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第四章
指数函数与对数函数
没有
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业(二十七)
谢谢观看!
(2)原式=-3X3a号a2ab立b3b号
=-9a号+专-寸b+寸-号
=-9a.
《8)探我=-()+6×L(分)
8+×台
3
2第2课时 分数指数幂、无理数指数幂
知识点一 分数指数幂的意义
[问题导引] 观察下列各式,你能得出什么结论?
(1)==22=2.
(2)==44=4.
提示: 通过观察两式可以得出,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正分数指数幂 a=
负分数指数幂 a-==
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
[点拨] (1)分数指数幂a不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.
(2)把根式化成分数指数幂的形式时,不要轻易对进行约分.
用根式的形式表示下列各式(x>0,y>0):
(1)x=______;(2)x-=______;(3)x-y=______.
答案: (1) (2) (3)
即时练1.用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数):
(1) ;(2);(3).
解析: (1)=a.
(2)==a-.
(3)=
=ba-=a-b.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
知识点二 有理数指数幂的运算性质
1.aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).
2.(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).
3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
[点拨] 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
(链接教材P106 例2)
求值:(1);
(2)+2-2×-0.010.5.
解析: (1)====.
(2)原式=1+×-=1+-=.
关于指数幂的求值
如果底数为带分数,则先化为假分数,再化为幂的形式,利用指数幂的运算性质进行运算.
(链接教材P106 例3、例4)
计算或化简下列各式(式中的字母均是正数):
(1)(×)6-4-×80.25-(-2.022)0;
(2)·(a>0,b>0).
解析: (1)原式=(2×3)6-4×-2×(23)-1
=2×6×3×6-4×-(2×23)-1
=22×33-4×-(24)-1
=4×27-4×-2-1
=98.
(2)原式=·a·a-·b-·b
=a0b0
=.
1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于运用指数幂的运算性质.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算性质求解.
即时练2.计算:(1)+8+(-1)0;
(2)216+-343-.
解析: (1)原式=2+(23)+1
=2+22+1
=7.
(2)原式=(63)+32-(73)-(5-3)-
=36+9-7-5=33.
即时练3.化简下列各式:
(1)(x·y·z-1)·(x-1·y·z3)-(x>0,y>0,z>0);
(2)+(a-+1)0.
解析: (1)原式=(xyz-1)·(xy-z-1)
=x+·y-·z-1-1=xz-2.
(2)原式=+1=1+1=2.
条件求值问题
已知,求下列各式的值:
(1)a+a-1;(2)a2+a-2.
解析: (1)将=3两边平方,得a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.
(2)对(1)中的式子两边平方,得a2+a-2+2=49,
所以a2+a-2=47.
解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时,往往先将所求式子进行有目的的变形,或先对条件加以变形,构建所求式子与条件等式的联系,以便用整体代入法求值.
(2)在利用整体代入的方法求值时,要注意完全平方公式的应用.
即时练4.已知a+a-1=34,则=________.
答案: 6
1.已知a>0,则=( )
2.计算的结果是( )
A. B. - C.2 D.
3.(多选)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.-=(-x)(x>0)
B.=y(y>0)
C.x-y=(x>0,y>0)
D.x-=-(x>0)
BC [对于A,-=-x(x>0),故A错误;对于B,=y(y>0),故B正确;对于C,x-y=(x>0,y>0),故C正确;对于D,x-=(x>0),故D错误.]
4.计算: ( )
A.-3 B.- C.3 D.
5.化简下列各式(a>0,b>0):
课时作业(二十七) 分数指数幂、无理数指数幂
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
[基础达标]
1.下列运算结果中,正确的是( )
A.(-a2)3=(-a3)2 B.(-a2)3=a6
C.a2·a3=a5 D.=a
C [对于选项A:(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故选项A错误;
对于选项B:(-a2)3=-a6,故选项B错误;
对于选项C:a2·a3=a5,故选项C正确;
对于选项D:当n为偶数时,=|a|;当n为奇数时,=a,故选项D错误.]
2.-(1-0.5-2)÷的值为( )
A.- B. C. D.
D [原式=1-(1-22)÷=1-(-3)×=.故选D.]
3.(2021·重庆南开中学高一月考)已知a>0,则=( )
A.a B.a C.a- D.a
B [===a.故选B.]
4.(多选)下列各式运算正确的是( )
A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6
D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18
ABD [对于A,(-a2b)2·(-ab2)3=a4b2·(-a3b6)=-a7b8,故A正确;对于B,(-a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故B正确;对于C,(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6,故C错误;对于D,易知正确,故选ABD.]
5.计算:0.25×(-)-4-4÷20-()-=__________.
解析: 原式=×16-4÷1-()-1=4-4-4=-4.
答案: -4
6.计算: ÷=__________.
解析: 因为有意义,所以a>0,所以原式=÷ =÷=a÷a=1.
答案: 1
7.计算与化简:
[能力提升]
8.计算:3π×+(22)+1的值为( )
A.17 B.18 C.6 D.5
B [3π×+(22)+1=+22×+1=1π+24+1=18.]
9.设x,y是正数,且xy=yx,y=9x,则x的值为( )
A. B. C.1 D.
B [∵xy=yx,y=9x,∴x9x=(9x)x,∴(x9)x=(9x)x,∴x9=9x,∴x8=9.∴x==.]
10.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=________,(2α)β=________.
解析: 由根与系数的关系得α+β=-2,αβ=.
则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=2.
答案: 2
11.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为________.
解析: 因为
所以①×②得a3m=26,所以am=22.
将am=22代入②,得22·a-n=28,所以an=2-6,
所以a4m+n=a4m·an=(am)4·an=(22)4×2-6=22=4.
答案: 4
12.已知函数f(x)=(a>0,a≠1,a为常数,x∈R).
(1)若f(m)=6,求f(-m)的值;
(2)若f(1)=3,求f(2),f的值.
解析: (1)∵f(m)=6,∴=6,
∴f(-m)==6.
(2)∵f(1)=3,∴=3,∴a+a-1=6,
∴f(2)===17.
∵(a+a-)2=a+a-1+2=8,
∴a+a-=2,
∴f==.第2课时 分数指数幂、无理数指数幂
知识点一 分数指数幂的意义
[问题导引] 观察下列各式,你能得出什么结论?
(1)==22=2.
(2)==44=4.
提示: 通过观察两式可以得出,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正分数指数幂 a=
负分数指数幂 a-==
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
[点拨] (1)分数指数幂a不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.
(2)把根式化成分数指数幂的形式时,不要轻易对进行约分.
用根式的形式表示下列各式(x>0,y>0):
(1)x=______;(2)x-=______;(3)x-y=______.
即时练1.用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数):
(1) ;(2);(3).
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
知识点二 有理数指数幂的运算性质
1.aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).
2.(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).
3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
[点拨] 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
(链接教材P106 例2)
求值:(1);
(2)+2-2×-0.010.5.
关于指数幂的求值
如果底数为带分数,则先化为假分数,再化为幂的形式,利用指数幂的运算性质进行运算.
(链接教材P106 例3、例4)
计算或化简下列各式(式中的字母均是正数):
(1)(×)6-4-×80.25-(-2.022)0;
(2)·(a>0,b>0).
1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于运用指数幂的运算性质.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
(2)运用分数指数幂的运算性质求解.
即时练2.计算:(1)+8+(-1)0;
(2)216+-343-.
即时练3.化简下列各式:
(1)(x·y·z-1)·(x-1·y·z3)-(x>0,y>0,z>0);
(2)+(a-+1)0.
条件求值问题
已知,求下列各式的值:
(1)a+a-1;(2)a2+a-2.
解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时,往往先将所求式子进行有目的的变形,或先对条件加以变形,构建所求式子与条件等式的联系,以便用整体代入法求值.
(2)在利用整体代入的方法求值时,要注意完全平方公式的应用.
即时练4.已知a+a-1=34,则=________.
1.已知a>0,则=( )
2.计算的结果是( )
A. B. - C.2 D.
3.(多选)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.-=(-x)(x>0)
B.=y(y>0)
C.x-y=(x>0,y>0)
D.x-=-(x>0)
4.计算: ( )
A.-3 B.- C.3 D.
5.化简下列各式(a>0,b>0):
课时作业(二十七) 分数指数幂、无理数指数幂
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
[基础达标]
1.下列运算结果中,正确的是( )
A.(-a2)3=(-a3)2 B.(-a2)3=a6
C.a2·a3=a5 D.=a
2.-(1-0.5-2)÷的值为( )
A.- B. C. D.
3.(2021·重庆南开中学高一月考)已知a>0,则=( )
A.a B.a C.a- D.a
4.(多选)下列各式运算正确的是( )
A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6
D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18
5.计算:0.25×(-)-4-4÷20-()-=__________.
6.计算: ÷=__________.
7.计算与化简:
[能力提升]
8.计算:3π×+(22)+1的值为( )
A.17 B.18 C.6 D.5
9.设x,y是正数,且xy=yx,y=9x,则x的值为( )
A. B. C.1 D.
10.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=________,(2α)β=________.
11.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为________.
12.已知函数f(x)=(a>0,a≠1,a为常数,x∈R).
(1)若f(m)=6,求f(-m)的值;
(2)若f(1)=3,求f(2),f的值.课时作业(二十七) 分数指数幂、无理数指数幂
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
[基础达标]
1.下列运算结果中,正确的是( )
A.(-a2)3=(-a3)2 B.(-a2)3=a6
C.a2·a3=a5 D.=a
C [对于选项A:(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故选项A错误;
对于选项B:(-a2)3=-a6,故选项B错误;
对于选项C:a2·a3=a5,故选项C正确;
对于选项D:当n为偶数时,=|a|;当n为奇数时,=a,故选项D错误.]
2.-(1-0.5-2)÷的值为( )
A.- B. C. D.
D [原式=1-(1-22)÷=1-(-3)×=.故选D.]
3.(2021·重庆南开中学高一月考)已知a>0,则=( )
A.a B.a C.a- D.a
B [===a.故选B.]
4.(多选)下列各式运算正确的是( )
A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6
D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18
ABD [对于A,(-a2b)2·(-ab2)3=a4b2·(-a3b6)=-a7b8,故A正确;对于B,(-a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故B正确;对于C,(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6,故C错误;对于D,易知正确,故选ABD.]
5.计算:0.25×(-)-4-4÷20-()-=__________.
解析: 原式=×16-4÷1-()-1=4-4-4=-4.
答案: -4
6.计算: ÷=__________.
解析: 因为有意义,所以a>0,所以原式=÷ =÷=a÷a=1.
答案: 1
7.计算与化简:
[能力提升]
8.计算:3π×+(22)+1的值为( )
A.17 B.18 C.6 D.5
B [3π×+(22)+1=+22×+1=1π+24+1=18.]
9.设x,y是正数,且xy=yx,y=9x,则x的值为( )
A. B. C.1 D.
B [∵xy=yx,y=9x,∴x9x=(9x)x,∴(x9)x=(9x)x,∴x9=9x,∴x8=9.∴x==.]
10.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=________,(2α)β=________.
解析: 由根与系数的关系得α+β=-2,αβ=.
则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=2.
答案: 2
11.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为________.
解析: 因为
所以①×②得a3m=26,所以am=22.
将am=22代入②,得22·a-n=28,所以an=2-6,
所以a4m+n=a4m·an=(am)4·an=(22)4×2-6=22=4.
答案: 4
12.已知函数f(x)=(a>0,a≠1,a为常数,x∈R).
(1)若f(m)=6,求f(-m)的值;
(2)若f(1)=3,求f(2),f的值.
解析: (1)∵f(m)=6,∴=6,
∴f(-m)==6.
(2)∵f(1)=3,∴=3,∴a+a-1=6,
∴f(2)===17.
∵(a+a-)2=a+a-1+2=8,
∴a+a-=2,
∴f==.课时作业(二十七) 分数指数幂、无理数指数幂
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
[基础达标]
1.下列运算结果中,正确的是( )
A.(-a2)3=(-a3)2 B.(-a2)3=a6
C.a2·a3=a5 D.=a
2.-(1-0.5-2)÷的值为( )
A.- B. C. D.
3.(2021·重庆南开中学高一月考)已知a>0,则=( )
A.a B.a C.a- D.a
4.(多选)下列各式运算正确的是( )
A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6
D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18
5.计算:0.25×(-)-4-4÷20-()-=__________.
6.计算: ÷=__________.
7.计算与化简:
[能力提升]
8.计算:3π×+(22)+1的值为( )
A.17 B.18 C.6 D.5
9.设x,y是正数,且xy=yx,y=9x,则x的值为( )
A. B. C.1 D.
10.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=________,(2α)β=________.
11.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为________.
12.已知函数f(x)=(a>0,a≠1,a为常数,x∈R).
(1)若f(m)=6,求f(-m)的值;
(2)若f(1)=3,求f(2),f的值.