(共27张PPT)
第四章
指数函数与对数函数
logax(a>0，且a≠1)
x
(0，＋∞)
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（三十三）
谢谢观看！
形式
形如y=logx（a>0,且a≠1)
系数
对数符号前面的系数为1
同时
对数
底数
底数为大于0且不等于1的常数
成立
函
数
真数
对数的真数仅有自变量x4．4.1 对数函数的概念
知识点 对数函数的概念
[问题导引] 函数y＝log2x的解析式有什么特征？
提示： 对数的真数作为函数的自变量．
对数函数的概念
(1)定义：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)本质：满足以下特征的函数：
①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
(多选)下列函数中为对数函数的是( )
A．y＝log(－x)
B．y＝2log4(x－1)
C．y＝ln x
D．y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数)
CD [对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝2log4(x－1)＝log2(x－1)，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝(a＋)2＋>1，真数是x，故D是对数函数．]
判断一个函数是对数函数的依据
即时练1.若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________．
解析： 由题意设f(x)＝logax，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，即f(x)＝logx，所以f(8)＝log8＝－3.
答案： －3
应用1 对数型函数的定义域
(链接教材P130 例1)
求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log(x－1)(3－x).
解析： (1)要使函数式有意义，
需解得x>1，且x≠2.
故函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}．
(2)要使函数式有意义，需即解得x≥4.
故函数y＝的定义域是{x|x≥4}．
(3)要使函数式有意义，需解得1故函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
即时练2.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg (x－2)＋；
(2)f(x)＝lg (2－lg x).
解析： (1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，则即
故0故所求函数定义域为(0，100).
应用2 对数函数的实际应用
(链接教材P131 例2)某企业2021年全年投入研发资金为1，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，该企业y年后全年投入的研发资金为x，
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)求该企业全年投入的研发资金开始超过的年份是哪一年？
(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
解析： (1)由题意得，x＝(1＋8%)y，
即x＝1.08y，y∈[0，＋∞).
可得y＝log1.08x，x∈[1，＋∞).
(2)令x＝，得y＝log1.08
＝≈≈3.79.则该企业全年投入的研发资金开始超过的年份是2025年．
利用指数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax；
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
即时练3.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析： 由题意得5＝2log4x－2，
即7＝log2x，得x＝128.
答案： 128
1．函数f(x)＝ln (x－3)的定义域为( )
A．{x|x>－3} B．{x|x>0}
C．{x|x>3} D．{x|x≥3}
C [由x－3>0 x>3，故定义域为{x|x>3}，故选C．]
2．给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A [①②中，因为对数的真数不是只含有自变量x，所以不是对数函数；③中，因为对数的底数不是常数，所以不是对数函数；④是对数函数．]
3．函数f(x)＝(m－1)logax(a>0，且a≠1)是对数函数，且过点(4，2)，则f(m)＝__________．
解析： 由题意m＝2，又2＝loga4，故a＝2，因此f(x)＝log2x.所以f(2)＝log22＝1.
答案： 1
4．求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)(a>0，且a≠1)；
(2)f(x)＝.
解析： (1)由得－3所以函数的定义域是{x|－3(2)由题意有解得x>－且x≠0，
则函数的定义域为(－，0)∪(0，＋∞).
课时作业(三十三) 对数函数的概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
A．y＝lg x B．y＝logx
C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1)
AB [判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，AB正确．]
2．函数f(x)＝－lg (x－1)的定义域为( )
A．(1，3] B．(3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(1，＋∞)
A [由题意可得解得13．已知对数函数f(x)的图象过点，则f(x)等于( )
A．log16x B．log8x
C．log2x D．logx
A [由题意设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由函数图象过点可得f(4)＝，即loga4＝，所以4＝a，解得a＝16，故f(x)＝log16x，故选A．]
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
C [∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，
∴f(x)＝log2x满足题目要求．]
5．已知对数函数f(x)的图象过点(8，3)，则f＝__________．
解析： 设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则3＝loga8，
所以a3＝8，a＝2.
所以f(x)＝log2x，
f＝log2＝log22－5＝－5.
答案： －5
6．若函数f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝__________．
解析： 由对数函数的定义可知解得a＝5.
答案： 5
7．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0).
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解析： (1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，
则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为{x|x>－2}．
[能力提升]
8．与函数y＝10lg (x－1)是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝
A [y＝10lg (x－1)＝x－1(x>1)，而y＝＝x－1(x>1)，故选A．]
9．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10
C．1 D．
C [由已知，得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当010．若对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)logmx，则m＝__________，函数g(x)＝f(x2)的定义域是__________．
解析： 由对数函数的定义可得m2－3m＋3＝1，
即m2－3m＋2＝0，(m－1)(m－2)＝0，
解得m＝1或m＝2.
又因为m>0，且m≠1，
所以m＝2.
由g(x)＝f(x2)＝log2x2知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
答案： 2 (－∞，0)∪(0，＋∞)
11．(2021·辽宁沈阳高一期末)给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若 x∈A， y∈B，使得x＋y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数：
①y＝；②y＝；③y＝lg x．其中，具有性质P的函数是________(填序号).
解析： 对于①，A＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，B＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，显然 x∈A， y∈B，使得x＋y＝0成立，即具有性质P；
对于②，A＝R，B＝(0，＋∞)，当x>0时，不存在y∈B，使得x＋y＝0成立，即不具有性质P；
对于③，A＝(0，＋∞)，B＝R，显然 x∈A， y∈B，使得x＋y＝0成立，即具有性质P.故具有性质P的函数是①③.
答案： ①③
12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q(Q>0)，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解析： (1)设V＝k·log3(Q>0)，
因为当Q＝900时，V＝1，
所以1＝k·log3，
所以k＝，所以V关于Q的函数解析式为
V＝log3(Q>0).
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，
所以Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．4．4.1 对数函数的概念
知识点 对数函数的概念
[问题导引] 函数y＝log2x的解析式有什么特征？
提示： 对数的真数作为函数的自变量．
对数函数的概念
(1)定义：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)本质：满足以下特征的函数：
①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
(多选)下列函数中为对数函数的是( )
A．y＝log(－x)
B．y＝2log4(x－1)
C．y＝ln x
D．y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数)
判断一个函数是对数函数的依据
即时练1.若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________．
应用1 对数型函数的定义域
(链接教材P130 例1)
求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log(x－1)(3－x).
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
即时练2.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg (x－2)＋；
(2)f(x)＝lg (2－lg x).
应用2 对数函数的实际应用
(链接教材P131 例2)某企业2021年全年投入研发资金为1，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，该企业y年后全年投入的研发资金为x，
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)求该企业全年投入的研发资金开始超过的年份是哪一年？
(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
利用指数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax；
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
即时练3.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
1．函数f(x)＝ln (x－3)的定义域为( )
A．{x|x>－3} B．{x|x>0}
C．{x|x>3} D．{x|x≥3}
2．给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．函数f(x)＝(m－1)logax(a>0，且a≠1)是对数函数，且过点(4，2)，则f(m)＝__________．
4．求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)(a>0，且a≠1)；
(2)f(x)＝.
课时作业(三十三) 对数函数的概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
A．y＝lg x B．y＝logx
C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1)
2．函数f(x)＝－lg (x－1)的定义域为( )
A．(1，3] B．(3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(1，＋∞)
3．已知对数函数f(x)的图象过点，则f(x)等于( )
A．log16x B．log8x
C．log2x D．logx
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
5．已知对数函数f(x)的图象过点(8，3)，则f＝__________．
6．若函数f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝__________．
7．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0).
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
8．与函数y＝10lg (x－1)是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝
9．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10
C．1 D．
10．若对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)logmx，则m＝__________，函数g(x)＝f(x2)的定义域是__________．
11．(2021·辽宁沈阳高一期末)给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若 x∈A， y∈B，使得x＋y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数：
12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q(Q>0)，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．课时作业(三十三) 对数函数的概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
A．y＝lg x B．y＝logx
C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1)
AB [判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，AB正确．]
2．函数f(x)＝－lg (x－1)的定义域为( )
A．(1，3] B．(3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(1，＋∞)
A [由题意可得解得13．已知对数函数f(x)的图象过点，则f(x)等于( )
A．log16x B．log8x
C．log2x D．logx
A [由题意设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由函数图象过点可得f(4)＝，即loga4＝，所以4＝a，解得a＝16，故f(x)＝log16x，故选A．]
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
C [∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，
∴f(x)＝log2x满足题目要求．]
5．已知对数函数f(x)的图象过点(8，3)，则f＝__________．
解析： 设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则3＝loga8，
所以a3＝8，a＝2.
所以f(x)＝log2x，
f＝log2＝log22－5＝－5.
答案： －5
6．若函数f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝__________．
解析： 由对数函数的定义可知解得a＝5.
答案： 5
7．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0).
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解析： (1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，
则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为{x|x>－2}．
[能力提升]
8．与函数y＝10lg (x－1)是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝
A [y＝10lg (x－1)＝x－1(x>1)，而y＝＝x－1(x>1)，故选A．]
9．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10
C．1 D．
C [由已知，得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当010．若对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)logmx，则m＝__________，函数g(x)＝f(x2)的定义域是__________．
解析： 由对数函数的定义可得m2－3m＋3＝1，
即m2－3m＋2＝0，(m－1)(m－2)＝0，
解得m＝1或m＝2.
又因为m>0，且m≠1，
所以m＝2.
由g(x)＝f(x2)＝log2x2知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
答案： 2 (－∞，0)∪(0，＋∞)
11．(2021·辽宁沈阳高一期末)给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若 x∈A， y∈B，使得x＋y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数：
①y＝；②y＝；③y＝lg x．其中，具有性质P的函数是________(填序号).
解析： 对于①，A＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，B＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，显然 x∈A， y∈B，使得x＋y＝0成立，即具有性质P；
对于②，A＝R，B＝(0，＋∞)，当x>0时，不存在y∈B，使得x＋y＝0成立，即不具有性质P；
对于③，A＝(0，＋∞)，B＝R，显然 x∈A， y∈B，使得x＋y＝0成立，即具有性质P.故具有性质P的函数是①③.
答案： ①③
12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q(Q>0)，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解析： (1)设V＝k·log3(Q>0)，
因为当Q＝900时，V＝1，
所以1＝k·log3，
所以k＝，所以V关于Q的函数解析式为
V＝log3(Q>0).
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，
所以Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．课时作业(三十三) 对数函数的概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
A．y＝lg x B．y＝logx
C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1)
2．函数f(x)＝－lg (x－1)的定义域为( )
A．(1，3] B．(3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(1，＋∞)
3．已知对数函数f(x)的图象过点，则f(x)等于( )
A．log16x B．log8x
C．log2x D．logx
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
5．已知对数函数f(x)的图象过点(8，3)，则f＝__________．
6．若函数f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝__________．
7．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0).
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
8．与函数y＝10lg (x－1)是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝
9．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10
C．1 D．
10．若对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)logmx，则m＝__________，函数g(x)＝f(x2)的定义域是__________．
11．(2021·辽宁沈阳高一期末)给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若 x∈A， y∈B，使得x＋y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数：
12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q(Q>0)，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
