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第四章
指数函数与对数函数
n次方根
根指数
被开方数
a
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（二十六）
谢谢观看！4．1第1课时 n次方根
知识点 n次方根
[问题导引1] 如果x2＝a，则x叫做a的平方根，记作x＝±；如果x3＝a，则x叫做a的三次方根(立方根)，记作x＝；若x4＝a呢？
提示： 若x4＝a，则x叫做a的4次方根，记作x＝±.
[问题导引2] 如果xn＝a，则x叫做a的什么？如何表示？
提示： 若xn＝a，则x叫做a的n次方根，若n为奇数，则x＝；若n为偶数，则x＝±(a≥0).
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0 x在实数范围内不存在
[点拨] 在根式符号中，注意以下几点：
(1)n>1，n∈N＋.
(2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义．
(3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义．
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：(n>1，且n∈N*)
①()n＝a．
[点拨] 和()n不一样，中a可以取任意实数，而()n中因为要保证有意义，所以a的取值受n的限制．
(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．
(2)若有意义，则实数x的取值范围是________．
解析： (1)∵(±4)2＝16，
∴16的平方根为±4，－27的5次方根为.
(2)要使有意义，
则需x－2≥0，即x≥2.
因此实数x的取值范围是[2，＋∞).
答案： (1)±4 (2)[2，＋∞)
判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
即时练1.(多选)已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子，其中有意义的是( )
A． B．
C． D．
BCD [∵－22n<0，∴无意义，B、C、D都有意义．]
即时练2.求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
解析： ＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得a∈[－3，3].
即实数a的取值范围是[－3，3].
(链接教材P105 例1)
(1)式子＋()3的值等于________；
(2)求值：＋(a1且n∈N*).
解析： (1)依题意，原式＝|－2|＋(－2)＝2－2＝0.
(2)当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2A．
当n是偶数时，
因为a所以a－b<0，a＋b<0.
所以原式＝－(a－b)－(a＋b)＝－2A．
所以＋＝
答案： (1)0
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．
(2)注意点
①正确区分()n与.
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
即时练3.化简下列各式：
(1)＋；
(2)＋＋.
解析： (1)因为＝|3－π|＝π－3，＝－π－3.
所以原式＝π－3－π－3＝－6.
(2)原式＝|－5|＋＋＝5＋2－3＝4.
有限制条件的根式的运算
(1)若x<0，则x＋|x|＋＝__________．
(2)若－3解析： (1)∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.
(2)－
＝－
＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1综上，原式＝
答案： (1)－1
[一题多变]
1．(变设问)在本例(1)条件不变的情况下，求＋的值．
解析： ＋＝x＋＝x＋1.
2．(变条件)将本例(2)的条件“－3解析： 原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
即时练4.当有意义时，化简－.
解析： 因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，
所以原式＝－＝(2－x)－(3－x)＝－1.
1．下列各式正确的是( )
A．＝－3 B．＝a
C．＝2 D．＝2
C [由于＝3，＝|a|，＝－2，故A、B、D错误．]
2．下列说法中正确的是( )
A．＝3
B．16的4次方根是±2
C．＝±4
D．＝x＋y
B [负数的3次方根是一个负数，＝－3，故A错误；
16的4次方根有两个，为±2，故B正确；
＝4，故C错误；
是非负数，所以＝|x＋y|，故D错误．]
3．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0
B [∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy<0，故选B．]
4．化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6.
解析： (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
课时作业(二十六) n次方根
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知m10＝2，则m＝( )
A． B．－ C． D．±
D [因为m10＝2，所以m是2的10次方根．
又10是偶数，
所以2的10次方根有两个，且互为相反数．
所以m＝±.]
2．(2020·四川成都高一期中)下列各式正确的是( )
A．＝
B．＝3－π
C．＝|a|(n>1，n∈N*)
D．()n＝a(n>1，n∈N*)
D [A选项中，因为<0，>0，所以≠，所以A不正确；
B选项中，因为＝π－3，所以B不正确；
C选项中，因为＝所以C不正确；
D选项中，因为()n＝a(n>1，n∈N*)，所以D正确．故选D．]
3．(2021·广西玉林师院附中、玉林十一中等五校高一(上)期中联考)若a<，则的化简结果是( )
A． B．
C．－ D．－
A [∵a<，∴4a－1<0，∴＝.故选A．]
4．(多选)若xn＝a(x≠0，n>1，n∈N*)，则( )
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
BD [当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以B，D说法是正确的，故选BD．]
5．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．
解析： 因为81的平方根为±9，所以a＝±9.
因为－8的立方根为－2，所以b＝－2，
所以a＋b＝－11或a＋b＝7.
答案： －11或7
6．有下列说法：
① ＝5；② ＝±3；③ ＝|x＋y|.
其中，正确的有________(填序号).
解析： n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，＝－5，故①错误；＝3，故②错误；是非负数，故＝|x＋y|，故③正确．
答案： ③
7．求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
解析： (1)＝－2.
(2)∵a≤1，∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3A．
(3)＋＝a＋|1－a|＝
[能力提升]
8．若nA．2m B．2n C．－2m D．－2n
C [原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.]
9．已知ab＝－5，则a ＋b 的值是( )
A．2 B．0 C．－2 D．±2
B [由题意知ab<0，a ＋b ＝a ＋b ＝a＋b＝a＋b＝0，故选B．]
10．若＋＝0，则x2 020＋y2 021＝__________．
解析： ∵≥0，≥0，且＋＝0，
∴即
∴x2 020＋y2 021＝1－1＝0.
答案： 0
11．若＝，则实数a的取值范围是________．
解析： ∵＝＝＝，∴1－3a≥0，∴a≤.
答案：
12．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值．
解析： y＝＋
＝|2x＋1|＋|2x－3|＝
其图象如图所示．
由图易知函数的最小值为4.4．1第1课时 n次方根
知识点 n次方根
[问题导引1] 如果x2＝a，则x叫做a的平方根，记作x＝±；如果x3＝a，则x叫做a的三次方根(立方根)，记作x＝；若x4＝a呢？
提示： 若x4＝a，则x叫做a的4次方根，记作x＝±.
[问题导引2] 如果xn＝a，则x叫做a的什么？如何表示？
提示： 若xn＝a，则x叫做a的n次方根，若n为奇数，则x＝；若n为偶数，则x＝±(a≥0).
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0 x在实数范围内不存在
[点拨] 在根式符号中，注意以下几点：
(1)n>1，n∈N＋.
(2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义．
(3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义．
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：(n>1，且n∈N*)
①()n＝a．
[点拨] 和()n不一样，中a可以取任意实数，而()n中因为要保证有意义，所以a的取值受n的限制．
(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．
(2)若有意义，则实数x的取值范围是________．
判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
即时练1.(多选)已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子，其中有意义的是( )
A． B．
C． D．
即时练2.求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
(链接教材P105 例1)
(1)式子＋()3的值等于________；
(2)求值：＋(a1且n∈N*).
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．
(2)注意点
①正确区分()n与.
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
即时练3.化简下列各式：
(1)＋；
(2)＋＋.
有限制条件的根式的运算
(1)若x<0，则x＋|x|＋＝__________．
(2)若－3[一题多变]
1．(变设问)在本例(1)条件不变的情况下，求＋的值．
2．(变条件)将本例(2)的条件“－3有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
即时练4.当有意义时，化简－.
1．下列各式正确的是( )
A．＝－3 B．＝a
C．＝2 D．＝2
2．下列说法中正确的是( )
A．＝3
B．16的4次方根是±2
C．＝±4
D．＝x＋y
3．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0
4．化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6.
课时作业(二十六) n次方根
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知m10＝2，则m＝( )
A． B．－ C． D．±
2．(2020·四川成都高一期中)下列各式正确的是( )
A．＝
B．＝3－π
C．＝|a|(n>1，n∈N*)
D．()n＝a(n>1，n∈N*)
3．(2021·广西玉林师院附中、玉林十一中等五校高一(上)期中联考)若a<，则的化简结果是( )
A． B．
C．－ D．－
4．(多选)若xn＝a(x≠0，n>1，n∈N*)，则( )
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
5．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．
6．有下列说法：
① ＝5；② ＝±3；③ ＝|x＋y|.
其中，正确的有________(填序号).
7．求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
8．若nA．2m B．2n C．－2m D．－2n
9．已知ab＝－5，则a ＋b 的值是( )
A．2 B．0 C．－2 D．±2
10．若＋＝0，则x2 020＋y2 021＝__________．
11．若＝，则实数a的取值范围是________．
12．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值．课时作业(二十六) n次方根
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知m10＝2，则m＝( )
A． B．－ C． D．±
D [因为m10＝2，所以m是2的10次方根．
又10是偶数，
所以2的10次方根有两个，且互为相反数．
所以m＝±.]
2．(2020·四川成都高一期中)下列各式正确的是( )
A．＝
B．＝3－π
C．＝|a|(n>1，n∈N*)
D．()n＝a(n>1，n∈N*)
D [A选项中，因为<0，>0，所以≠，所以A不正确；
B选项中，因为＝π－3，所以B不正确；
C选项中，因为＝所以C不正确；
D选项中，因为()n＝a(n>1，n∈N*)，所以D正确．故选D．]
3．(2021·广西玉林师院附中、玉林十一中等五校高一(上)期中联考)若a<，则的化简结果是( )
A． B．
C．－ D．－
A [∵a<，∴4a－1<0，∴＝.故选A．]
4．(多选)若xn＝a(x≠0，n>1，n∈N*)，则( )
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
BD [当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以B，D说法是正确的，故选BD．]
5．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．
解析： 因为81的平方根为±9，所以a＝±9.
因为－8的立方根为－2，所以b＝－2，
所以a＋b＝－11或a＋b＝7.
答案： －11或7
6．有下列说法：
① ＝5；② ＝±3；③ ＝|x＋y|.
其中，正确的有________(填序号).
解析： n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，＝－5，故①错误；＝3，故②错误；是非负数，故＝|x＋y|，故③正确．
答案： ③
7．求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
解析： (1)＝－2.
(2)∵a≤1，∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3A．
(3)＋＝a＋|1－a|＝
[能力提升]
8．若nA．2m B．2n C．－2m D．－2n
C [原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.]
9．已知ab＝－5，则a ＋b 的值是( )
A．2 B．0 C．－2 D．±2
B [由题意知ab<0，a ＋b ＝a ＋b ＝a＋b＝a＋b＝0，故选B．]
10．若＋＝0，则x2 020＋y2 021＝__________．
解析： ∵≥0，≥0，且＋＝0，
∴即
∴x2 020＋y2 021＝1－1＝0.
答案： 0
11．若＝，则实数a的取值范围是________．
解析： ∵＝＝＝，∴1－3a≥0，∴a≤.
答案：
12．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值．
解析： y＝＋
＝|2x＋1|＋|2x－3|＝
其图象如图所示．
由图易知函数的最小值为4.课时作业(二十六) n次方根
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知m10＝2，则m＝( )
A． B．－ C． D．±
2．(2020·四川成都高一期中)下列各式正确的是( )
A．＝
B．＝3－π
C．＝|a|(n>1，n∈N*)
D．()n＝a(n>1，n∈N*)
3．(2021·广西玉林师院附中、玉林十一中等五校高一(上)期中联考)若a<，则的化简结果是( )
A． B．
C．－ D．－
4．(多选)若xn＝a(x≠0，n>1，n∈N*)，则( )
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
5．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．
6．有下列说法：
① ＝5；② ＝±3；③ ＝|x＋y|.
其中，正确的有________(填序号).
7．求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
8．若nA．2m B．2n C．－2m D．－2n
9．已知ab＝－5，则a ＋b 的值是( )
A．2 B．0 C．－2 D．±2
10．若＋＝0，则x2 020＋y2 021＝__________．
11．若＝，则实数a的取值范围是________．
12．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值．
