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第四章
指数函数与对数函数
以a为底N的对数
x＝logaN
对数的底数
真数
没有
0
1
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（三十一）
谢谢观看！
指数
对数
a*=N→x=logN
幂
真数
底数
底数4．3.1 对数的概念
知识点一 对数的概念
[问题导引] 我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝8，则x＝－3等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
提示： 用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解．
1．对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2.
(链接教材P122 例1)
将下列对(或指)数式化成指(或对)数式：
(1)logx＝3；(2)logx64＝－6；
(3)3－2＝；(4)＝16.
解析： (1)因为logx＝3，所以()3＝x.
(2)因为logx64＝－6，所以x－6＝64.
(3)因为3－2＝，所以log3＝－2.
(4)因为＝16，所以log16＝x.
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
即时练1.(多选)下列指数式与对数式互化正确的有( )
A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与9＝3
C．8－＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7
ACD [对于A：e0＝1可化为：0＝loge1＝ln 1，所以A正确；对于B：log39＝2可化为：32＝9，所以B不正确；对于C：8－＝可化为log8＝－，所以C正确；对于D：log77＝1可化为71＝7，所以D正确．故选ACD．]
知识点二 对数的性质
1．对数的性质
(1)负数和0没有对数．
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1).
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1).
2．对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).
使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．∪(1，＋∞) B．
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．
B [使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0
即时练2.计算：2ln e＋lg 1＋3log32＝__________．
解析： 原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
答案： 4
即时练3.求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3[log4(log5x)]＝0.
解析： (1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
对数的计算
(链接教材P123 例2)
求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x.
解析： (1)因为log64x＝－，所以x＝64－＝(43)－＝4－2＝.
(2)因为logx8＝6，所以x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)因为lg 100＝x，所以10x＝100＝102，于是x＝2.
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂．
(2)已知指数与幂，用指数式求底数．
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
即时练4.求下列各式中的x的值：
(1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.
解析： (1)∵log2x＝，∴x＝2，∴x＝.
(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.
(3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.
1．log3等于( )
A．4 B．－4 C． D．－
B [因为3－4＝，
所以log3＝－4.故选B．]
2．若x＝log16，则x等于( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
A [由＝16知x＝－4.故选A．]
3．(多选)有以下四个结论，其中正确的是( )
A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0
C．若e＝ln x，则x＝e2 D．ln (lg 1)＝0
AB [因为lg 10＝ln e＝1，lg 1＝0，所以A，B均正确；C中若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；D中lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误．综上，选AB．]
4．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)log8＝－3.
解析： (1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵log8＝－3，∴＝8.
课时作业(三十一) 对数的概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．方程2log3x＝的解是( )
A． B． C． D．9
A [由2log3x＝，得2log3x＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.]
2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于( )
A． B． C． D．
C [由条件，知log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以x－＝8－＝＝＝.]
3．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
B [由lg (x2－1)＝lg (2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝3.故选B．]
4．(多选)(2021·湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )
A．log24＝2 B．2.10.5>2.1－1.8
C．3log32＝2 D．－ln e＝1
ABC [log24＝2，故A正确；根据函数y＝2.1x是增函数可知2.10.5>2.1－1.8，故B正确；根据指对恒等式可知3log32＝2，故C正确；－ln e＝－1，故D不正确．故选ABC．]
5．把对数式log84＝x化成指数式是__________；可求
x＝__________．
解析： 因为log84＝x，所以8x＝4，所以23x＝22，所以x＝.
答案： 8x＝4
6．3log32＋log21＋log55＝__________．
解析： 因为3log32＝2，log21＝0，log55＝1，
所以原式＝2＋1＝3.
答案： 3
7．解答下列各题．
(1)计算：lg 0.000 1；log2；log3.12(log1515).
(2)已知log4x＝－，log3(log2y)＝1，求xy的值．
解析： (1)因为10－4＝0.000 1，
所以lg 0.000 1＝－4.
因为2－6＝，所以log2＝－6.
log3.12(log1515)＝log3.121＝0.
(2)因为log4x＝－，所以x＝4－＝2－3＝.
因为log3(log2y)＝1，所以log2y＝3.
所以y＝23＝8.所以xy＝×8＝1.
[能力提升]
8．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
9．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝dc
C．c＝ad D．d＝a＋c
B [由已知得5a＝b，10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，∴5dc＝5a，∴dc＝a，故选B．]
10．若对数ln (x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为____________．
解析： ∵对数ln (x2－5x＋6)存在，
∴x2－5x＋6>0，
∴解得3答案： (－∞，2)∪(3，＋∞)
11．loga2＝m，loga3＝n(a>0且a≠1)，则am＋n＝________，am－n＝________．
解析： 因为loga2＝m，loga3＝n，
所以am＝2，an＝3.
所以am＋n＝am·an＝6，am－n＝＝.
答案： 6
12．(1)证明对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).
(2)利用对数恒等式计算3log34－lg 10＋2ln 1.
解析： (1)证明：由ax＝N得x＝logaN，
把后者代入前者得alogaN＝N.
(2)原式＝3log34－1＋20
＝3log34÷31＋1
＝＋1＝.4．3.1 对数的概念
知识点一 对数的概念
[问题导引] 我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝8，则x＝－3等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
提示： 用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解．
1．对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2.
(链接教材P122 例1)
将下列对(或指)数式化成指(或对)数式：
(1)logx＝3；(2)logx64＝－6；
(3)3－2＝；(4)＝16.
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
即时练1.(多选)下列指数式与对数式互化正确的有( )
A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与9＝3
C．8－＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7
知识点二 对数的性质
1．对数的性质
(1)负数和0没有对数．
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1).
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1).
2．对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).
使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．∪(1，＋∞) B．
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．
即时练2.计算：2ln e＋lg 1＋3log32＝__________．
即时练3.求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3[log4(log5x)]＝0.
对数的计算
(链接教材P123 例2)
求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x.
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂．
(2)已知指数与幂，用指数式求底数．
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
即时练4.求下列各式中的x的值：
(1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.
1．log3等于( )
A．4 B．－4 C． D．－
2．若x＝log16，则x等于( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
3．(多选)有以下四个结论，其中正确的是( )
A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0
C．若e＝ln x，则x＝e2 D．ln (lg 1)＝0
4．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)log8＝－3.
课时作业(三十一) 对数的概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．方程2log3x＝的解是( )
A． B． C． D．9
2．已知log7 ＝0，那么x－等于( )
A． B． C． D．
3．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
4．(多选)(2021·湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )
A．log24＝2 B．2.10.5>2.1－1.8
C．3log32＝2 D．－ln e＝1
5．把对数式log84＝x化成指数式是__________；可求
x＝__________．
6．3log32＋log21＋log55＝__________．
7．解答下列各题．
(1)计算：lg 0.000 1；log2；log3.12(log1515).
(2)已知log4x＝－，log3(log2y)＝1，求xy的值．
8．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
9．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝dc
C．c＝ad D．d＝a＋c
10．若对数ln (x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为____________．
11．loga2＝m，loga3＝n(a>0且a≠1)，则am＋n＝________，am－n＝________．
12．(1)证明对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).
(2)利用对数恒等式计算3log34－lg 10＋2ln 1.课时作业(三十一) 对数的概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．方程2log3x＝的解是( )
A． B． C． D．9
A [由2log3x＝，得2log3x＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.]
2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于( )
A． B． C． D．
C [由条件，知log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以x－＝8－＝＝＝.]
3．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
B [由lg (x2－1)＝lg (2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝3.故选B．]
4．(多选)(2021·湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )
A．log24＝2 B．2.10.5>2.1－1.8
C．3log32＝2 D．－ln e＝1
ABC [log24＝2，故A正确；根据函数y＝2.1x是增函数可知2.10.5>2.1－1.8，故B正确；根据指对恒等式可知3log32＝2，故C正确；－ln e＝－1，故D不正确．故选ABC．]
5．把对数式log84＝x化成指数式是__________；可求
x＝__________．
解析： 因为log84＝x，所以8x＝4，所以23x＝22，所以x＝.
答案： 8x＝4
6．3log32＋log21＋log55＝__________．
解析： 因为3log32＝2，log21＝0，log55＝1，
所以原式＝2＋1＝3.
答案： 3
7．解答下列各题．
(1)计算：lg 0.000 1；log2；log3.12(log1515).
(2)已知log4x＝－，log3(log2y)＝1，求xy的值．
解析： (1)因为10－4＝0.000 1，
所以lg 0.000 1＝－4.
因为2－6＝，所以log2＝－6.
log3.12(log1515)＝log3.121＝0.
(2)因为log4x＝－，所以x＝4－＝2－3＝.
因为log3(log2y)＝1，所以log2y＝3.
所以y＝23＝8.所以xy＝×8＝1.
[能力提升]
8．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
9．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝dc
C．c＝ad D．d＝a＋c
B [由已知得5a＝b，10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，∴5dc＝5a，∴dc＝a，故选B．]
10．若对数ln (x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为____________．
解析： ∵对数ln (x2－5x＋6)存在，
∴x2－5x＋6>0，
∴解得3答案： (－∞，2)∪(3，＋∞)
11．loga2＝m，loga3＝n(a>0且a≠1)，则am＋n＝________，am－n＝________．
解析： 因为loga2＝m，loga3＝n，
所以am＝2，an＝3.
所以am＋n＝am·an＝6，am－n＝＝.
答案： 6
12．(1)证明对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).
(2)利用对数恒等式计算3log34－lg 10＋2ln 1.
解析： (1)证明：由ax＝N得x＝logaN，
把后者代入前者得alogaN＝N.
(2)原式＝3log34－1＋20
＝3log34÷31＋1
＝＋1＝.课时作业(三十一) 对数的概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．方程2log3x＝的解是( )
A． B． C． D．9
2．已知log7 ＝0，那么x－等于( )
A． B． C． D．
3．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
4．(多选)(2021·湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )
A．log24＝2 B．2.10.5>2.1－1.8
C．3log32＝2 D．－ln e＝1
5．把对数式log84＝x化成指数式是__________；可求
x＝__________．
6．3log32＋log21＋log55＝__________．
7．解答下列各题．
(1)计算：lg 0.000 1；log2；log3.12(log1515).
(2)已知log4x＝－，log3(log2y)＝1，求xy的值．
8．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
9．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝dc
C．c＝ad D．d＝a＋c
10．若对数ln (x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为____________．
11．loga2＝m，loga3＝n(a>0且a≠1)，则am＋n＝________，am－n＝________．
12．(1)证明对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).
(2)利用对数恒等式计算3log34－lg 10＋2ln 1.