3.4.2 函数模型及其应用（1）
教学目标：
1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；
2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；
3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.
教学重点：
一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．
教学难点：
从生活实例中抽象出数学模型.
教学过程：
一、问题情境
某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:
（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;
（2）计算10年后该城市的人口数；
（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万
（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？
二、学生活动
回答上述问题，并完成下列各题：
1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为 ．
2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱 ( http: / / www.21cnjy.com )数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数 ，其定义域为 ．
三、数学应用
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的 ( http: / / www.21cnjy.com )固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．
例2 大气温度y(℃)随着离开地面的高度x ( http: / / www.21cnjy.com )(km)增大而降低，到上空11 km为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．
求：（1） y与x的函数关系式；
（2）x＝3.5 km以及x＝12km处的气温．
变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．
四、建构数学
利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：
1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；
2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；
3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；
4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.
五、巩固练习
1．生产一定数量的商品时的 ( http: / / www.21cnjy.com )全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到 元．
2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机
器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的
部数x的函数关系式．
3．A，B两地相距150千米，某人以6 ( http: / / www.21cnjy.com )0千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为 ．
4．某车站有快、慢两种车，始发站距 ( http: / / www.21cnjy.com )终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？
5．某产品总成本C(万元)与产量x ( http: / / www.21cnjy.com )(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？
六、要点归纳与方法小结
1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；
2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．
七、作业
课本P100－练习1，2，3．
实际问题
建立数学某型
得到数学结果
解决实际问题3.4.2 函数模型及其应用（2）
教学目标：
1.能根据图形、表格等实际问题的情境建 ( http: / / www.21cnjy.com )立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；
2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.
教学重点：
在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.
教学难点：
对图、表的理解.
教学方法：
讲授法，尝试法.
教学过程：
一、情境创设
已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．
（1）将S表示成x的函数；
（2）求面积S的最大值，并求此时x的值．
二、学生活动
思考并完成上述问题．
三、例题解析
例1 有一块半径为R的半圆形钢 ( http: / / www.21cnjy.com )板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．
例2 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：
每间客房定价 20 18 16 14
住房率 65% 75% 85% 95%
要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？
例3 今年5月，荔枝上市．由历年的市场 ( http: / / www.21cnjy.com )行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD表示(市场售价的单位为元／500g)．
请写出市场售价S(t)(元)与上市时间t(天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．
练习：1．直角梯形OABC中，AB∥OC， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S＝f(t)的大致图象为( )
2．一个圆柱形容器的底部直径 ( http: / / www.21cnjy.com )是dcm，高是hcm，现在以vcm3/s的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x(cm)与注入溶液的时间t(s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
3．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( )
4．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．
（1）售价为15元时，销售利润为多少？
（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？
5．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：
f(t)＝，销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝
(0≤t≤40，tN)，求这种商品日销售金额的最大值．
四、小结
利用图、表建模；分段建模．
五、作业
课本P110－10．
A
B
O
C
D
E
A
B
C
D
O
5
7
10
10
40
60
t(天)
S(元)
x
t
O
A
B
C
y
l
t
S
A
1
2
1
3
C
t
t
S
1
2
1
3
D
t
S
1
2
1
3
B
S
1
2
2
3
h
V
H
A
B
C
D3.4.2 函数模型及其应用（3）
沭阳银河学校
教学目标：
1．学会通过数据拟合建立恰当的函数某型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测；
2．通过实例了解数据拟合的方法，进一步体会函数模型的广泛应用；
3．进一步培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.
教学重点：
了解数据的拟合，感悟函数的应用.
教学难点：
通过数据拟合建立恰当函数模型.
教学方法：
讲授法，尝试法．
教学过程：
一、情境问题
某工厂第一季度某产品月产量分别为1万 ( http: / / www.21cnjy.com )件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c（其中a，b，c为常数）．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？
二、学生活动
完成上述问题，并阅读课本第85页至第88页的内容，了解数据拟合的过程与方法．
三、数学建构
1．数据的拟合：数据拟合就是研究变量之间的关系，并给出近似的数学表达式的一种方式．
2．在处理数据拟合(预测或控制)问题时，通常需要以下几个步骤：
（1）根据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图；
（2）通过观察散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；
（3）根据所学知识，设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数
y＝kx＋b；对称型选二次函数y＝ax2＋bx＋c；单调型选指数型函数y＝abx＋c或反比例型函数y＝＋b．
（4）利用此函数解析式，根据条件对所给的问题进行预测和控制．
四、数学应用
例1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿 ( http: / / www.21cnjy.com )冷却规律来描述：设物体的初始温度为T0，经过一定时间t后的温度是T ，则T－Ta＝(T0－Ta)，(0.5)t/h其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．
现有一杯用880C热水冲的速 ( http: / / www.21cnjy.com )溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)．
例2 在经济学中，函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x+1)－f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台（xN*)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2（单位：元），其成本函数为C(x)＝500x＋4000（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？
例3 （见情境问题）
五、巩固练习
1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十 ( http: / / www.21cnjy.com )八洞，而初学者约160杆．初学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如图所示：
根据图中各点，请你从下列函数中：（1）y＝ax2＋bx＋c；（2）y＝k·ax＋b；（3）
y＝；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进展情况？
2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间/t 50 110 250
种植成本/y 150 108 150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本y与上市时间t的变化关系；
y＝at+b，y＝at2+bt+c，y＝abt，y＝alogbt
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
简答：
（1）由提供的数据描述西红柿的种植成本y与上 ( http: / / www.21cnjy.com )市时间t之间的变化关系不可能是常函数，因此用y＝at+b，y＝abt，y＝alogbt中的任一个描述时都应有a不等于0，此时这三个函数均为单调函数，这与表中所给数据不符合，所以，选取二次函数y＝at2+bt+c进行描述.
（2）略．
六、要点归纳与方法小结
处理数据拟合(预测或控制)问题时的解题步骤.
七、作业
课本P104习题3.4（2）－4．
0
20
40
60
80
100
120
140
160
80
100
120
140
160
练习总次数
打完18洞的杆数
