(共46张PPT)
第五章
三角函数
章末综合提升
思维导图 体系构建
核心素养 能力培优
单 元 综 合 评 价（五）
谢谢观看！
5π
1
6--
4
X
1
Y=
2
B[依题意，将y=sin(x一平)的图象向左平移
个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大
到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y=sin(x一
将其图象向左平移牙个单位长度
y=sin(x+是)的
所有点的横坐标扩大到原来的2倍
图象
f(x)=sin(号
十)的图象.]章末综合提升
素养一 数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．本章中三角函数定义体现学科素养中的数学抽象．
题型一 任意角三角函数的定义
1．已知角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝，则tan α＝( )
A．－ B．－
C． D．
A [角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝＝，得y＝4，则tan α＝＝－，故选A．]
2．(2021·上海卷)已知θ>0.存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos (nθ＋φ)<，则θ的最小值是________．
解析：
作出单位圆如图所示，由题意，nθ＋φ的终边要落在图中阴影部分区域(其中∠AOx＝∠BOx＝)，∴[(n＋1)θ＋φ]－(nθ＋φ)＝θ>∠AOB＝，由于cos (nθ＋φ)<对任意n∈N*都成立，
∴∈N*，即θ＝，k∈N*，又θ>，∴θ的最小值为.
答案：
素养二 数学运算
数学运算能促进学生有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，本章中，通过三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运算核心素养．
题型二 三角函数的求值
3．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝( )
A． B． C． D．
D [因为cos＝sin (－)＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos(2×)＝cos ＝.故选D．]
4．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝( )
A．－ B．－ C． D．
C [因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝＝＝.故选C．]
5．已知cosα＝－，且<α<π.
(1)求5sin(π＋α)－4tan(3π－α)的值；
(2)若0<β<，cos (β－α)＝，
求sin 的值．
解析： ∵cos α＝－，<α<π，
∴sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
(1)5sin(π＋α)－4tan(3π－α)＝－5sin α＋4tan α＝(－5)×＋4×＝－6；
(2)∵0<β<，<α<π，
∴－π<β－α<0，
又∵cos (β－α)＝，
∴sin (β－α)＝－＝－＝－，
∴cos β＝cos [(β－α)＋α]＝cos (β－α)cos α－sin (β－α)sin α＝×－×＝，
∴sin ＝cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝－.
素养三 直观想象
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．在本章中直观想象主要体现在三角函数图象的识别与应用中．
题型三 三角函数的图象
6．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f()＝________．
解析： 法一(五点作图法)由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos (2x＋φ).点(，0)可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，
即f(x)＝2cos (2x－).
所以f()＝2cos (2×－)＝－.
法二(代点法)由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期).所以T＝π，＝π，即ω＝2.又点(，0)在函数f(x)的图象上，所以2cos (2×＋φ)＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos (2x－)，所以f()＝2cos (2×－)＝－2cos ＝－.
答案： －
7．(多选)已知函数f(x)＝sin 的定义域为[m，n](m
A． B．
C． D．
CD [作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题，易得或所以n－m的值可能为区间内的任意实数．故选CD．]
素养四 逻辑推理
借助逻辑推理，学会有逻辑地思考问题；发现和提出数学命题；探索和表述论证过程；能够在比较复杂的情境中把握事物理解事物命题之间的关联，把握事物发展的脉络，把握知识结构；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力．在本章中，逻辑推理体现在三角函数的图象及性质，三角函数式的化简与证明等问题中．
题型四 三角函数式的化简与证明
8．求值：.
解析： 原式
＝
＝
＝
＝＝2.
9．求证：tan2x＋＝.
证明： 左边＝＋
＝
＝
＝
＝＝
＝
＝＝＝右边．原式得证．
题型五 三角函数图象变换
10．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图象，则f(x)＝( )
A．sin (－) B．sin (＋)
C．sin (2x－) D．sin (2x＋)
11．要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝cos 的图象上所有的点( )
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
B [将函数y＝cos 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数y＝cos 的图象，再将所得图象向右平行移动个单位长度，可得函数y＝cos x的图象，故选B．]
题型六 三角函数的性质
12．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是( )
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
A [令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为(0，)?[－，]，所以区间(0，)是函数f(x)的单调递增区间．故选A．]
13．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.讨论函数f(x)在上的单调性．
解析： ∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin (ωx－)，且T＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝sin .
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，则kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
∵x∈，∴令k＝0，则函数f(x)在上的单调递增区间为.
同理，其单调递减区间为.
素养五 数学建模
数学建模让学生学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验，在本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的应用．
题型七 三角函数模型的应用
14．通常情况下，同一地区一天的气温随时间变化的曲线接近于函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b的图象.2019年12月下旬某地区连续几天最高气温都出现在14时，最高气温为14 ℃；最低气温出现在凌晨2时，最低气温为零下2 ℃.
(1)请推测该地区该时段的气温函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，t∈[0，24))的解析式；
(2)23日上午9时某高中将举行阶段性考试，如果此时气温低于10 ℃(不考虑室内外的温差)，教师就要开空调，请问届时应该开空调吗？
解析： (1)A＝[14－(－2)]＝8，b＝×[14＋(－2)]＝6，由T＝24得ω＝＝.
所以f(t)＝8sin＋6.
又f(2)＝8sin＋6＝－2，
即sin ＝－1，故＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.又|φ|<π，所以φ＝－，
所以函数解析式为f(t)＝8sin＋6.
(2)当t＝9时，y＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10，气温低于10 ℃，满足开空调的条件，所以应该开空调．
单元综合评价(五) 三角函数
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )
A． B． C． D．
C [与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C．]
2.sin 15°＋sin 75°等于( )
A． B．1 C． D．
C [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋30°)＝.故选C．]
3．已知θ∈(0，π)，且满足cos 2θ＝cos θ，则tan θ＝( )
A．－ B．－ C． D．
A [由cos 2θ＝cos θ，得2cos2θ－cosθ－1＝0，
解得cos θ＝1或cos θ＝－.
∵θ∈(0，π)，∴cos θ＝－，则θ＝，
∴tan θ＝－.故选A．]
4．若α∈，且sin α＝，则sin －cos (π－α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
B [∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－，∴sin －cos (π－α)
＝sin α＋cos α＋cos α
＝sin α＋cos α
＝×－×＝－.]
5．下列函数中，最小正周期为π且为偶函数的是( )
A．f(x)＝tan 2x B．f(x)＝sin x cos x
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos2x－sin2x
D [对于A选项，函数f(x)＝tan2x的最小正周期为，该函数为奇函数，不符合要求；
对于B选项，f(x)＝sin x cos x＝sin 2x，则函数f(x)的最小正周期为＝π，且该函数为奇函数，不符合要求；
对于C选项，f(x)＝cos ＝－sin 2x，则函数f(x)的最小正周期为＝π，且该函数为奇函数，不符合要求；
对于D选项，f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，则函数f(x)的最小正周期为＝π，且该函数为偶函数，符合要求．故选D．]
6．将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A． B． C．0 D．－
B [将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，因为该函数是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.]
7．已知f(x)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，|φ|<，f(x)是奇函数，直线y＝1与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
A [因为f(x)是奇函数，
所以φ＝0，所以f(x)＝sin ωx.
又由已知得T＝，所以＝，
所以ω＝4，所以f(x)＝sin 4x.
由函数的解析式可知f(x)在上单调递减．故选A．]
8．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A．－ B．－ C． D．
A [由函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(x∈R)的部分图象可得·＝－，∴ω＝2.
再根据五点法作图可得2×＋φ＝0，∴φ＝－，
∴f(x)＝sin .
又∵x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，
∴(x1＋x2)＝，
∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin ＝sin ＝－sin ＝－，故选A．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列结论正确的是( )
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C．若角α的终边上有一点P(－3，4)，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
BC [选项A中，－＝－2π＋是第二象限角，A错误；选项B中，设半径为r，则·r＝π r＝3 S＝××32＝，B正确；选项C中，＝5，∴cos α＝－，C正确；选项D中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误．故选BC．]
10．已知函数f(x)＝|A cos (x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则( )
A．φ＝ B．φ＝
C．A＝2 D．A＝3
BC [由题图知：A＝＝2.
又f(0)＝|2cos φ＋1|＝2，
所以cos φ＝或cos φ＝－(舍)，
因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，
所以φ＝，故选BC．]
11．已知点(cos α，sin α)在直线y＝4x上，则( )
A．sin 2α＝ B．cos 2α＝－
C．tan ＝－ D．＝
ABD [由已知，得sin α＝4cos α，即tan α＝4.
sin 2α＝＝，选项A正确；
cos2α＝＝－，选项B正确；
tan＝＝－，选项C不正确；
＝(tan α＋1)＝，选项D正确．故选ABD．]
12．已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x，下列命题正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在区间上为增函数
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到
BC [f(x)＝sin 2x－＝sin (2x－)－，显然A错；x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝·sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝·sin ＝sin 的图象，故D错．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．
解析： ∵圆心角α＝54°＝，
∴l＝|α|·r＝6π(cm)，
∴扇形的周长为(6π＋40)cm.
答案： (6π＋40)cm
14．设α∈，若sin α＝，则cos ＝________．
解析： 由于α为锐角，
所以cos α＝＝，
所以cos＝cos α－sin α
＝×＝.
答案：
15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于________．
解析： f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin ＋a＋1.
当x∈时，2x＋∈，
∴f(x)min＝2·＋a＋1＝－4.
∴a＝－4.
答案： －4
16．已知函数f(x)＝sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________．(只需写出一组)
解析： 当a＝时，f＝sin (2x＋π)＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立．
答案： －1(答案不唯一)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值．
(2)求的值．
解析： (1)因为0<α<，sin α＝，
所以cos α＝，故tan α＝.
(2)
＝
＝
＝＝4.
18．(本小题满分12分)已知sin α＝，且α为第二象限角．
(1)求sin 2α的角；
(2)求tan 的值．
解析： (1)因为sin α＝，且α为第二象限角，
所以cos α＝－＝－，
故sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2)由(1)知tan α＝＝－，
故tan ＝＝＝.
19．(本小题满分12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.
(1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期；
(2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象．
解析： (1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，
∴y＝r sin (ωt＋φ)，t≥0，因此T＝.
(2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin ，其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到，如图所示．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
解析： f(x)＝sin2ωx＋sinωx sin
＝＋sin ωx cos ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋
＝sin ＋.
(1)因为f(x)最小正周期T＝π，
所以＝π，
解得ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝sin ＋，
当x∈时，
2x－∈，
所以sin ∈，
所以sin ＋∈，
即f(x)在上的取值范围为.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，且________．已知①函数f为偶函数；②f＝；③ x∈R，f(x)≤f.在这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
解析： ∵f(x)的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，
∴T＝2π，即＝2π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin (x＋φ).
方案一：选条件①.
(1)∵f＝2sin 为偶函数，
∴φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin .
(2)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
可得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
令k＝0，得－≤x≤，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间为(写成开区间也可得分).
方案二：选条件②.
(1)法一 ∵f＝2sin ＝，
∴sin ＝，
∴＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ或φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin .
法二 ∵f＝2sin ＝，
∴sin ＝，
又0<φ<，∴<＋φ<，
∴＋φ＝，即φ＝，∴f(x)＝2sin .
(2)同方案一．
方案三：选条件③.
∵ x∈R，f(x)≤f，∴f为f(x)的最大值，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝∴f(x)＝2sin .
(2)同方案一．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin (2x＋)(x∈R).
(1)填写下表，并用“五点法”画出f(x)在[0，π]上的图象；
(2)先将y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，最后将得到的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的对称轴方程．
解析： (1)由题意可得表格如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 0 － 0
可得图象如图所示．
(2)将y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到y＝sin (2x＋)＋1的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的可得到y＝sin (4x＋)＋1的图象，最后将得到的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin (4x－π＋)＋1＝sin (4x－)＋1的图象，即g(x)＝sin (4x－)＋1，
令4x－＝＋kπ，解得x＝＋，k∈Z，
所以g(x)的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.
阶段综合评价
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|－3A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0}
C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}
C [因为集合M＝{x|－32．命题“ x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是( )
A． x∈R，使得x2＋2x≥0
B． x∈R，使得x2＋2x>0
C． x∈R，都有x2＋2x≥0
D． x∈R，都有x2＋2x<0
C [命题“ x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是“ x∈R，都有x2＋2x≥0”，故选C．]
3．已知角θ的终边经过点，则sin2的值为( )
A． B． C． D．
C [由题意知cosθ＝－，
则sin2＝＝＝，故选C．]
4．主动降噪耳机工作的原理：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，交由内部芯片处理，通过喇叭发出反向声波，中和噪声(如图).已知某噪声的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<)的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过喇叭发出的反向声波曲线的解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
C [由题意，得A＝1，ω＝1，φ＝0，所以声波曲线为y＝sin x，则反向声波曲线为y＝－sin x，故选C．]
5．设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0A．－2 B．2 C．4 D．6
A [因为f(x)的周期为2，所以f ＝f 且f(9)＝f(1)，又f(x)为奇函数，所以f(－)＝－f ＝－2，f(－1)＝－f(1)，但f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝f(1)＝0，故f ＋f(9)＝－2，故选A．]
6．已知a，b是实数，则“a>b>0且cA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [c－>0，
又a>b>0，∴－>－>0 <，充分性成立，
反过来，不妨取a＝－1，d＝1，b＝1，c＝2，则<，但a>b>0且c7．设a＝，b＝tan (－130°)，c＝log1.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．cC [∵a＝＝30.6，又y＝3x在R上单调递增，
∴30.6>30.5＝，即a>.
∵函数y＝tan x在上单调递增，
b＝tan (－130°)＝－tan (180°－50°)＝tan 50°，
∴tan 45°∵对数函数y＝log1.3x在(0，＋∞)上单调递增，
∴c＝log1.30.4∴c8．设函数f(x)＝，且方程f(x)－k＋1＝0有三个不相等的实根，则k的取值范围为( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．[－1，0] D．[0，1]
B [f(x)＝的图象如下：
方程f(x)－k＋1＝0有三个不相等的实根等价于函数y＝f(x)的图象与y＝k－1的图象有三个交点，
所以－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知全集U＝R，函数y＝ln (1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝N B．M∩( UN)≠
C．M∩N＝U D．M ( UN)
AB [由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|010．下列命题是真命题的是( )
A．若幂函数f(x)＝xα的图象过点，则α＝－
B． x∈(0，1)，>logx
C． x∈(0，＋∞)，logx>logx
D．命题“ x∈R，sin x＋cos x<1”的否定是“ x∈R，sin x＋cos x≥1”
BD [选项A中，4＝ 2－α＝22 α＝－2，A错误；
选项B中，在同一平面直角坐标系中作出y＝与y＝logx的图象，设两图象交点的横坐标为x0，则当x0logx，B正确；
选项C中，取x＝2，log2＝－1，
log2＝－log32>－1，C错误；
选项D显然正确．故选BD．]
11．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则该称函数为“优美函数”：
① x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
② x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
则以下四个函数中不是“优美函数”的是( )
A．f(x)＝sin x
B．f(x)＝－2x3
C．f(x)＝1－x
D．f(x)＝ln (＋x)
ACD [由条件①，得f(x)是奇函数，由条件②，得f(x)是R上的减函数．
对于A，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于B，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于C，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于D，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选ACD．]
12．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)＝2sin (x－)
B．把f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象对应的函数在[－π，π]上单调递增
C．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是奇函数
D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称
ACD [由题图知T＝π－2π＝π，∴T＝6π.∴ω＝＝.∵f(2π)＝2，∴f(2π)＝2sin (＋φ)＝2，即sin (＋φ)＝1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin (x－)，故选项A正确．把f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象对应的函数为y＝2sin (x－)，∵x∈[－π，π]，∴－≤x－≤，∴y＝2sin (x－)在[－π，π]上不单调，故选项B错误．把f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin [(x＋)－]＝2sin ，是奇函数，故选项C正确；设x－＝nπ＋，n∈Z，∴x＝3nπ＋2π，∴当n＝－2时，x＝－4π，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称，故选项D正确．故选ACD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝＋log2(x－2)的定义域为________．
解析： 对于函数f(x)＝＋log2(x－2)，有解得2因此，函数f(x)＝＋log2(x－2)的定义域为(2，4).
答案： (2，4)
14．若a>0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为__________________________．
解析： 因为a＋b＝0，a>0，
所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．
答案： 3
15．人们通常以分贝(符号dB)为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为f(x)＝10lg (dB)，喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB，大货车鸣笛时，声音约为90 dB，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的________倍．
解析： 由f(x)＝10lg＝140可得x＝1012，
由f(x)＝10lg＝90可得x＝107.
所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的＝105倍．
答案： 105
16．已知函数f(x)＝sin ＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
解析： 函数f(x)＝sin ＋，ω>0，x∈R，
由f(α)＝－，f(β)＝，
且|α－β|的最小值为，
得＝，即T＝3π＝，
所以ω＝.
所以f(x)＝sin ＋.
则f＝sin ＋＝.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z.
答案： [－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知p：<1，q：x2－3ax＋2a2<0(其中a为常数，且a>0).
(1)若p为真，求x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解析： (1)由<1，得x>1或x<0，
即命题p是真命题时x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).
(2)由x2－3ax＋2a2<0得(x－a)(x－2a)<0，
因a>0，则a若p是q的必要不充分条件，
则q对应的集合是p对应的集合的真子集，
因a>0，则满足得a≥1，
即实数a的取值范围是[1，＋∞).
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
解析： (1)∵A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2∵A＝{x|3≤x≤7}，∴ RA＝{x|x<3或x>7}，
∴( RA)∩B＝{x|x<3，或x>7}∩{x|2(2)
在数轴上作出集合A，C，如图所示，当a>3时，A∩C≠ ，∴a>3.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos (x－)，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解析： (1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos ＝－2sin α＝，
所以sin α＝－.又α∈，
所以cos α＝＝＝，
所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin ＝2××＋2××＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式，并在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集．
解析： (1)∵点(4，2)在函数的图象上，
∴f(4)＝loga4＝2，解得a＝2.
∴f(x)＝
函数的图象如图所示．
(2)不等式f(x)<1等价于
或
解得0∴原不等式的解集为{x|021．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<)，f(x)图象上两相邻对称轴之间的距离为，________．
(1)给出下列三个条件：
①f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
②f(x)图象的一个对称中心为(，1)；
③f(x)的图象经过点(，0).
在这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式．
(2)若动直线x＝t(t∈[0，π])与f(x)和g(x)＝2sin x cos x的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析： (1)因为f(x)图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以f(x)的最小正周期为T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，此时f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1.
若选①，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
若选②，则＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
若选③，则f()＝2sin (＋φ)＋1＝0，
因为|φ|<，所以<＋φ<，所以＋φ＝，
解得φ＝，所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝2sin (2x＋)＋1－2sin x cos x＝2(sin 2x＋cos 2x)＋1－sin 2x＝cos 2x＋1，
所以h(t)＝cos 2t＋1.
因为t∈[0，π]，所以2t∈[0，2π]，
所以当2t＝0或2t＝2π，即t＝0或t＝π时，h(t)取得最大值，最大值为2.
故线段PQ长度的最大值为2，此时t＝0或t＝π.
22．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．
解析： (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
当a>0时，g(x)在[2，3]上单调递增，故
即解得
当a<0时，g(x)在[2，3]上单调递减，故
即解得
∵b<1，∴a＝1，b＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝x＋－2.
不等式f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
1＋－≥k.令＝m，则k≤m2－2m＋1.
∵x∈[－1，1]，
∴m∈.记h(m)＝m2－2m＋1＝(m－1)2，
则当m＝1时，h(m)min＝0，∴k≤0.
∴实数k的取值范围是(－∞，0].章末综合提升
素养一 数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．本章中三角函数定义体现学科素养中的数学抽象．
题型一 任意角三角函数的定义
1．已知角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝，则tan α＝( )
A．－ B．－
C． D．
2．(2021·上海卷)已知θ>0.存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos (nθ＋φ)<，则θ的最小值是________．
素养二 数学运算
数学运算能促进学生有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，本章中，通过三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运算核心素养．
题型二 三角函数的求值
3．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝( )
A． B． C． D．
4．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝( )
A．－ B．－ C． D．
5．已知cosα＝－，且<α<π.
(1)求5sin(π＋α)－4tan(3π－α)的值；
(2)若0<β<，cos (β－α)＝，
求sin 的值．
素养三 直观想象
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．在本章中直观想象主要体现在三角函数图象的识别与应用中．
题型三 三角函数的图象
6．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f()＝________．
7．(多选)已知函数f(x)＝sin 的定义域为[m，n](mA． B．
C． D．
素养四 逻辑推理
借助逻辑推理，学会有逻辑地思考问题；发现和提出数学命题；探索和表述论证过程；能够在比较复杂的情境中把握事物理解事物命题之间的关联，把握事物发展的脉络，把握知识结构；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力．在本章中，逻辑推理体现在三角函数的图象及性质，三角函数式的化简与证明等问题中．
题型四 三角函数式的化简与证明
8．求值：.
9．求证：tan2x＋＝.
题型五 三角函数图象变换
10．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图象，则f(x)＝( )
A．sin (－) B．sin (＋)
C．sin (2x－) D．sin (2x＋)
11．要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝cos 的图象上所有的点( )
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
题型六 三角函数的性质
12．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是( )
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
13．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.讨论函数f(x)在上的单调性．
素养五 数学建模
数学建模让学生学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验，在本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的应用．
题型七 三角函数模型的应用
14．通常情况下，同一地区一天的气温随时间变化的曲线接近于函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b的图象.2019年12月下旬某地区连续几天最高气温都出现在14时，最高气温为14 ℃；最低气温出现在凌晨2时，最低气温为零下2 ℃.
(1)请推测该地区该时段的气温函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，t∈[0，24))的解析式；
(2)23日上午9时某高中将举行阶段性考试，如果此时气温低于10 ℃(不考虑室内外的温差)，教师就要开空调，请问届时应该开空调吗？
单元综合评价(五) 三角函数
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )
A． B． C． D．
2.sin 15°＋sin 75°等于( )
A． B．1 C． D．
C [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋30°)＝.故选C．]
3．已知θ∈(0，π)，且满足cos 2θ＝cos θ，则tan θ＝( )
A．－ B．－ C． D．
4．若α∈，且sin α＝，则sin －cos (π－α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
5．下列函数中，最小正周期为π且为偶函数的是( )
A．f(x)＝tan 2x B．f(x)＝sin x cos x
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos2x－sin2x
6．将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A． B． C．0 D．－
7．已知f(x)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，|φ|<，f(x)是奇函数，直线y＝1与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
8．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A．－ B．－ C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列结论正确的是( )
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C．若角α的终边上有一点P(－3，4)，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
10．已知函数f(x)＝|A cos (x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则( )
A．φ＝ B．φ＝
C．A＝2 D．A＝3
11．已知点(cos α，sin α)在直线y＝4x上，则( )
A．sin 2α＝ B．cos 2α＝－
C．tan ＝－ D．＝
12．已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x，下列命题正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在区间上为增函数
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．
14．设α∈，若sin α＝，则cos ＝________．
15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于________．
16．已知函数f(x)＝sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________．(只需写出一组)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值．
(2)求的值．
18．(本小题满分12分)已知sin α＝，且α为第二象限角．
(1)求sin 2α的角；
(2)求tan 的值．
19．(本小题满分12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.
(1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期；
(2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，且________．已知①函数f为偶函数；②f＝；③ x∈R，f(x)≤f.在这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin (2x＋)(x∈R).
(1)填写下表，并用“五点法”画出f(x)在[0，π]上的图象；
(2)先将y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，最后将得到的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的对称轴方程．单元综合评价(五) 三角函数
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )
A． B． C． D．
C [与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C．]
2.sin 15°＋sin 75°等于( )
A． B．1 C． D．
C [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋30°)＝.故选C．]
3．已知θ∈(0，π)，且满足cos 2θ＝cos θ，则tan θ＝( )
A．－ B．－ C． D．
A [由cos 2θ＝cos θ，得2cos2θ－cosθ－1＝0，
解得cos θ＝1或cos θ＝－.
∵θ∈(0，π)，∴cos θ＝－，则θ＝，
∴tan θ＝－.故选A．]
4．若α∈，且sin α＝，则sin －cos (π－α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
B [∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－，∴sin －cos (π－α)
＝sin α＋cos α＋cos α
＝sin α＋cos α
＝×－×＝－.]
5．下列函数中，最小正周期为π且为偶函数的是( )
A．f(x)＝tan 2x B．f(x)＝sin x cos x
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos2x－sin2x
D [对于A选项，函数f(x)＝tan2x的最小正周期为，该函数为奇函数，不符合要求；
对于B选项，f(x)＝sin x cos x＝sin 2x，则函数f(x)的最小正周期为＝π，且该函数为奇函数，不符合要求；
对于C选项，f(x)＝cos ＝－sin 2x，则函数f(x)的最小正周期为＝π，且该函数为奇函数，不符合要求；
对于D选项，f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，则函数f(x)的最小正周期为＝π，且该函数为偶函数，符合要求．故选D．]
6．将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A． B． C．0 D．－
B [将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，因为该函数是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.]
7．已知f(x)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，|φ|<，f(x)是奇函数，直线y＝1与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
A [因为f(x)是奇函数，
所以φ＝0，所以f(x)＝sin ωx.
又由已知得T＝，所以＝，
所以ω＝4，所以f(x)＝sin 4x.
由函数的解析式可知f(x)在上单调递减．故选A．]
8．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A．－ B．－ C． D．
A [由函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(x∈R)的部分图象可得·＝－，∴ω＝2.
再根据五点法作图可得2×＋φ＝0，∴φ＝－，
∴f(x)＝sin .
又∵x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，
∴(x1＋x2)＝，
∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin ＝sin ＝－sin ＝－，故选A．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列结论正确的是( )
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C．若角α的终边上有一点P(－3，4)，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
BC [选项A中，－＝－2π＋是第二象限角，A错误；选项B中，设半径为r，则·r＝π r＝3 S＝××32＝，B正确；选项C中，＝5，∴cos α＝－，C正确；选项D中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误．故选BC．]
10．已知函数f(x)＝|A cos (x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则( )
A．φ＝ B．φ＝
C．A＝2 D．A＝3
BC [由题图知：A＝＝2.
又f(0)＝|2cos φ＋1|＝2，
所以cos φ＝或cos φ＝－(舍)，
因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，
所以φ＝，故选BC．]
11．已知点(cos α，sin α)在直线y＝4x上，则( )
A．sin 2α＝ B．cos 2α＝－
C．tan ＝－ D．＝
ABD [由已知，得sin α＝4cos α，即tan α＝4.
sin 2α＝＝，选项A正确；
cos2α＝＝－，选项B正确；
tan＝＝－，选项C不正确；
＝(tan α＋1)＝，选项D正确．故选ABD．]
12．已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x，下列命题正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在区间上为增函数
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到
BC [f(x)＝sin 2x－＝sin (2x－)－，显然A错；x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝·sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝·sin ＝sin 的图象，故D错．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．
解析： ∵圆心角α＝54°＝，
∴l＝|α|·r＝6π(cm)，
∴扇形的周长为(6π＋40)cm.
答案： (6π＋40)cm
14．设α∈，若sin α＝，则cos ＝________．
解析： 由于α为锐角，
所以cos α＝＝，
所以cos＝cos α－sin α
＝×＝.
答案：
15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于________．
解析： f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin ＋a＋1.
当x∈时，2x＋∈，
∴f(x)min＝2·＋a＋1＝－4.
∴a＝－4.
答案： －4
16．已知函数f(x)＝sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________．(只需写出一组)
解析： 当a＝时，f＝sin (2x＋π)＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立．
答案： －1(答案不唯一)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值．
(2)求的值．
解析： (1)因为0<α<，sin α＝，
所以cos α＝，故tan α＝.
(2)
＝
＝
＝＝4.
18．(本小题满分12分)已知sin α＝，且α为第二象限角．
(1)求sin 2α的角；
(2)求tan 的值．
解析： (1)因为sin α＝，且α为第二象限角，
所以cos α＝－＝－，
故sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2)由(1)知tan α＝＝－，
故tan ＝＝＝.
19．(本小题满分12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.
(1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期；
(2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象．
解析： (1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，
∴y＝r sin (ωt＋φ)，t≥0，因此T＝.
(2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin ，其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到，如图所示．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
解析： f(x)＝sin2ωx＋sinωx sin
＝＋sin ωx cos ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋
＝sin ＋.
(1)因为f(x)最小正周期T＝π，
所以＝π，
解得ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝sin ＋，
当x∈时，
2x－∈，
所以sin ∈，
所以sin ＋∈，
即f(x)在上的取值范围为.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，且________．已知①函数f为偶函数；②f＝；③ x∈R，f(x)≤f.在这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
解析： ∵f(x)的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，
∴T＝2π，即＝2π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin (x＋φ).
方案一：选条件①.
(1)∵f＝2sin 为偶函数，
∴φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin .
(2)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
可得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
令k＝0，得－≤x≤，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间为(写成开区间也可得分).
方案二：选条件②.
(1)法一 ∵f＝2sin ＝，
∴sin ＝，
∴＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ或φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin .
法二 ∵f＝2sin ＝，
∴sin ＝，
又0<φ<，∴<＋φ<，
∴＋φ＝，即φ＝，∴f(x)＝2sin .
(2)同方案一．
方案三：选条件③.
∵ x∈R，f(x)≤f，∴f为f(x)的最大值，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝∴f(x)＝2sin .
(2)同方案一．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin (2x＋)(x∈R).
(1)填写下表，并用“五点法”画出f(x)在[0，π]上的图象；
(2)先将y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，最后将得到的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的对称轴方程．
解析： (1)由题意可得表格如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 0 － 0
可得图象如图所示．
(2)将y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到y＝sin (2x＋)＋1的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的可得到y＝sin (4x＋)＋1的图象，最后将得到的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin (4x－π＋)＋1＝sin (4x－)＋1的图象，即g(x)＝sin (4x－)＋1，
令4x－＝＋kπ，解得x＝＋，k∈Z，
所以g(x)的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.单元综合评价(五) 三角函数
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )
A． B． C． D．
2.sin 15°＋sin 75°等于( )
A． B．1 C． D．
C [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋30°)＝.故选C．]
3．已知θ∈(0，π)，且满足cos 2θ＝cos θ，则tan θ＝( )
A．－ B．－ C． D．
4．若α∈，且sin α＝，则sin －cos (π－α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
5．下列函数中，最小正周期为π且为偶函数的是( )
A．f(x)＝tan 2x B．f(x)＝sin x cos x
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos2x－sin2x
6．将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A． B． C．0 D．－
7．已知f(x)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，|φ|<，f(x)是奇函数，直线y＝1与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
8．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A．－ B．－ C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列结论正确的是( )
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C．若角α的终边上有一点P(－3，4)，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
10．已知函数f(x)＝|A cos (x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则( )
A．φ＝ B．φ＝
C．A＝2 D．A＝3
11．已知点(cos α，sin α)在直线y＝4x上，则( )
A．sin 2α＝ B．cos 2α＝－
C．tan ＝－ D．＝
12．已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x，下列命题正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在区间上为增函数
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．
14．设α∈，若sin α＝，则cos ＝________．
15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于________．
16．已知函数f(x)＝sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________．(只需写出一组)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值．
(2)求的值．
18．(本小题满分12分)已知sin α＝，且α为第二象限角．
(1)求sin 2α的角；
(2)求tan 的值．
19．(本小题满分12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.
(1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期；
(2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，且________．已知①函数f为偶函数；②f＝；③ x∈R，f(x)≤f.在这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin (2x＋)(x∈R).
(1)填写下表，并用“五点法”画出f(x)在[0，π]上的图象；
(2)先将y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，最后将得到的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的对称轴方程．阶段综合评价
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|－3A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0}
C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}
C [因为集合M＝{x|－32．命题“ x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是( )
A． x∈R，使得x2＋2x≥0
B． x∈R，使得x2＋2x>0
C． x∈R，都有x2＋2x≥0
D． x∈R，都有x2＋2x<0
C [命题“ x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是“ x∈R，都有x2＋2x≥0”，故选C．]
3．已知角θ的终边经过点，则sin2的值为( )
A． B． C． D．
C [由题意知cosθ＝－，
则sin2＝＝＝，故选C．]
4．主动降噪耳机工作的原理：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，交由内部芯片处理，通过喇叭发出反向声波，中和噪声(如图).已知某噪声的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<)的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过喇叭发出的反向声波曲线的解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
C [由题意，得A＝1，ω＝1，φ＝0，所以声波曲线为y＝sin x，则反向声波曲线为y＝－sin x，故选C．]
5．设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0A．－2 B．2 C．4 D．6
A [因为f(x)的周期为2，所以f ＝f 且f(9)＝f(1)，又f(x)为奇函数，所以f(－)＝－f ＝－2，f(－1)＝－f(1)，但f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝f(1)＝0，故f ＋f(9)＝－2，故选A．]
6．已知a，b是实数，则“a>b>0且cA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [c－>0，
又a>b>0，∴－>－>0 <，充分性成立，
反过来，不妨取a＝－1，d＝1，b＝1，c＝2，则<，但a>b>0且c7．设a＝，b＝tan (－130°)，c＝log1.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．cC [∵a＝＝30.6，又y＝3x在R上单调递增，
∴30.6>30.5＝，即a>.
∵函数y＝tan x在上单调递增，
b＝tan (－130°)＝－tan (180°－50°)＝tan 50°，
∴tan 45°∵对数函数y＝log1.3x在(0，＋∞)上单调递增，
∴c＝log1.30.4∴c8．设函数f(x)＝，且方程f(x)－k＋1＝0有三个不相等的实根，则k的取值范围为( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．[－1，0] D．[0，1]
B [f(x)＝的图象如下：
方程f(x)－k＋1＝0有三个不相等的实根等价于函数y＝f(x)的图象与y＝k－1的图象有三个交点，
所以－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知全集U＝R，函数y＝ln (1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝N B．M∩( UN)≠
C．M∩N＝U D．M ( UN)
AB [由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|010．下列命题是真命题的是( )
A．若幂函数f(x)＝xα的图象过点，则α＝－
B． x∈(0，1)，>logx
C． x∈(0，＋∞)，logx>logx
D．命题“ x∈R，sin x＋cos x<1”的否定是“ x∈R，sin x＋cos x≥1”
BD [选项A中，4＝ 2－α＝22 α＝－2，A错误；
选项B中，在同一平面直角坐标系中作出y＝与y＝logx的图象，设两图象交点的横坐标为x0，则当x0logx，B正确；
选项C中，取x＝2，log2＝－1，
log2＝－log32>－1，C错误；
选项D显然正确．故选BD．]
11．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则该称函数为“优美函数”：
① x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
② x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
则以下四个函数中不是“优美函数”的是( )
A．f(x)＝sin x
B．f(x)＝－2x3
C．f(x)＝1－x
D．f(x)＝ln (＋x)
ACD [由条件①，得f(x)是奇函数，由条件②，得f(x)是R上的减函数．
对于A，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于B，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于C，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于D，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选ACD．]
12．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)＝2sin (x－)
B．把f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象对应的函数在[－π，π]上单调递增
C．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是奇函数
D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称
ACD [由题图知T＝π－2π＝π，∴T＝6π.∴ω＝＝.∵f(2π)＝2，∴f(2π)＝2sin (＋φ)＝2，即sin (＋φ)＝1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin (x－)，故选项A正确．把f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象对应的函数为y＝2sin (x－)，∵x∈[－π，π]，∴－≤x－≤，∴y＝2sin (x－)在[－π，π]上不单调，故选项B错误．把f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin [(x＋)－]＝2sin ，是奇函数，故选项C正确；设x－＝nπ＋，n∈Z，∴x＝3nπ＋2π，∴当n＝－2时，x＝－4π，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称，故选项D正确．故选ACD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝＋log2(x－2)的定义域为________．
解析： 对于函数f(x)＝＋log2(x－2)，有解得2因此，函数f(x)＝＋log2(x－2)的定义域为(2，4).
答案： (2，4)
14．若a>0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为__________________________．
解析： 因为a＋b＝0，a>0，
所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．
答案： 3
15．人们通常以分贝(符号dB)为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为f(x)＝10lg (dB)，喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB，大货车鸣笛时，声音约为90 dB，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的________倍．
解析： 由f(x)＝10lg＝140可得x＝1012，
由f(x)＝10lg＝90可得x＝107.
所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的＝105倍．
答案： 105
16．已知函数f(x)＝sin ＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
解析： 函数f(x)＝sin ＋，ω>0，x∈R，
由f(α)＝－，f(β)＝，
且|α－β|的最小值为，
得＝，即T＝3π＝，
所以ω＝.
所以f(x)＝sin ＋.
则f＝sin ＋＝.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z.
答案： [－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知p：<1，q：x2－3ax＋2a2<0(其中a为常数，且a>0).
(1)若p为真，求x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解析： (1)由<1，得x>1或x<0，
即命题p是真命题时x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).
(2)由x2－3ax＋2a2<0得(x－a)(x－2a)<0，
因a>0，则a若p是q的必要不充分条件，
则q对应的集合是p对应的集合的真子集，
因a>0，则满足得a≥1，
即实数a的取值范围是[1，＋∞).
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
解析： (1)∵A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2∵A＝{x|3≤x≤7}，∴ RA＝{x|x<3或x>7}，
∴( RA)∩B＝{x|x<3，或x>7}∩{x|2(2)
在数轴上作出集合A，C，如图所示，当a>3时，A∩C≠ ，∴a>3.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos (x－)，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解析： (1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos ＝－2sin α＝，
所以sin α＝－.又α∈，
所以cos α＝＝＝，
所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin ＝2××＋2××＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式，并在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集．
解析： (1)∵点(4，2)在函数的图象上，
∴f(4)＝loga4＝2，解得a＝2.
∴f(x)＝
函数的图象如图所示．
(2)不等式f(x)<1等价于
或
解得0∴原不等式的解集为{x|021．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<)，f(x)图象上两相邻对称轴之间的距离为，________．
(1)给出下列三个条件：
①f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
②f(x)图象的一个对称中心为(，1)；
③f(x)的图象经过点(，0).
在这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式．
(2)若动直线x＝t(t∈[0，π])与f(x)和g(x)＝2sin x cos x的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析： (1)因为f(x)图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以f(x)的最小正周期为T＝2×＝π，
所以ω＝＝2，此时f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1.
若选①，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
若选②，则＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
若选③，则f()＝2sin (＋φ)＋1＝0，
因为|φ|<，所以<＋φ<，所以＋φ＝，
解得φ＝，所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝2sin (2x＋)＋1－2sin x cos x＝2(sin 2x＋cos 2x)＋1－sin 2x＝cos 2x＋1，
所以h(t)＝cos 2t＋1.
因为t∈[0，π]，所以2t∈[0，2π]，
所以当2t＝0或2t＝2π，即t＝0或t＝π时，h(t)取得最大值，最大值为2.
故线段PQ长度的最大值为2，此时t＝0或t＝π.
22．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．
解析： (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
当a>0时，g(x)在[2，3]上单调递增，故
即解得
当a<0时，g(x)在[2，3]上单调递减，故
即解得
∵b<1，∴a＝1，b＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝x＋－2.
不等式f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
1＋－≥k.令＝m，则k≤m2－2m＋1.
∵x∈[－1，1]，
∴m∈.记h(m)＝m2－2m＋1＝(m－1)2，
则当m＝1时，h(m)min＝0，∴k≤0.
∴实数k的取值范围是(－∞，0].阶段综合评价
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|－3A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0}
C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}
2．命题“ x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是( )
A． x∈R，使得x2＋2x≥0
B． x∈R，使得x2＋2x>0
C． x∈R，都有x2＋2x≥0
D． x∈R，都有x2＋2x<0
3．已知角θ的终边经过点，则sin2的值为( )
A． B． C． D．
4．主动降噪耳机工作的原理：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，交由内部芯片处理，通过喇叭发出反向声波，中和噪声(如图).已知某噪声的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<)的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过喇叭发出的反向声波曲线的解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
5．设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0A．－2 B．2 C．4 D．6
6．已知a，b是实数，则“a>b>0且cA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．设a＝，b＝tan (－130°)，c＝log1.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．c8．设函数f(x)＝，且方程f(x)－k＋1＝0有三个不相等的实根，则k的取值范围为( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．[－1，0] D．[0，1]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知全集U＝R，函数y＝ln (1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝N B．M∩( UN)≠
C．M∩N＝U D．M ( UN)
10．下列命题是真命题的是( )
A．若幂函数f(x)＝xα的图象过点，则α＝－
B． x∈(0，1)，>logx
C． x∈(0，＋∞)，logx>logx
D．命题“ x∈R，sin x＋cos x<1”的否定是“ x∈R，sin x＋cos x≥1”
11．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则该称函数为“优美函数”：
① x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
② x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
则以下四个函数中不是“优美函数”的是( )
A．f(x)＝sin x
B．f(x)＝－2x3
C．f(x)＝1－x
D．f(x)＝ln (＋x)
12．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)＝2sin (x－)
B．把f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象对应的函数在[－π，π]上单调递增
C．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是奇函数
D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝＋log2(x－2)的定义域为________．
14．若a>0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为__________________________．
15．人们通常以分贝(符号dB)为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为f(x)＝10lg (dB)，喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB，大货车鸣笛时，声音约为90 dB，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的________倍．
16．已知函数f(x)＝sin ＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知p：<1，q：x2－3ax＋2a2<0(其中a为常数，且a>0).
(1)若p为真，求x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos (x－)，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式，并在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<)，f(x)图象上两相邻对称轴之间的距离为，________．
(1)给出下列三个条件：
①f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
②f(x)图象的一个对称中心为(，1)；
③f(x)的图象经过点(，0).
在这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式．
(2)若动直线x＝t(t∈[0，π])与f(x)和g(x)＝2sin x cos x的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．