢．
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
[点拨] (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝20x B．y＝x20
C．y＝log20x D．y＝20x
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度速度介于指数增长速度和对数增长速度之间．
即时练1.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
应用1 几类函数模型的比较
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中的曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小．
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数，图象呈直线上升的函数是一次函数．
即时练2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．
应用2 函数模型的选择(应用型)
某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
即时练3.为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据：
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面积y/m2 24 36
现有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝mx2＋n(m>0)可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式．
(2)若市环保局在2019年年底投放了11 m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由．
1．下列函数中，随x的增大，y增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
2．(多选)有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型不适合的有( )
A．y＝logax(a>1)
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0)
D．y＝logax＋b(a>1)
3．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是( )
4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
课时作业(三十六) 不同函数增长的差异
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
5．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元、1 000元、1 500元时，分别选择________方案．
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
7．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
[能力提升]
8．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C．若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
10．某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据：
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x 38 40 44 46 48 50 52 56
y 45 55 61 63 65 66 67 68
(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y＝a＋bx与y＝c＋d中哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)若(1)中的a＝7，b＝1.2，c＝4.2，d＝0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z＝200y－x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应为何值？课时作业(三十六) 不同函数增长的差异
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
B [D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
D [法一：相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛物线拟合程度最好，故选D．
法二：可以采用特殊值代入法，取某个x的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x＝4，经检验易知选D．]
3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
D [法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．
法二：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时以后丁车在最前面，故选D．]
4．(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
ABD [结合指数函数y＝和对数函数y＝logx的图象易得C正确，A、B、D错误．]
5．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元、1 000元、1 500元时，分别选择________方案．
解析： 将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．
答案： 乙、甲、丙
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析： 当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比x ln x增长的要快．
答案： y＝x2
7．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解析： 函数f(x)与g(x)的图象如右．
根据图象易得：当0≤x<4时，
f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)[能力提升]
8．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x
A [如图所示，结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>x>lg x，故选A．]
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C．若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
解析： 由题意设A(n，3n)，B(m，3m)，由9n＝32n＝3m得m＝2n，解得n＝，则C(，3m)，A(，3)，又因为A，B，O三点共线，设直线AB对应的解析式为y＝kx(k>0)，则解得m＝2log32，所以n＝log32.所以点A的坐标为(log32，2).
答案： (log32，2)
10．某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据：
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x 38 40 44 46 48 50 52 56
y 45 55 61 63 65 66 67 68
(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y＝a＋bx与y＝c＋d中哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)若(1)中的a＝7，b＝1.2，c＝4.2，d＝0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z＝200y－x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应为何值？
解析： (1)补齐的图如图所示：
由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选取y＝c＋d更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式．
(2)依题意得：z＝200×(4.2＋0.07)－x(32≤x≤64)，
化简得z＝840＋14－x(32≤x≤64)，
设t＝(4≤t≤8)，
则有z＝－t2＋14t＋840＝－(t－7)2＋889.
故当t＝7即投入的年宣传费x＝49千元时，年利润取到最大值．课时作业(三十六) 不同函数增长的差异
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
5．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元、1 000元、1 500元时，分别选择________方案．
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
7．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在
8．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C．若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
10．某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据：
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x 38 40 44 46 48 50 52 56
y 45 55 61 63 65 66 67 68
(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y＝a＋bx与y＝c＋d中哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)若(1)中的a＝7，b＝1.2，c＝4.2，d＝0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z＝200y－x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应为何值？
