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第四章
指数函数与对数函数
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（三十二）
谢谢观看！4．3.2 对数的运算
[学习目标] 1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．
知识点一 对数的运算性质
[问题导引1] 将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)
提示： 由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.
由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN).
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
[问题导引2] 结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？
提示： 将指数式＝ap－q化为对数式，得loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
1．性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
[点拨] 对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，a≠1，M>0，N>0，若去掉此条件，性质不一定成立．
2．对数运算中的常见公式及推广
(1)loga＝logaM(M>0，n∈N*，n>1，a>0，且a≠1)；
(2)loga＝－logaM(M>0，a>0，且a≠1)；
(3)loga＝logaM(M>0，n，p∈N*，p，n>1，a>0，且a≠1)；
(4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a>0，且a≠1).
(链接教材P124 例3、例4)
计算下列各式：
(1)log5；(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log5＋log57－log5.
解析： (1)原式＝log5625＝log554＝.
(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简．
即时练1.计算：
(1)log345－log35＝__________；
(2)log2(23×45)＝__________．
解析： (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2.
(2)log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5log222＝3＋5×2＝13.
答案： (1)2 (2)13
即时练2.用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg (xyz)；(2)lg .
解析： (1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg (xy3)－lg
＝lg x＋3lg y－lg z．
知识点二 换底公式
[问题导引] 我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题并不能做到，你能求值吗？
提示： 设log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，故x＝，而log28＝3，log24＝2，于是我们大胆猜测log48＝，同样log927＝.
1．公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
[点拨] 换底公式的适用条件
(1)对数换底公式成立的条件：公式中的每一个对数式都有意义．
(2)对数换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题后求解．
2．换底公式的几个常用推论
(1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1).
计算：
(1)log29·log34；
(2).
解析： (1)由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
(2)原式＝×＝log×log9
＝×＝×＝－.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
即时练3.式子log32·log227的值为( )
A．2 B．3 C． D．－3
B [log32·log227＝·＝＝log327＝3，故选B．]
即时练4.若log2x·log34·log59＝8，则x等于( )
A．8 B．25 C．16 D．4
B [∵log2x·log34·log59＝××＝××＝8，∴lg x＝2lg 5，∴x＝25.]
应用1 对数式的实际应用
(链接教材P125 例5)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
解析： (1)由已知得y＝20lg (其中P0＝2×10－5).
(2)当P＝0.002时，
y＝20lg ＝20lg 102＝40(分贝).
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，环境优良．
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
即时练5.对于一个声强为I(单位：W/m2)的声波，其声强级L(单位：dB)可由如下公式计算：L＝10lg (其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级70 dB，声强为I2时的声强级为60 dB，则＝( )
A．10 B．100 C．1010 D．10 000
A [由题意可得即两式相减得lg ＝1，所以＝10.故选A．]
应用2 利用指数式与对数式的互化解题
设3x＝4y＝36，求＋的值．
解析： ∵3x＝36，4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436.
由换底公式得
x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)
＝log3636＝1.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
即时练6.(2021·天津耀华中学高一阶段检测)已知3x＝5y＝a，且＋＝2，则a的值为( )
A． B．15
C．± D．225
A [∵3x＝5y＝a，∴x lg 3＝y lg 5＝lg a，∴＝，＝，则2＝＋＝＝，∴lg a2＝lg 15.∵a>0，∴a＝，故选A．]
1．(2021·江苏省常州市期末)log6432的值为( )
A． B．2 C． D．
C [log6432＝＝＝＝.]
2．log248－log23＝( )
A．log244 B．2 C．4 D．－2
C [原式＝log2＝log216＝log224＝4.故选C．]
3．(多选)(2021·江苏连云港高一期末)若x>0，y>0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是( )
A．lg x＋lg y＝lg (x＋y)
B．lg ＝lg x－lg y
C．logxnym＝logxy
D．lg x＝
BCD [因为x>0，y>0，n≠0，m∈R，则lg x＋lg y＝lg (xy)，故A错误；
lg ＝lg x－lg y，故B正确；logxnym＝logxy，故C正确；lg x＝，故D正确．故选BCD．]
4．化简下列各式：
(1)4lg 2＋3lg 5－lg ；
(2)2log32－log3＋log38－5log53.
解析： (1)原式＝lg
＝lg (24×54)
＝lg (2×5)4
＝4.
(2)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3
＝－1.
课时作业(三十二) 对数的运算
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．若lg a－2lg 2＝1，则a＝( )
A．4 B．10 C．20 D．40
D [∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg ＝1，∴＝10，∴a＝40.故选D．]
2．log52·log425等于( )
A．－1 B． C．1 D．2
C [原式＝·＝·＝1.]
3．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为( )
A．m－n B．m－n
C．－ D．m－n
D [log3＝log3－log3＝log3x－log3(y·y)＝log3x－log3y＝m－n.]
4．(2021·江西南昌第三中学高一期中)已知3x＝2，log3＝y，则2x＋y的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．9
B [由3x＝2得log32＝x，又因为log3＝y，所以2x＋y＝2log32＋log3＝log3＝log39＝2.故选B．]
5．lg －2lg ＋lg 等于( )
A．lg 2 B．lg 3 C．lg 4 D．lg 5
A [lg －2lg ＋lg ＝lg ＝lg 2.故选A．]
6．若a＝log23，b＝log32，则a·b＝__________，lg a＋lg b＝__________．
解析： 因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝·＝1，lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.
答案： 1 0
7．(2021·湖北省襄阳市联考)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝__________．
解析： 利用换底公式，得··＝2，
∴lg m＝2lg 3＝lg 9，于是m＝9.
答案： 9
8．方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为__________．
解析： 原方程可化为log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1，
即log2(x＋1)＝log4[4(x＋4)]，
所以log4(x＋1)2＝log4(4x＋16)，
即(x＋1)2＝4x＋16，解得x＝－3或x＝5.
又x＋1>0且x＋4>0，所以x>－1.
所以x＝－3不满足题意，因此应舍去．
故方程的解为x＝5.
答案： 5
9．计算：(1)3log72－log79＋2log7；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 500＋lg 125；
(3)log3＋lg 25＋lg 4＋5log52.
解析： (1)原式＝log78－log79＋log7＝log78－log79＋log79－log78＝0.
(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 500)＋3lg 5
＝lg 2·lg 1 000＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5
＝3(lg 2＋lg 5)＝3lg 10＝3.
(3)原式＝log3＋lg (25×4)＋2
＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.
10．求值：
(1)；
(2)lg ＋lg ＋.
解析： (1)方法一 ＝
＝＝－2.
方法二 ＝＝＝－2.
(2)原式＝(lg 5＋lg 2)＋
＝＋＝＋1＝.
[能力提升]
11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg )2的值等于( )
A．2 B． C．4 D．
A [由根与系数的关系知所以(lg )2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.故选A．]
12．(2021·河南商丘、周口、驻马店高三开学联考)对正整数n，函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数．例如φ(8)＝4，则φ((log354＋log2)4)＝( )
A．52 B．53 C．54 D．55
C [因为log354＋log2＝log354－log32＝log327＝3，所以φ((log354＋log2)4)＝φ(81).因为除了3的倍数外，其他数都与81互质，所以φ(81)＝81－＝54.故选C．]
13．已知2m＝5n＝10，则＋＝__________．
解析： 因为m＝log210，n＝log510，
所以＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
答案： 1
14．(2021·江西南昌八一中学高二期中)计算：－＋256－e－ln 2＝__________．
解析： 原式＝－49＋(28)－＝－49＋26－＝.
答案：
15．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log.
解析： 由已知，得
loga[(x2＋4)(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)，
即x2y2－6xy＋9＋x2－4xy＋4y2＝0，
∴(xy－3)2＋(x－2y)2＝0.
∴xy＝3，且x＝2y，∴＝2，∴log＝2.
16．设声强级L1(单位：dB)由公式L1＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2).
(1)若航天飞机发射时的最大声强是10 000 W/m2，求其声强级；
(2)若一般正常人听觉的声强级的取值范围为[0，120](单位：dB)，求其声强的取值范围．
解析： (1)由已知得，航天飞机发射时的最大声强是10 000 W/m2，即I＝10 000 W/m2，
因为L1＝10lg ＝10lg ＝160，所以航天飞机发射时的声强级为160 dB．
(2)由题意得0≤L1≤120，所以0≤lg ≤12，化简得1≤≤1012，
所以10－12≤I≤1，所以其声强的取值范围为10－12≤I≤1.4.4 对数函数
[学习目标] 1.通过具体实例，理解对数函数的概念.2.会求简单的对数型函数的定义域．4．3.2 对数的运算
[学习目标] 1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．
知识点一 对数的运算性质
[问题导引1] 将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)
提示： 由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.
由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN).
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
[问题导引2] 结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？
提示： 将指数式＝ap－q化为对数式，得loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
1．性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
[点拨] 对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，a≠1，M>0，N>0，若去掉此条件，性质不一定成立．
2．对数运算中的常见公式及推广
(1)loga＝logaM(M>0，n∈N*，n>1，a>0，且a≠1)；
(2)loga＝－logaM(M>0，a>0，且a≠1)；
(3)loga＝logaM(M>0，n，p∈N*，p，n>1，a>0，且a≠1)；
(4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a>0，且a≠1).
(链接教材P124 例3、例4)
计算下列各式：
(1)log5；(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log5＋log57－log5.
利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简．
即时练1.计算：
(1)log345－log35＝__________；
(2)log2(23×45)＝__________．
即时练2.用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg (xyz)；(2)lg .
知识点二 换底公式
[问题导引] 我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题并不能做到，你能求值吗？
1．公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
[点拨] 换底公式的适用条件
(1)对数换底公式成立的条件：公式中的每一个对数式都有意义．
(2)对数换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题后求解．
2．换底公式的几个常用推论
(1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1).
计算：
(1)log29·log34；
(2).
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
即时练3.式子log32·log227的值为( )
A．2 B．3 C． D．－3
即时练4.若log2x·log34·log59＝8，则x等于( )
A．8 B．25 C．16 D．4
应用1 对数式的实际应用
(链接教材P125 例5)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
即时练5.对于一个声强为I(单位：W/m2)的声波，其声强级L(单位：dB)可由如下公式计算：L＝10lg (其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级70 dB，声强为I2时的声强级为60 dB，则＝( )
A．10 B．100 C．1010 D．10 000
应用2 利用指数式与对数式的互化解题
设3x＝4y＝36，求＋的值．
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
即时练6.(2021·天津耀华中学高一阶段检测)已知3x＝5y＝a，且＋＝2，则a的值为( )
A． B．15
C．± D．225
1．(2021·江苏省常州市期末)log6432的值为( )
A． B．2 C． D．
2．log248－log23＝( )
A．log244 B．2 C．4 D．－2
3．(多选)(2021·江苏连云港高一期末)若x>0，y>0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是( )
A．lg x＋lg y＝lg (x＋y)
B．lg ＝lg x－lg y
C．logxnym＝logxy
D．lg x＝
4．化简下列各式：
(1)4lg 2＋3lg 5－lg ；
(2)2log32－log3＋log38－5log53.
课时作业(三十二) 对数的运算
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．若lg a－2lg 2＝1，则a＝( )
A．4 B．10 C．20 D．40
2．log52·log425等于( )
A．－1 B． C．1 D．2
3．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为( )
A．m－n B．m－n
C．－ D．m－n
4．(2021·江西南昌第三中学高一期中)已知3x＝2，log3＝y，则2x＋y的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．9
5．lg －2lg ＋lg 等于( )
A．lg 2 B．lg 3 C．lg 4 D．lg 5
6．若a＝log23，b＝log32，则a·b＝__________，lg a＋lg b＝__________．
7．(2021·湖北省襄阳市联考)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝__________．
8．方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为__________．
9．计算：(1)3log72－log79＋2log7；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 500＋lg 125；
(3)log3＋lg 25＋lg 4＋5log52.
10．求值：
(1)；
(2)lg ＋lg ＋.
11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg )2的值等于( )
A．2 B． C．4 D．
12．(2021·河南商丘、周口、驻马店高三开学联考)对正整数n，函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数．例如φ(8)＝4，则φ((log354＋log2)4)＝( )
A．52 B．53 C．54 D．55
13．已知2m＝5n＝10，则＋＝__________．
14．(2021·江西南昌八一中学高二期中)计算：－＋256－e－ln 2＝__________．
15．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log.
16．设声强级L1(单位：dB)由公式L1＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2).
(1)若航天飞机发射时的最大声强是10 000 W/m2，求其声强级；
(2)若一般正常人听觉的声强级的取值范围为 (单位：dB)，求其声强的取值范围．课时作业(三十二) 对数的运算
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．若lg a－2lg 2＝1，则a＝( )
A．4 B．10 C．20 D．40
D [∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg ＝1，∴＝10，∴a＝40.故选D．]
2．log52·log425等于( )
A．－1 B． C．1 D．2
C [原式＝·＝·＝1.]
3．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为( )
A．m－n B．m－n
C．－ D．m－n
D [log3＝log3－log3＝log3x－log3(y·y)＝log3x－log3y＝m－n.]
4．(2021·江西南昌第三中学高一期中)已知3x＝2，log3＝y，则2x＋y的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．9
B [由3x＝2得log32＝x，又因为log3＝y，所以2x＋y＝2log32＋log3＝log3＝log39＝2.故选B．]
5．lg －2lg ＋lg 等于( )
A．lg 2 B．lg 3 C．lg 4 D．lg 5
A [lg －2lg ＋lg ＝lg ＝lg 2.故选A．]
6．若a＝log23，b＝log32，则a·b＝__________，lg a＋lg b＝__________．
解析： 因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝·＝1，lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.
答案： 1 0
7．(2021·湖北省襄阳市联考)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝__________．
解析： 利用换底公式，得··＝2，
∴lg m＝2lg 3＝lg 9，于是m＝9.
答案： 9
8．方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为__________．
解析： 原方程可化为log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1，
即log2(x＋1)＝log4[4(x＋4)]，
所以log4(x＋1)2＝log4(4x＋16)，
即(x＋1)2＝4x＋16，解得x＝－3或x＝5.
又x＋1>0且x＋4>0，所以x>－1.
所以x＝－3不满足题意，因此应舍去．
故方程的解为x＝5.
答案： 5
9．计算：(1)3log72－log79＋2log7；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 500＋lg 125；
(3)log3＋lg 25＋lg 4＋5log52.
解析： (1)原式＝log78－log79＋log7＝log78－log79＋log79－log78＝0.
(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 500)＋3lg 5
＝lg 2·lg 1 000＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5
＝3(lg 2＋lg 5)＝3lg 10＝3.
(3)原式＝log3＋lg (25×4)＋2
＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.
10．求值：
(1)；
(2)lg ＋lg ＋.
解析： (1)方法一 ＝
＝＝－2.
方法二 ＝＝＝－2.
(2)原式＝(lg 5＋lg 2)＋
＝＋＝＋1＝.
[能力提升]
11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg )2的值等于( )
A．2 B． C．4 D．
A [由根与系数的关系知所以(lg )2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.故选A．]
12．(2021·河南商丘、周口、驻马店高三开学联考)对正整数n，函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数．例如φ(8)＝4，则φ((log354＋log2)4)＝( )
A．52 B．53 C．54 D．55
C [因为log354＋log2＝log354－log32＝log327＝3，所以φ((log354＋log2)4)＝φ(81).因为除了3的倍数外，其他数都与81互质，所以φ(81)＝81－＝54.故选C．]
13．已知2m＝5n＝10，则＋＝__________．
解析： 因为m＝log210，n＝log510，
所以＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
答案： 1
14．(2021·江西南昌八一中学高二期中)计算：－＋256－e－ln 2＝__________．
解析： 原式＝－49＋(28)－＝－49＋26－＝.
答案：
15．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log.
解析： 由已知，得
loga[(x2＋4)(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)，
即x2y2－6xy＋9＋x2－4xy＋4y2＝0，
∴(xy－3)2＋(x－2y)2＝0.
∴xy＝3，且x＝2y，∴＝2，∴log＝2.
16．设声强级L1(单位：dB)由公式L1＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2).
(1)若航天飞机发射时的最大声强是10 000 W/m2，求其声强级；
(2)若一般正常人听觉的声强级的取值范围为[0，120](单位：dB)，求其声强的取值范围．
解析： (1)由已知得，航天飞机发射时的最大声强是10 000 W/m2，即I＝10 000 W/m2，
因为L1＝10lg ＝10lg ＝160，所以航天飞机发射时的声强级为160 dB．
(2)由题意得0≤L1≤120，所以0≤lg ≤12，化简得1≤≤1012，
所以10－12≤I≤1，所以其声强的取值范围为10－12≤I≤1.4.4 对数函数
[学习目标] 1.通过具体实例，理解对数函数的概念.2.会求简单的对数型函数的定义域．课时作业(三十二) 对数的运算
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．若lg a－2lg 2＝1，则a＝( )
A．4 B．10 C．20 D．40
2．log52·log425等于( )
A．－1 B． C．1 D．2
3．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为( )
A．m－n B．m－n
C．－ D．m－n
4．(2021·江西南昌第三中学高一期中)已知3x＝2，log3＝y，则2x＋y的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．9
5．lg －2lg ＋lg 等于( )
A．lg 2 B．lg 3 C．lg 4 D．lg 5
6．若a＝log23，b＝log32，则a·b＝__________，lg a＋lg b＝__________．
7．(2021·湖北省襄阳市联考)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝__________．
8．方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为__________．
9．计算：(1)3log72－log79＋2log7；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 500＋lg 125；
(3)log3＋lg 25＋lg 4＋5log52.
10．求值：
(1)；
(2)lg ＋lg ＋.
11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg )2的值等于( )
A．2 B． C．4 D．
12．(2021·河南商丘、周口、驻马店高三开学联考)对正整数n，函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数．例如φ(8)＝4，则φ((log354＋log2)4)＝( )
A．52 B．53 C．54 D．55
13．已知2m＝5n＝10，则＋＝__________．
14．(2021·江西南昌八一中学高二期中)计算：－＋256－e－ln 2＝__________．
15．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log.
16．设声强级L1(单位：dB)由公式L1＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2).
(1)若航天飞机发射时的最大声强是10 000 W/m2，求其声强级；
(2)若一般正常人听觉的声强级的取值范围为 (单位：dB)，求其声强的取值范围．
