(共38张PPT)
第五章
三角函数
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（五十七）
谢谢观看！
振幅是
是相位
周期T=
y=Asin(ωx+p)
A>0,ω>0
当x=0时的相
频率f=1
位称为初相
读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等
审清题意
语言，理解所反映的实际问题的背景，
得出相应的数学问题
整理数据，引入变量，找出变化规律，运
建立函数
用已掌握的三角函数知识、物理知识及
模型
其他相关知识建立关系式，即建立三角
函数模型
解答函数
利用所学的三角函数知识解答得到的三
模型
角函数模型，求得结果
得出结论
将所得结论翻译成实际问题的答案5．7 三角函数的应用
[学习目标] 1.了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识点 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
[点拨] 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中对于参数的物理意义的理解
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅．
(2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期．
(3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率．
(4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相．
应用1 三角函数在生活中的应用
据市场调查，某种商品一年内每月的单价(单位：万元)满足函数关系式f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B，其中x(1≤x≤12，x∈N*)为月份．已知3月份该商品的单价首次达到最高，为9万元，7月份该商品的单价首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的单价超过8万元的月份．
解析： (1)由题可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝.
∴∴
∴f(x)＝2sin＋7.
又f(x)的图象过点(3，9)，∴2sin＋7＝9，
∴sin ＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*).
(2)令2sin＋7>8，
得sin >，
∴＋2kπ解得＋8k∵1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2，3，4，10，11，12.
故2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的单价超过8万元．
解三角函数应用问题的基本步骤
即时练1.如图，某游乐园内摩天轮的中心O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin ＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________min.
解析： 令40sin ＋50>70，
得sin >，即有解得4在转动一圈的过程中，4 min后高度大于70 m，8 min后高度小于70 m，故点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续4 min.
答案： 4
应用2 三角函数在物理中的应用
(链接教材P245 例1)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<).
(1)若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
解析： (1)由题图，可知A＝300.
∵T＝－＝，
∴ω＝＝100π，
∴I＝300sin (100πt＋φ).
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，
∴I＝300sin t≥0.
(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
即时练2.小球来回摆动，离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝A sin (ωt＋φ)，其图象如图所示，则函数的解析式为______________．
解析： 设最小正周期为T，由图象知＝－＝，即T＝1，那么ω＝＝2π.
将的坐标代入函数关系式中得A sin (＋φ)＝0，得φ＝2kπ－，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，所以s＝A sin .
将(0，3)的坐标代入上式得3＝A sin ，解得A＝6，
从而函数的解析式为s＝6sin (t≥0).
答案： s＝6sin (t≥0)
应用3 三角函数模型的拟合
(链接教材P245 例2)某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
解析： (1)由数据知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π.由表知A＝，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.把t＝0，y＝1代入y＝sin (t＋φ)＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝sin ＋1(0≤t≤24).
(2)由y＝sin ＋1≥0.8，得sin ≥－，则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
处理数据拟合和预测问题的几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
即时练3.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
解析： 设y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin ，即y＝－4cos t(t≥0).
答案： y＝－4cos t(t≥0)
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的频率是( )
A． B．100 C． D．50
D [因为T＝＝，所以f＝＝50.故选D．]
2．某振动物体的振动方程是y＝3sin (x－)，则该振动物体的初相是( )
A．x－ B．
C． D．－
D [振动物体的相位是x－，初相是－.故选D．]
3．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解析： (1)x∈[4，16]，则x－∈.
由函数解析式易知，当x－＝，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；
当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃).
(2)令10sin ＋20＝15，
可得sin ＝－，而x∈[4，16]，
所以x＝.
令10sin ＋20＝25，
可得sin ＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时).
课时作业(五十七) 三角函数的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝－2sin 的周期，振幅，初相分别是( )
A．2π，－2， B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
D [y＝－2sin ＝2sin ，所以周期T＝＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－.]
2．函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
D [由最小正周期为，排除A，B；由初相为，排除C．]
3．简谐运动f(x)＝2sin (x＋φ)(|φ|<)的图象经过点P(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
A [由周期公式知T＝＝6，当x＝0时，由y＝2sin φ＝1及|φ|<知φ＝.故选A．]
4．在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，在t秒内，它们引发的水面波动分别由函数y1＝sin t，y2＝sin 和y3＝sin 描述，如果两个振动波同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么原本平静的水面将呈现的状态是( )
A．仍保持平静 B．不断波动
C．周期性保持平静 D．周期性保持波动
A [法一 因为sin t＋sin ＋sin ＝sin t＋sin t·cos ＋cos t·sin ＋sin t·cos ＋cos t·sin ＝sin t－sin t＋cos t－sin t－cos t＝sin t－sin t＝0，即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静，故选A．
法二 令t＝0得y1＋y2＋y3＝sin 0＋sin ＋sin ＝0.故选A．]
5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则t＝时的电流强度为( )
A．0安培 B．－5安培
C．10安培 D．－10安培
A [由题图知A＝10，函数的周期T＝2×＝.所以ω＝＝＝100π.
则I＝10sin(100πt＋φ)，将点代入I＝10sin (100πt＋φ).可得sin ＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝，故函数解析式为I＝10sin，将t＝代入函数解析式，得I＝0.]
6．如图所示某海湾相对于平均海平面的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h(米)关于时间t(时)的函数解析式为_______．
解析： 设h＝A sin (ωt＋φ)，A>0，ω>0，根据图象可知A＝6，T＝12＝，
∴ω＝.∵图象过点(0，0)，
∴×0＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，∴φ＝π，
∴h＝6sin ＝－6sin t，t∈[0，24].
答案： h＝－6sin t，t∈[0，24]
7．如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由如下关系式确定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，则小球在开始振动(即t＝0)时，h的值为________，小球振动过程中最大的高度差为________厘米．
解析： 由关系式h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，知当t＝0时，h＝2sin ＝.小球振动过程中最大的高度，即hmax＝2，小球振动过程中最低的高度，即hmin＝－2，所以最大的高度差为4厘米．
答案： 4
8．温州市某房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π).已知第一、二季度的平均单价如表所示，
x 1 2
y 10 000 9 500
则此楼群在第三季度的平均单价大约是______________________________元．
解析： 将表格中的数据分别代入y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π)，可得ω＝，φ＝0.所以y＝500sin x＋9 500，将x＝3代入可得y＝9 000.
答案： 9 000
9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin (160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解析： (1)把ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min).
所以函数P(t)的周期为 min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．
10．如果某地夏天从8～14 h的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解析： (1)观察图象知8～14 h这一段时间的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．
(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，
∴T＝12，
∴ω＝＝.
b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，
∴y＝10sin ＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，∴φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14].
[能力提升]
11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
D [由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，A，∴y＝sin (t＋)，t∈[0，12].可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12].]
12．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<.则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
ABD [由题意，R＝＝6，
T＝60＝，所以ω＝.
由点A(3，－3)可得－3＝6sin φ.
因为|φ|<，所以φ＝－，故A正确；
f(t)＝6sin ，当t∈[35，55]时，t－∈，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10，25]时，t－∈，函数y＝f(t)不单调，故C错误；当t＝20时，t－＝，点P的纵坐标为6，由勾股定理可得|PA|＝＝＝6，故D正确．故选ABD．]
13．已知弹簧上挂着的小球做上下运动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin (2t＋)，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复运动一次？
解析： 列表如下：
t －
2t＋ 0 π 2π
sin (2t＋) 0 1 0 －1 0
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin (2t＋)，得s＝4sin ＝2，
所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复运动一次所用的时间是π s.
14．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中).观察散点图，从①y＝A sin (ωt＋φ)，②y＝A cos (ωt＋φ)＋b，③y＝－A sin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
解析： (1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示．
依题意，选②y＝A cos (ωt＋φ)＋b作为函数模型，
∴A＝＝，b＝＝，T＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝cos ＋，
又∵函数图象过点(3，2.4)，
即2.4＝cos ＋，
∴cos ＝1，
∴sin φ＝－1，
又∵－π<φ<0，∴φ＝－，
∴y＝cos ＋＝sin t＋(t≥0).
(2)由(1)知，y＝sin t＋，
令y≥1.05，即sin t＋≥1.05，
∴sin t≥－，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k－1≤t≤12k＋7，
又∵5≤t≤18，
∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全．5．7 三角函数的应用
[学习目标] 1.了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识点 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
[点拨] 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中对于参数的物理意义的理解
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅．
(2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期．
(3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率．
(4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相．
应用1 三角函数在生活中的应用
据市场调查，某种商品一年内每月的单价(单位：万元)满足函数关系式f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B，其中x(1≤x≤12，x∈N*)为月份．已知3月份该商品的单价首次达到最高，为9万元，7月份该商品的单价首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的单价超过8万元的月份．
解三角函数应用问题的基本步骤
即时练1.如图，某游乐园内摩天轮的中心O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin ＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________min.
应用2 三角函数在物理中的应用
(链接教材P245 例1)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<).
(1)若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
即时练2.小球来回摆动，离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝A sin (ωt＋φ)，其图象如图所示，则函数的解析式为______________．
应用3 三角函数模型的拟合
(链接教材P245 例2)某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
处理数据拟合和预测问题的几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
即时练3.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的频率是( )
A． B．100 C． D．50
2．某振动物体的振动方程是y＝3sin (x－)，则该振动物体的初相是( )
A．x－ B．
C． D．－
3．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？课时作业(五十七) 三角函数的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝－2sin 的周期，振幅，初相分别是( )
A．2π，－2， B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
2．函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．简谐运动f(x)＝2sin (x＋φ)(|φ|<)的图象经过点P(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
4．在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，在t秒内，它们引发的水面波动分别由函数y1＝sin t，y2＝sin 和y3＝sin 描述，如果两个振动波同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么原本平静的水面将呈现的状态是( )
A．仍保持平静 B．不断波动
C．周期性保持平静 D．周期性保持波动
5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则t＝时的电流强度为( )
A．0安培 B．－5安培
C．10安培 D．－10安培
6．如图所示某海湾相对于平均海平面的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h(米)关于时间t(时)的函数解析式为_______．
7．如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由如下关系式确定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，则小球在开始振动(即t＝0)时，h的值为________，小球振动过程中最大的高度差为________厘米．
8．温州市某房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π).已知第一、二季度的平均单价如表所示，
x 1 2
y 10 000 9 500
则此楼群在第三季度的平均单价大约是______________________________元．
9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin (160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
10．如果某地夏天从8～14 h的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[能力提升]
11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
12．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<.则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
13．已知弹簧上挂着的小球做上下运动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin (2t＋)，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复运动一次？
14．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中).观察散点图，从①y＝A sin (ωt＋φ)，②y＝A cos (ωt＋φ)＋b，③y＝－A sin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？课时作业(五十七) 三角函数的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝－2sin 的周期，振幅，初相分别是( )
A．2π，－2， B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
D [y＝－2sin ＝2sin ，所以周期T＝＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－.]
2．函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
D [由最小正周期为，排除A，B；由初相为，排除C．]
3．简谐运动f(x)＝2sin (x＋φ)(|φ|<)的图象经过点P(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
A [由周期公式知T＝＝6，当x＝0时，由y＝2sin φ＝1及|φ|<知φ＝.故选A．]
4．在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，在t秒内，它们引发的水面波动分别由函数y1＝sin t，y2＝sin 和y3＝sin 描述，如果两个振动波同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么原本平静的水面将呈现的状态是( )
A．仍保持平静 B．不断波动
C．周期性保持平静 D．周期性保持波动
A [法一 因为sin t＋sin ＋sin ＝sin t＋sin t·cos ＋cos t·sin ＋sin t·cos ＋cos t·sin ＝sin t－sin t＋cos t－sin t－cos t＝sin t－sin t＝0，即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静，故选A．
法二 令t＝0得y1＋y2＋y3＝sin 0＋sin ＋sin ＝0.故选A．]
5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则t＝时的电流强度为( )
A．0安培 B．－5安培
C．10安培 D．－10安培
A [由题图知A＝10，函数的周期T＝2×＝.所以ω＝＝＝100π.
则I＝10sin(100πt＋φ)，将点代入I＝10sin (100πt＋φ).可得sin ＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝，故函数解析式为I＝10sin，将t＝代入函数解析式，得I＝0.]
6．如图所示某海湾相对于平均海平面的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h(米)关于时间t(时)的函数解析式为_______．
解析： 设h＝A sin (ωt＋φ)，A>0，ω>0，根据图象可知A＝6，T＝12＝，
∴ω＝.∵图象过点(0，0)，
∴×0＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，∴φ＝π，
∴h＝6sin ＝－6sin t，t∈[0，24].
答案： h＝－6sin t，t∈[0，24]
7．如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由如下关系式确定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，则小球在开始振动(即t＝0)时，h的值为________，小球振动过程中最大的高度差为________厘米．
解析： 由关系式h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，知当t＝0时，h＝2sin ＝.小球振动过程中最大的高度，即hmax＝2，小球振动过程中最低的高度，即hmin＝－2，所以最大的高度差为4厘米．
答案： 4
8．温州市某房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π).已知第一、二季度的平均单价如表所示，
x 1 2
y 10 000 9 500
则此楼群在第三季度的平均单价大约是______________________________元．
解析： 将表格中的数据分别代入y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π)，可得ω＝，φ＝0.所以y＝500sin x＋9 500，将x＝3代入可得y＝9 000.
答案： 9 000
9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin (160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解析： (1)把ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min).
所以函数P(t)的周期为 min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．
10．如果某地夏天从8～14 h的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解析： (1)观察图象知8～14 h这一段时间的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．
(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，
∴T＝12，
∴ω＝＝.
b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，
∴y＝10sin ＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，∴φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14].
[能力提升]
11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
D [由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，A，∴y＝sin (t＋)，t∈[0，12].可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12].]
12．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<.则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
ABD [由题意，R＝＝6，
T＝60＝，所以ω＝.
由点A(3，－3)可得－3＝6sin φ.
因为|φ|<，所以φ＝－，故A正确；
f(t)＝6sin ，当t∈[35，55]时，t－∈，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10，25]时，t－∈，函数y＝f(t)不单调，故C错误；当t＝20时，t－＝，点P的纵坐标为6，由勾股定理可得|PA|＝＝＝6，故D正确．故选ABD．]
13．已知弹簧上挂着的小球做上下运动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin (2t＋)，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复运动一次？
解析： 列表如下：
t －
2t＋ 0 π 2π
sin (2t＋) 0 1 0 －1 0
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin (2t＋)，得s＝4sin ＝2，
所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复运动一次所用的时间是π s.
14．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中).观察散点图，从①y＝A sin (ωt＋φ)，②y＝A cos (ωt＋φ)＋b，③y＝－A sin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
解析： (1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示．
依题意，选②y＝A cos (ωt＋φ)＋b作为函数模型，
∴A＝＝，b＝＝，T＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝cos ＋，
又∵函数图象过点(3，2.4)，
即2.4＝cos ＋，
∴cos ＝1，
∴sin φ＝－1，
又∵－π<φ<0，∴φ＝－，
∴y＝cos ＋＝sin t＋(t≥0).
(2)由(1)知，y＝sin t＋，
令y≥1.05，即sin t＋≥1.05，
∴sin t≥－，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k－1≤t≤12k＋7，
又∵5≤t≤18，
∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全．课时作业(五十七) 三角函数的应用
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．函数y＝－2sin 的周期，振幅，初相分别是( )
A．2π，－2， B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
2．函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．简谐运动f(x)＝2sin (x＋φ)(|φ|<)的图象经过点P(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
4．在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，在t秒内，它们引发的水面波动分别由函数y1＝sin t，y2＝sin 和y3＝sin 描述，如果两个振动波同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么原本平静的水面将呈现的状态是( )
A．仍保持平静 B．不断波动
C．周期性保持平静 D．周期性保持波动
5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则t＝时的电流强度为( )
A．0安培 B．－5安培
C．10安培 D．－10安培
6．如图所示某海湾相对于平均海平面的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h(米)关于时间t(时)的函数解析式为_______．
7．如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由如下关系式确定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，则小球在开始振动(即t＝0)时，h的值为________，小球振动过程中最大的高度差为________厘米．
8．温州市某房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π).已知第一、二季度的平均单价如表所示，
x 1 2
y 10 000 9 500
则此楼群在第三季度的平均单价大约是______________________________元．
9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin (160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
10．如果某地夏天从8～14 h的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[能力提升]
11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
12．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<.则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
13．已知弹簧上挂着的小球做上下运动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin (2t＋)，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复运动一次？
14．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中).观察散点图，从①y＝A sin (ωt＋φ)，②y＝A cos (ωt＋φ)＋b，③y＝－A sin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
