【金版学案】2014-2015高中数学必修2苏教版分层演练：2.2.3　圆与圆的位置关系

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数学·必修2(苏教版)
2．2　圆与方程
2．2.3　圆与圆的位置关系
知识点一　圆与圆的位置关系
1．两圆x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0和x2＋y2－6x－12y－19＝0的位置关系是________．21·cn·jy·com
解析：圆心分别为O1(－3，－2)，O2 ( http: / / www.21cnjy.com )(3,6)，半径满足r＝4，r＝64，∴r1＝2，r2＝8.又O1O2＝＝10＝r1＋r2，∴两圆相外切．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：外切
2．已知0＜r＜2，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是________．【版权所有：21教育】
解析：∵两圆的圆心距为O1O2＝，又R＝，0＜r＜2，∴|R－r|＜O1O2＜|R＋r|，故两圆相交．21教育名师原创作品
答案：相交
3．若圆C1：x2＋y2＋m＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．21*cnjy*com
解析：因为圆C1以原点为圆心，而圆C2过原点，所以两圆无公共点必有圆C2内含于圆C1，从而－m>100，即m<－100.
答案：(－∞，－100)
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析：两圆相交其交点所在的直线方程为：(x－1)2＋(y－3)2－20－x2－y2＋10＝0，即：x＋3y＝0.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：x＋3y＝0
知识点二　利用圆与圆的关系确定圆的方程
5．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线x－y＋3＝0对称的圆的方程是________．
解析：已知圆方程为(x－1)2＋y2＝2，则该圆圆心关于直线x－y＋3＝0的对称点为(－3,4)，半径也是.
答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝2
6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是________．
解析：半径为1的圆内切于半径为6的圆．
答案：(x±4)2＋(y－6)2＝36
7．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
解析：求出两圆的交点后用待定系数法；或利用 ( http: / / www.21cnjy.com )圆系方程：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，又过点(3,1)代入求出λ＝－.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
知识点三　两圆的公切线与公共弦
8．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有________条．2-1-c-n-j-y
解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．
答案：3
9．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交于A、B两点，求公共弦AB的长．2·1·c·n·j·y
解析：由方程消去二次项得6x－6y＋6＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0，即x－y＋1＝0为所求的公共弦AB所在的直线的方程．圆C1即：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，　　21*cnjy*com
∴C1(－2,2)到直线AB的距离
d＝＝，
又圆C1半径r＝3，故弦长AB＝2＝3.
综合点一　与圆有关的最值问题
10．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则mn的最大值是________．www.21-cn-jy.com
解析：由直线mx＋2ny－ ( http: / / www.21cnjy.com )4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2,1)，∴2m＋2n－4＝0，m＋n＝2.
∴mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1.
答案：1
11．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．21·世纪*教育网
解析：圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1关于x轴的对称圆C′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1.
∴A(－1,1)到C′的圆心C′(2，－3)的距离AC′＝5.
∴从A发出的光线经x轴反射到圆C上一点的最短距离等于A到圆C′的圆心C′的距离减去半径长1.即dmin＝5－1＝4.
答案：4
12．过直线x＝2上一点M向以C为圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆(x＋5)2＋(y－1)2＝1作切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为________．21cnjy.com
解析：易知SMACB＝2S△MAC＝MA·AC＝显然MC的最小值为7，故四边形MACB的面积的最小值为＝4.
答案：4
综合点二　圆的位置关系及其应用
13．求圆C1：x2＋y2＋2kx ( http: / / www.21cnjy.com )＋k2－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距的最小值及相应的k值，并指出此时两圆的位置关系．【出处：21教育名师】
解析：两圆的圆心C1(－k,0)，C2(0，－k－1)，
∴圆心距C1C2＝＝，
当k＝－时，C1C2有最小值.
此时，两圆的方程为C1：2＋y2＝1，
C2：x2＋2＝1，由|r1－r2|＜d＜r1＋r2，可知两圆相交．
14．已知集合A＝{(x，y)|x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋y2＝4}，集合B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}．若A∩B中有且仅有一个元素，求r的值．
解析：∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆C1： ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋y2＝4与圆C2∶(x－3)2＋(y－4)2＝r2外切或内切．又∵圆心距C1C2＝5.∴r＝3或7.21世纪教育网版权所有
综合点三　轨迹与证明问题
15．已知两定圆O1：(x ( http: / / www.21cnjy.com )－1)2＋(y－1)2＝1，圆O2：(x＋5)2＋(y＋3)2＝4，动圆P恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P的轨迹方程．
解析：设动圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.21教育网
将此方程分别与圆O1，圆 ( http: / / www.21cnjy.com )O2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a)x＋(2－2b)y＋a2＋b2－r2－1＝0.(10＋2a)x＋(6＋2b)y＋30－a2－b2＋r2＝0.由于圆P平分两定圆的周长，所以公共弦分别过两圆圆心，从而有：www-2-1-cnjy-com
消去r2得：12a＋8b＋35＝0.
用(x，y)替换(a，b)得：点P的轨迹方程为：
12x＋8y＋35＝0.
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