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第四章
指数函数与对数函数
(0，＋∞)
(1，0)
(－∞，0)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（三十四）
谢谢观看！
y↑
y
0
1:
2
x
0
1
X
A
B
y
0
1
2
1
X
,
C
D4.4.2第1课时 对数函数的图象及性质
知识点 对数函数的图象与性质
[问题导引1] 试在同一坐标系内用描点法画出函数y＝log2x和y＝logx的图象．
提示： 列表：
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 …
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 …
y＝logx … 2 1 0 －1 －2 －3 …
描点、连线．
[问题导引2] 试说出这两个函数图象从左到右的变化趋势？
提示： 函数y＝log2x的图象从左到右是上升的，函数y＝logx的图象从左到右是下降的．
定义 y＝logax(a>0，且a≠1)
底数 a>1 0
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过点(1，0)，即loga1＝0
函数值特点 x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称
[点拨] 对数函数图象的特点
对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内．
当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
C [y＝a－x＝，∵a>1，∴0<<1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C．]
有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过定点、图象的平移与翻折变换等求解．
即时练1.函数y＝loga(x－1)(0A [∵0又函数y＝loga(x－1)的图象过点(2，0)，故A正确．]
即时练2.函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过点( )
A．(1，1) B．(2，1)
C．(1，2) D．(2，2)
B [令x－1＝1，则x＝2，因此f(2)＝1，所以函数f(x)的图象过定点(2，1).故选B．]
应用1 比较对数值的大小
(链接教材P133例3)比较下列各组值的大小：
(1)log0.5，log0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log23，log0.32.
解析： (1)因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为log23>log21＝0，log0.32log0.32.
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
即时练3.比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 2，ln 0.9；
(2)log67，log76.
解析： (1)函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，因为2>0.9，所以ln 2>ln 0.9.
(2)因为log67>log66＝1，log76log76.
应用2 作对数型函数的图象
已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
解析： 因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数f(x)＝log5|x|的图象如图所示．
1．对数型函数的图象一般以函数y＝logax的图象为基础，通过平移、对称变换得到．
2．两种常见的对称变换：
(1)含有绝对值的函数的图象变换，一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方得到的；
(2)y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．
即时练4.画出函数y＝|lg (x－1)|的图象．
解析： ①先画出函数y＝lg x的图象(略).
②将y＝lg x的图象右移1个单位得到函数y＝lg (x－1)的图象(略).
③将y＝lg (x－1)的图象中x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到函数y＝|lg (x－1)|的图象(如图).
1．已知函数f(x)＝5＋log3x，x∈(3，27]，则f(x)的值域为( )
A．(2，4] B．[2，4)
C．[－4，4) D．(6，8]
D [∵函数y＝log3x在(3，27]上是增函数，
∴log33∴函数f(x)＝5＋log3x，x∈(3，27]的值域是(6，8].故选D．]
2．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
A [因为a＝log23.4>1，0b>c，故选A．]
3．函数y＝loga(x－2)(a>2且a≠1)的图象恒过的定点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
C [令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0).]
4．已知log0.7(2x)解析： ∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)得
解得x>1.∴x的取值范围是(1，＋∞).
课时作业(三十四) 对数函数的图象及性质
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝|log2x|的图象是图中的( )
A [y＝|log2x|＝]
2．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
A [a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln 2∴a，b，c的大小关系为a>b>C．]
3．(多选) 函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
BCD [作出函数f(x)＝loga(x＋2)(04．(多选)结合函数y＝log2x和y＝logx的图象，下列说法正确的是( )
A．两函数图象均过点(1，0)
B．两函数图象关于x轴对称
C．两函数图象单调性相同
D．两函数的值域相同
ABD [在同一直角坐标系内作出两函数图象(图象略).由图可知选项ABD正确．]
5．函数y＝loga(x－3)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
解析： 当x－3＝1，即x＝4时，y＝loga(x－3)＋3＝0＋3＝3，所以函数y＝loga(x－3)＋3的图象恒过定点(4，3).
答案： (4，3)
6．比较大小：(1)log22________log2；
(2)log8π________logπ8.
解析： (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>，所以log22>log2.
(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π<8，所以log8π同理1＝logππ答案： (1)> (2)<
7．比较下列各组数的大小．
(1)log0.13与log0.1π；
(2)log45与log65；
(3)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a>0且a≠1).
解析： (1)∵函数y＝log0.1x是减函数，π>3，
∴log0.13>log0.1π.
(2)∵函数y＝log4x和y＝log6x都是增函数，
∴log45>log44＝1，log65∴log45>log65.
(3)∵a＋2故①当a>1时，loga(a＋2)②当0loga(a＋3).
[能力提升]
8．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
D [∵0log＝1，∴c>a>B．故选D．]
9．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
解析： 当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0答案： ，，，
10．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________(填序号).
①m>0，00，n>1；④m<0，n>1.
解析： 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x＝1时，f(1)＝m>0，故m>0.
答案： ③
11．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
解析： ∵f(－1)＝3－1＝，
∴f(f(－1))＝f()＝log3＝－1.
函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0答案： －1 (0，1]
12．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
解析： (1)∵g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(9，2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
又∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝log x.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
即log(3x－1)>log(－x＋5)，则
解得∴x的取值范围为.4.4.2第1课时 对数函数的图象及性质
知识点 对数函数的图象与性质
[问题导引1] 试在同一坐标系内用描点法画出函数y＝log2x和y＝logx的图象．
提示： 列表：
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 …
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 …
y＝logx … 2 1 0 －1 －2 －3 …
描点、连线．
[问题导引2] 试说出这两个函数图象从左到右的变化趋势？
提示： 函数y＝log2x的图象从左到右是上升的，函数y＝logx的图象从左到右是下降的．
定义 y＝logax(a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过点(1，0)，即loga1＝0
函数值特点 x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称
[点拨] 对数函数图象的特点
对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内．
当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过定点、图象的平移与翻折变换等求解．
即时练1.函数y＝loga(x－1)(0即时练2.函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过点( )
A．(1，1) B．(2，1)
C．(1，2) D．(2，2)
应用1 比较对数值的大小
(链接教材P133例3)比较下列各组值的大小：
(1)log0.5，log0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log23，log0.32.
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
即时练3.比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 2，ln 0.9；
(2)log67，log76.
应用2 作对数型函数的图象
已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
1．对数型函数的图象一般以函数y＝logax的图象为基础，通过平移、对称变换得到．
2．两种常见的对称变换：
(1)含有绝对值的函数的图象变换，一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方得到的；
(2)y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．
即时练4.画出函数y＝|lg (x－1)|的图象．
1．已知函数f(x)＝5＋log3x，x∈(3，27]，则f(x)的值域为( )
A．(2，4] B．[2，4)
C．[－4，4) D．(6，8]
2．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
3．函数y＝loga(x－2)(a>2且a≠1)的图象恒过的定点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
4．已知log0.7(2x)课时作业(三十四) 对数函数的图象及性质
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．函数y＝|log2x|的图象是图中的( )
2．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
3．(多选) 函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(多选)结合函数y＝log2x和y＝logx的图象，下列说法正确的是( )
A．两函数图象均过点(1，0)
B．两函数图象关于x轴对称
C．两函数图象单调性相同
D．两函数的值域相同
5．函数y＝loga(x－3)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
6．比较大小：(1)log22________log2；
(2)log8π________logπ8.
7．比较下列各组数的大小．
(1)log0.13与log0.1π；
(2)log45与log65；
(3)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a>0且a≠1).
8．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
9．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
10．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________(填序号).
①m>0，00，n>1；④m<0，n>1.
11．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
12．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．课时作业(三十四) 对数函数的图象及性质
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝|log2x|的图象是图中的( )
A [y＝|log2x|＝]
2．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
A [a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln 2∴a，b，c的大小关系为a>b>C．]
3．(多选) 函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
BCD [作出函数f(x)＝loga(x＋2)(04．(多选)结合函数y＝log2x和y＝logx的图象，下列说法正确的是( )
A．两函数图象均过点(1，0)
B．两函数图象关于x轴对称
C．两函数图象单调性相同
D．两函数的值域相同
ABD [在同一直角坐标系内作出两函数图象(图象略).由图可知选项ABD正确．]
5．函数y＝loga(x－3)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
解析： 当x－3＝1，即x＝4时，y＝loga(x－3)＋3＝0＋3＝3，所以函数y＝loga(x－3)＋3的图象恒过定点(4，3).
答案： (4，3)
6．比较大小：(1)log22________log2；
(2)log8π________logπ8.
解析： (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>，所以log22>log2.
(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π<8，所以log8π同理1＝logππ答案： (1)> (2)<
7．比较下列各组数的大小．
(1)log0.13与log0.1π；
(2)log45与log65；
(3)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a>0且a≠1).
解析： (1)∵函数y＝log0.1x是减函数，π>3，
∴log0.13>log0.1π.
(2)∵函数y＝log4x和y＝log6x都是增函数，
∴log45>log44＝1，log65∴log45>log65.
(3)∵a＋2故①当a>1时，loga(a＋2)②当0loga(a＋3).
[能力提升]
8．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
D [∵0log＝1，∴c>a>B．故选D．]
9．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
解析： 当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0答案： ，，，
10．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________(填序号).
①m>0，00，n>1；④m<0，n>1.
解析： 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x＝1时，f(1)＝m>0，故m>0.
答案： ③
11．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
解析： ∵f(－1)＝3－1＝，
∴f(f(－1))＝f()＝log3＝－1.
函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0答案： －1 (0，1]
12．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
解析： (1)∵g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(9，2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
又∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝log x.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
即log(3x－1)>log(－x＋5)，则
解得∴x的取值范围为.课时作业(三十四) 对数函数的图象及性质
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．函数y＝|log2x|的图象是图中的( )
2．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
3．(多选) 函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(多选)结合函数y＝log2x和y＝logx的图象，下列说法正确的是( )
A．两函数图象均过点(1，0)
B．两函数图象关于x轴对称
C．两函数图象单调性相同
D．两函数的值域相同
5．函数y＝loga(x－3)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
6．比较大小：(1)log22________log2；
(2)log8π________logπ8.
7．比较下列各组数的大小．
(1)log0.13与log0.1π；
(2)log45与log65；
(3)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a>0且a≠1).
8．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
9．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
10．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________(填序号).
①m>0，00，n>1；④m<0，n>1.
11．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
12．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．