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第五章
三角函数
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（五十六）
谢谢观看！
y
3
I
I
I
I
I
0
T
父
3
2第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)
应用1 由图象确定函数的解析式
如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式．
解析： 法一 由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ)，
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin .
∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)，
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin .
法二 由法一得A＝3，ω＝2.
将最高点M的坐标代入y＝3sin (2x＋φ)，
得3sin ＝3.
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z).
∵|φ|<，∴取φ＝.∴y＝3sin .
法三 由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin .
确定y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，确定函数的最值；
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②特殊点法：确定φ的值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ.
即时练1.若函数y＝sin (ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
C [由所给题图象可知，＝2，
∴T＝8.又∵T＝，∴ω＝.
∵在x＝1处取得最大值，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∵0≤φ<2π，∴φ＝.]
应用2 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称性
在函数y＝2sin 的图象的对称中心中，离原点最近的一个坐标是________．
解析： 由4x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z).
取k＝1，得满足条件．
答案：
[一题多变]
1．(变条件)将本例中“sin ”改为“cos ”，其他条件不变，结果如何？
解析： 由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
取k＝0时，x＝－.
则所求对称中心为t≥0.
2．(变条件，变设问)将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．
解析： 由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
取k＝0，x＝－满足题意，故离y轴最近的一条对称轴方程为x＝－.
三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴 对称中心
y＝A sin (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝A cos (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝A tan (ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
即时练2.已知函数f(x)＝tan (x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为________．
解析： 由于 是函数f(x)图象的对称中心，所以＋φ＝π，k∈Z，所以φ＝π－，k∈Z，由于|φ|<，故取k＝0，1，φ＝－，.
答案： 或－
应用3 三角函数性质的综合问题
已知函数f(x)＝sin ＋.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
解析： (1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令sin ＝－1，
则2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
所以当x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，所以f(x)的最小值为，此时x的取值集合是.
确定函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间从而求出函数的单调区间．
即时练3.将曲线C1：y＝sin 上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2：y＝g(x)，则g(x)在[－π，0]上的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
B [将曲线C1：y＝sin 上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin (2x－)的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2：y＝g(x)＝sin ＝sin ＝sin ＝cos .令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，可得函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以g(x)在[－π，0]上的单调递增区间为，故选B．]
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的部分图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝ D．A＝，T＝
D [由题图可知A＝(3－0)＝，
设周期为T，则T＝－(－)＝，
得T＝.故选D．]
2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
D [函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin ＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，周期为2π，所以A，B错误；又因为f＝cos ＝0，所以f(x)＝cos x的图象不关于直线x＝对称，所以C错误；又由f(－)＝cos ＝0，知f(x)＝cos x的图象关于点对称．故选D．]
3．函数y＝2sin 的对称轴方程是________．
解析： 对于函数y＝2sin ，
令2x－＝kπ＋(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z).
答案： x＝＋(k∈Z)
4．如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域．
解析： (1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
所以ω＝＝＝，
所以f(x)＝2sin .
将点(－1，0)代入，得0＝2sin .
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin .
(2)因为－1≤x≤2，
则0≤x＋≤π，
∴0≤sin ≤1.
∴0≤2sin ≤2.
∴函数f(x)的值域为[0，2].
课时作业(五十六) 函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
B [将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin [2(x＋)]＝2sin ，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.]
2．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π C． D．
B [函数f(x)＝sin ωx与f(x)＝sin x的图象形状相同，观察图象可知对称中心与对称轴最近距离为T.由题意得T＝，所以T＝π.]
3. 函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则ω，φ分别为( )
A．4， B．3， C．4， D．3，
D [＝－＝ T＝＝ ω＝3，
所以f(x)＝sin (3x＋φ)，
所以f＝sin ＝－1 ＋φ＝2kπ＋，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝，故选D．]
4．将函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x)( )
A．最大值为3 B．最小正周期为2π
C．为奇函数 D．图象关于y轴对称
D [将函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝3sin ＋1＝3sin (2x－)＋1＝1－3cos 2x，且定义域为R，可得g(x)的最大值为4，故A错误；
g(x)的最小正周期T＝π，故B错误；
g(－x)＝1－3cos (－2x)＝1－3cos 2x＝g(x)，为偶函数，故C错误，D正确．故选D．]
5. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
C [∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，
∴ω＝－＝－(弧度/秒)，
由P0，得cos φ＝，sin φ＝.解得φ＝.]
6.已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．
解析： 由题意设函数周期为T，
则＝－＝，∴T＝.
∴ω＝＝.
答案：
7．已知函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
解析： 由题意可得sin ＝±1，解得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z).
因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.
答案： －
8．某同学利用描点法画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式应是________________．
解析：
在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图象的大致走势，
可知点(1，0)不符合题意；
又因为0
函数图象过(4，－2)，所以A＝2.
因为函数图象过(0，1)，∴2sin φ＝1，
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0，1)，(2，1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝.
答案： y＝2sin
9．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解析： (1)f(x)＝2sin
且f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1，
从而f(x)＝2sin .
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.
(2)当x∈时，2x∈，
所以2x－∈，
2sin ∈，
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
故f(x)在上的最大值和最小值分别为2和.
10．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的最小正周期T＝π，且图象上的一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
解析： (1)由题意知，A＝2，T＝π＝，
∴ω＝2，∴f(x)＝2sin (2x＋φ).
又∵函数f(x)图象上的一个最低点为M，∴2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，又∵0<φ<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin .
(2)由(1)知，f(x)＝2sin .
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值.
[能力提升]
11．已知函数f(x)＝2sin (πx＋)，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，若函数g(x)的图象在P，Q两处的切线都与x轴平行，则|PQ|的最小值为( )
A． B．4 C．4π D．2
B [由题意知，g(x)＝2sin [(x＋1)＋]＝2sin (x＋＋)，其最大值为2，周期T＝＝4，作出其图象如图所示．
由图可知，|PQ|取到的最小值可能为|PQ1|，|PQ2|.因为|PQ1|＝＝2，|PQ2|＝4，2>4，所以|PQ|的最小值为4，故选B．]
12．(多选)(2021·河北唐山高一(上)期末考试)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．f(0)＝1
B．函数f(x)在区间[－，0]上单调递增
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数
D．f(x)＝－f(－x)
BD [由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，知A＝2，＝－(－)＝，得T＝π，所以ω＝＝2，即f(x)＝2sin (2x＋φ).又f(－)＝0，所以2×(－)＋φ＝0，解得φ＝，所以f(x)＝2sin (2x＋).由f(0)＝2sin ＝，知A错误．当x∈[－，0]时，2x＋∈[－，]，函数f(x)＝2sin (2x＋)单调递增，故B正确．将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝f(x＋)＝2sin (2x＋)，该函数不是偶函数，故C错误．－f(－x)＝－2sin [2(－x)＋]＝－2sin (－2x)＝2sin (2x－)＝2sin (2x＋)＝f(x)，故D正确．故选BD．]
13．如图所示的为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(1)＝________．
解析： 由|AB|＝5得 ＝5，解得T＝6.
由T＝，ω>0得ω＝.
又当x＝0时，f(x)＝1，
即2sin ＝1，
∴sin φ＝，又∵≤φ≤π，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin ，
因此，f(1)＝2sin ＝2sin ＝2×＝－1.
答案： －1
14．已知函数f(x)＝A sin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x).若g＝，则f 的值为________．
解析： ∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，
∴ω＝2，
∴f(x)＝A sin 2x.将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)＝A sin x．∵g＝，
∴g＝A sin ＝A＝，∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x，∴f ＝2sin ＝2sin ＝2×＝.
答案：
15．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π).
(1)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心．
解析： (1)因为f(x)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
又φ∈(0，π)，所以φ＝.
(2)因为f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，
所以f(0)＝f ，
即sin φ＝sin ＝cos φ，
所以tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z).
又φ∈(0，π)，所以φ＝，
所以f(x)＝sin .
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
所以f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
对称中心为(k∈Z).
16．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
解析： (1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin 的图象，纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sin (x＋)的图象．
所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sin .
(2)因为x∈[0，3π]，令t＝x＋，
所以t∈，
sin ∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示．故方程f(x)＝m有唯一实数根时，m的取值范围为∪{1，－1}．第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)
应用1 由图象确定函数的解析式
如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式．
确定y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，确定函数的最值；
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②特殊点法：确定φ的值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ.
即时练1.若函数y＝sin (ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
应用2 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称性
在函数y＝2sin 的图象的对称中心中，离原点最近的一个坐标是________．
[一题多变]
1．(变条件)将本例中“sin ”改为“cos ”，其他条件不变，结果如何？
2．(变条件，变设问)将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．
三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴 对称中心
y＝A sin (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝A cos (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝A tan (ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
即时练2.已知函数f(x)＝tan (x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为________．
应用3 三角函数性质的综合问题
已知函数f(x)＝sin ＋.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
确定函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间从而求出函数的单调区间．
即时练3.将曲线C1：y＝sin 上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2：y＝g(x)，则g(x)在[－π，0]上的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的部分图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝ D．A＝，T＝
2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
3．函数y＝2sin 的对称轴方程是________．
4．如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域．
课时作业(五十六) 函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
2．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π C． D．
3. 函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则ω，φ分别为( )
A．4， B．3， C．4， D．3，
4．将函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x)( )
A．最大值为3 B．最小正周期为2π
C．为奇函数 D．图象关于y轴对称
5. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
6.已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．
7．已知函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
8．某同学利用描点法画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式应是________________．
9．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
10．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的最小正周期T＝π，且图象上的一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
11．已知函数f(x)＝2sin (πx＋)，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，若函数g(x)的图象在P，Q两处的切线都与x轴平行，则|PQ|的最小值为( )
A． B．4 C．4π D．2
12．(多选)(2021·河北唐山高一(上)期末考试)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．f(0)＝1
B．函数f(x)在区间 上单调递增
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数
D．f(x)＝－f(－x)
13．如图所示的为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(1)＝________．
14．已知函数f(x)＝A sin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x).若g＝，则f 的值为________．
15．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π).
(1)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心．
16．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．课时作业(五十六) 函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
B [将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin [2(x＋)]＝2sin ，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.]
2．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π C． D．
B [函数f(x)＝sin ωx与f(x)＝sin x的图象形状相同，观察图象可知对称中心与对称轴最近距离为T.由题意得T＝，所以T＝π.]
3. 函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则ω，φ分别为( )
A．4， B．3， C．4， D．3，
D [＝－＝ T＝＝ ω＝3，
所以f(x)＝sin (3x＋φ)，
所以f＝sin ＝－1 ＋φ＝2kπ＋，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝，故选D．]
4．将函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x)( )
A．最大值为3 B．最小正周期为2π
C．为奇函数 D．图象关于y轴对称
D [将函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝3sin ＋1＝3sin (2x－)＋1＝1－3cos 2x，且定义域为R，可得g(x)的最大值为4，故A错误；
g(x)的最小正周期T＝π，故B错误；
g(－x)＝1－3cos (－2x)＝1－3cos 2x＝g(x)，为偶函数，故C错误，D正确．故选D．]
5. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
C [∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，
∴ω＝－＝－(弧度/秒)，
由P0，得cos φ＝，sin φ＝.解得φ＝.]
6.已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．
解析： 由题意设函数周期为T，
则＝－＝，∴T＝.
∴ω＝＝.
答案：
7．已知函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
解析： 由题意可得sin ＝±1，解得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z).
因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.
答案： －
8．某同学利用描点法画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式应是________________．
解析：
在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图象的大致走势，
可知点(1，0)不符合题意；
又因为0函数图象过(4，－2)，所以A＝2.
因为函数图象过(0，1)，∴2sin φ＝1，
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0，1)，(2，1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝.
答案： y＝2sin
9．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解析： (1)f(x)＝2sin
且f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1，
从而f(x)＝2sin .
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.
(2)当x∈时，2x∈，
所以2x－∈，
2sin ∈，
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
故f(x)在上的最大值和最小值分别为2和.
10．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的最小正周期T＝π，且图象上的一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
解析： (1)由题意知，A＝2，T＝π＝，
∴ω＝2，∴f(x)＝2sin (2x＋φ).
又∵函数f(x)图象上的一个最低点为M，∴2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，又∵0<φ<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin .
(2)由(1)知，f(x)＝2sin .
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值.
[能力提升]
11．已知函数f(x)＝2sin (πx＋)，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，若函数g(x)的图象在P，Q两处的切线都与x轴平行，则|PQ|的最小值为( )
A． B．4 C．4π D．2
B [由题意知，g(x)＝2sin [(x＋1)＋]＝2sin (x＋＋)，其最大值为2，周期T＝＝4，作出其图象如图所示．
由图可知，|PQ|取到的最小值可能为|PQ1|，|PQ2|.因为|PQ1|＝＝2，|PQ2|＝4，2>4，所以|PQ|的最小值为4，故选B．]
12．(多选)(2021·河北唐山高一(上)期末考试)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．f(0)＝1
B．函数f(x)在区间[－，0]上单调递增
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数
D．f(x)＝－f(－x)
BD [由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，知A＝2，＝－(－)＝，得T＝π，所以ω＝＝2，即f(x)＝2sin (2x＋φ).又f(－)＝0，所以2×(－)＋φ＝0，解得φ＝，所以f(x)＝2sin (2x＋).由f(0)＝2sin ＝，知A错误．当x∈[－，0]时，2x＋∈[－，]，函数f(x)＝2sin (2x＋)单调递增，故B正确．将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝f(x＋)＝2sin (2x＋)，该函数不是偶函数，故C错误．－f(－x)＝－2sin [2(－x)＋]＝－2sin (－2x)＝2sin (2x－)＝2sin (2x＋)＝f(x)，故D正确．故选BD．]
13．如图所示的为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(1)＝________．
解析： 由|AB|＝5得 ＝5，解得T＝6.
由T＝，ω>0得ω＝.
又当x＝0时，f(x)＝1，
即2sin ＝1，
∴sin φ＝，又∵≤φ≤π，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin ，
因此，f(1)＝2sin ＝2sin ＝2×＝－1.
答案： －1
14．已知函数f(x)＝A sin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x).若g＝，则f 的值为________．
解析： ∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，
∴ω＝2，
∴f(x)＝A sin 2x.将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)＝A sin x．∵g＝，
∴g＝A sin ＝A＝，∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x，∴f ＝2sin ＝2sin ＝2×＝.
答案：
15．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π).
(1)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心．
解析： (1)因为f(x)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
又φ∈(0，π)，所以φ＝.
(2)因为f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，
所以f(0)＝f ，
即sin φ＝sin ＝cos φ，
所以tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z).
又φ∈(0，π)，所以φ＝，
所以f(x)＝sin .
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
所以f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
对称中心为(k∈Z).
16．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
解析： (1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin 的图象，纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sin (x＋)的图象．
所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sin .
(2)因为x∈[0，3π]，令t＝x＋，
所以t∈，
sin ∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示．故方程f(x)＝m有唯一实数根时，m的取值范围为∪{1，－1}．课时作业(五十六) 函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
2．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π C． D．
3. 函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则ω，φ分别为( )
A．4， B．3， C．4， D．3，
4．将函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x)( )
A．最大值为3 B．最小正周期为2π
C．为奇函数 D．图象关于y轴对称
5. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
6.已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．
7．已知函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
8．某同学利用描点法画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式应是________________．
9．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
10．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的最小正周期T＝π，且图象上的一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
11．已知函数f(x)＝2sin (πx＋)，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，若函数g(x)的图象在P，Q两处的切线都与x轴平行，则|PQ|的最小值为( )
A． B．4 C．4π D．2
12．(多选)(2021·河北唐山高一(上)期末考试)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．f(0)＝1
B．函数f(x)在区间 上单调递增
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数
D．f(x)＝－f(－x)
13．如图所示的为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(1)＝________．
14．已知函数f(x)＝A sin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x).若g＝，则f 的值为________．
15．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π).
(1)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心．
16．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈ 时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．