2024届福建省尤溪县新阳中学高三（上）开学考试数学试卷（文科）（含解析）

2024届福建省尤溪县新阳中学高三开学考试数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
4. “”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
5. 我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，若输出的单位：升，则器中米的数量应为( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
6. 抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是”的概率为( )
A. B. C. D.
7. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象个单位．( )
A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移
8. 已知函数，若，则等于( )
A. B. C. D.
9. 若，满足约束条件，则的最大值是( )
A. B. C. D.
10. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是( )
A. B. C. D.
11. 在正四棱台中，，，则该棱台外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的右支上一点作的一条渐近线的垂线，垂足为若的最小值为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若，则 ．
14. 双曲线的右焦点到直线的距离为________．
15. 设函数，则______．
16. 已知圆：与抛物线的准线相切，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设数列是首项为的等差数列，若是，的等比中项，且．
求的通项公式；
设，求数列的前项的和．
18. 本小题分
北京冬季奥运会将于年月日至年月日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事．北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核．为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取名志愿者的考核成绩，根据这名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示．
女志愿者考核成绩频率分布表
分组 频数 频率
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内．则考核等级为优秀．
分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
补全下面的列联表，并判断是否有的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关．
优秀 非优秀 合计
男志愿者
女志愿者
合计
参考公式：，其中．
参考数据：
19. 本小题分

如图，四面体中，，，，为的中点．
证明：平面平面；
设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

20. 本小题分
已知椭圆：长轴长为，离心率．
求椭圆的方程；
设过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围．
21. 本小题分
已知函数，．
求函数的图象在点处的切线方程；
求函数的单调递增区间．
22. 本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，是参数以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求的普通方程和的直角坐标方程；
若，交于，两点，点坐标为，求的值．
23. 本小题分
已知，，都是正数，且，证明：
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由，得．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算．
可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．
【解答】
解：；
又；
；
解得．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：根据题意，若，不一定有，比如，
反之，若，必有，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据题意，由不等式的性质分析“”与“”的关系，结合充分必要条件的概念分析可得答案．
本题考查充分必要条件的判定，涉及不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据程序框图反向运算知：
当输出时，，解得：；
由得：，解得：；
由得：，解得：．
故选：．
由程序框图反向计算即可推导得到结果．
本题考查了程序框图的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：抛掷两枚骰子的基本事件数为：；
抛掷两个骰子的点数之和为的基本事件为：，，，，共种，
所以，
故选：．
分别计算出抛掷的两个骰子的点数之和是的基本事件数，抛掷两枚骰子的基本事件数，即可解出．
本题考查了古典概型的概率计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为函数，
要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移单位．
故选：．
直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中的系数是易错点．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数值求法，考查数学运算能力，属于基础题．
由函数且可求得的值，然后可求得的值．
【解答】
解：由函数且，
得，
，
故选：．

9.【答案】
【解析】 解：作出，满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，
联立，解得，则，
平移直线，经过点时，
目标函数取得最大值，且最大值为，
故选：．
作出可行域，根据图象平移直线，进而找到最优解，即可得到答案．
本题考查简单的线性规划问题．考查数形结合思想以及运算求解能力．属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在存在零点，
而对于选项：令，即，解得，或或，故排除选项，
对于选项，令，即，解得，，故排除选项，
选项分母为恒为正，但是分子中是个周期函数，故函数图像在必定是正负周期出现，故错误，
故选：．
首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在存在零点，可排除，选项，再利用在的周期性可判断选项错误．
本题主要考查函数图像的识别，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，设正四棱台中上底面的中心为，下底面中心为，其外接球球心为，
作出正四棱台的轴截面，
，则，则，
同理：，
又由，易得，
球心在四棱台外部，设外接球的半径为，
则有，
即，解可得，
则该棱台外接球的表面积，
故选：．
根据题意，作出正四棱台的轴截面，分析可得外接球球心的位置，外接球的半径为，由此可得关于的方程，解可得的值，计算可得答案．
本题考查棱台表面积与外接球体积的求法，涉及正四棱台的几何结构，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，设原点为，
根据双曲线的定义可知，且当且仅当为线段上的点时等号成立，
所以，
因为的最小值为，即，
所以，此时为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为，
所以在中，，
因为，所以，即，
所以，则．
故选：．
结合与双曲线的定义，可判断当为渐近线的垂线时能得到的最小值，再利用渐近线的斜率的几何意义即可求解．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．
【解答】
解：，
．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．
求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】
解：双曲线的右焦点，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据分段函数解析式以及对数、指数运算，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
求得圆的圆心和半径，抛物线的准线方程，运用直线和圆相切的条件，解方程可得所求值．
本题考查抛物线和圆的方程与性质，以及直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
【解答】
解：圆：的圆心为，半径为，
抛物线的准线为，
由准线与圆相切，可得，
解得，
故答案为：．

17.【答案】解：数列是首项为的等差数列，设公差为，
若是，的等比中项，且，则，
即，解得舍去，
则；
由，可得，
则数列的前项的和．
【解析】由等差数列的通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求；
由对数的运算性质和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由频率分布直方图可得，培训考核等级为优秀的男志愿者人数为，
由频率分布表可得，，，，
培训考核等级为优秀的女志愿者人数为．
列联表如下：
优秀 非优秀 合计
男志愿者
女志愿者
合计
，
有的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关．
【解析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
根据已知，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及独立性检验公式，属于基础题．
19.【答案】证明：，，，
≌，
，又为的中点．
，
，为的中点．
，
又，、面，
平面，
又平面，
平面平面；
解：由可知，
，，
是等边三角形，边长为，
，，，，
，
，
又，，、平面，
平面，
由知≌，，连接，则，
，
当时，最短，此时的面积最小，
过点作于点，则，
平面，
，
，
，
三棱锥的体积．
【解析】本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题．
易证≌，所以，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；
由题意可知是边长为的等边三角形，进而求出，，，，由勾股定理可得，进而证得平面，连接，因为，则，所以当时，最短，此时的面积最小，求出此时点到平面的距离，从而求得此时三棱锥的体积．
20.【答案】解：由题意可得，，可得，，，
所以椭圆的方程为：；
由题意设直线的参数方程为：，为参数，，分别为，的参数，
将直线的方程为代入椭圆的方程为：，即，
可得，
所以，因为，
可得．
【解析】由长轴长的值及离心率，可得，的值，进而可得的值，进而求出椭圆的方程；
设直线的参数方程，代入椭圆的方程，可得关于参数的二次方程，求出两根之和，进而求出的方程．
本题考查求椭圆的方程及直线的参数方程与椭圆的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：已知函数，，
则，
则，，
则函数的图象在点处的切线方程为：，
即所求切线方程为：；
由可得：令，
解得，
即函数的单调递增区间为．
【解析】先求函数的导函数，然后求出切线的斜率，再求切线方程即可；
令，解得，即可求出函数的单调递增区间．
本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数求函数的单调区间，属基础题．
22.【答案】解：曲线的参数方程为，是参数，转换为普通方程为；
曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
把直线的参数式，代入，得到，
所以，，
故．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
将直线的参数式，代入，利用直线参数方程的几何意义，求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式，考查运算能力，属于基础题．
23.【答案】解：证明：，，都是正数，
，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以，
所以，
所以，得证．
证明：要使成立，只需证，
又因为，，，当且仅当时，同时取等．
所以，得证．
【解析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
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