人教A版（2019） 必修 第一册 第五章 三角函数5.6 第1课时函数y＝A sin (ωx＋φ)(一)（共打包5份）

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第五章
三角函数
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（五十五）
谢谢观看！
y=Asin(x+p)图象上
w>1时缩短
所有点的横坐标
0<ω<1时伸长
y=Asin(wx+p)的图象
原来的
倍
y=sin(wx+φ)图象上
A>1时伸长
所有点的纵坐标
0y=Asin(ωx+p)的图象
原来的A倍5.6 第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)(一)
知识点　参数ω，φ，A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
[问题导引1]　由函数y＝sin x的图象如何得到函数y＝sin 的图象？
提示：　将函数y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数y＝sin 的图象．
[问题导引2]　将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象对应的函数的最小正周期是多少？
提示：　将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得到函数y＝sin x的图象，此函数的最小正周期是4π.
A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响
2．ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
[点拨]　对A，ω，φ的三点说明(A>0，ω>0)
(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
(链接教材P237 例1)作函数f(x)＝2sin (2x－)在[0，π]上的图象．
解析：　列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) －1 0 2 0 －2 －1
描点连线得：
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．“五点法”作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
(1)计算x取端点值时ωx＋φ的范围；
(2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
(3)利用ωx＋φ的值计算y值；
(4)描点(x，y)，连线得到函数图象．
即时练1.已知函数f(x)＝cos ，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解析：　f(x)＝cos ，
列如下表．
2x－ － 0 π π π
x 0 π π π π
f(x) 1 0 －1 0
图象如图．
应用1　三角函数图象的平移变换
(1)要得到函数y＝sin (2x－)的图象，只需将函数y＝sin (2x－)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin (4x－)的图象，则f(x)＝________．
解析：　(1)由于y＝sin (2x－)＝sin [2(x－)]以及y＝sin (2x－)＝sin [2(x－)]，结合x－＝(x－)－，故只需将函数y＝sin (2x－)的图象沿着x轴向右平移个单位长度就可得到函数y＝sin (2x－)的图象，故选D．
(2)将y＝2sin 的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin ＝2sin (4x＋)的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sin －1的图象，即f(x)＝2sin (4x＋)－1.
答案：　(1)D　(2)2sin －1
三角函数图象平移变换问题的解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离．　　
即时练2.将函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________．
解析：　将函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos ＝cos (2x＋π)＝－cos 2x.
答案：　y＝－cos 2x
应用2　三角函数图象的伸缩变换
(1)为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
(2)将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________．
解析：　(1)由题意得ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得到y＝cos 4x，x∈R的图象．
(2)y＝sin 2x的图象
y＝sin ＝sin x的图象
y＝sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝sin x．
答案：　(1)B　(2)y＝sin x
函数图象的伸缩变换
(1)横向伸缩：
已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数成倒数”，即将函数y＝A sin (x＋φ)图象上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝A sin (ωx＋φ).
(2)纵向伸缩：
已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数成倍数”，即将函数y＝sin (ωx＋φ)图象上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0即时练3.要得到函数y＝2sin (x＋)的图象，只需要将函数y＝3sin x的图象上所有的点(　　)
A．纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，再向右平移个单位长度
B．纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．纵坐标变为原来的(横坐标不变)，再向右平移个单位长度
D．纵坐标变为原来的(横坐标不变)，再向左平移个单位长度
D　[根据图象的平移、伸缩变换的规律，将函数y＝3sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，即得到函数y＝2sin x的图象；再向左平移个单位长度，得到y＝2sin (x＋)的图象．故选D．]
即时练4.将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
C　[将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin ，再向左平移个单位得到的解析式为y＝sin ＝sin ，故选C．]
1．用“五点法”作函数y＝cos 在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　)
A． B． C． D．
A　[令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为.]
2．函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　)
A．1 B． C．4 D．
B　[由题意可知图象的解析式为y＝sin x，所以ω＝.]
3．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)
A．y＝sin ＋2 B．y＝sin －2
C．y＝sin －2 D．y＝sin ＋2
D　[向左平移个单位长度得y＝sin ，再向上平移2个单位长度得y＝sin ＋2，故选D．]
4．要得到y＝tan 2x的图象，只需把y＝tan (2x－)的图象________得到．
解析：　设向左平移φ个单位得到y＝tan 2x的图象，y＝tan ＝tan ，
所以2φ－＝0，所以φ＝，所以向左平移个单位得到．
答案：　向左平移个单位
课时作业(五十五)　函数y＝A sin (ωx＋φ)(一)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
A　[依题意得f(x)＝sin ＝sin (2x＋)＝cos 2x.故选A．]
2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)
A．2　　　　B． C．4　　　　D．
B　[由题意可知图象的解析式为y＝cos x，所以ω＝.]
3．为了得到函数y＝sin (2x－)的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
B　[易得y＝sin (2x－)＝sin [2(x－)]，y＝cos 2x＝sin (2x＋)＝sin [2(x＋)].令＋φ＝－，解得φ＝－，所以将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到函数y＝sin (2x－)的图象，故选B．]
4．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin ＋2
D　[将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin ＋2的图象，故选D．]
5．将曲线y＝f(x)cos 2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2x，则f()＝(　　)
A．1　　　　B．－1 C．　　　　D．－
D　[把曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得y＝cos [2(x＋)]＝cos (2x＋)＝－sin 2x的图象，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝－sin (2×2x)＝－sin 4x的图象．因为y＝－sin 4x＝－2sin 2x cos 2x＝f(x)cos 2x，所以f(x)＝－2sin 2x，所以f()＝－2sin ＝－.故选D．]
6．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到的曲线对应的解析式为____________．
解析：　y＝sin 2x
y＝sin 2.
答案：　y＝sin
7．将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得函数y＝3sin 的图象．
解析：　A＝3>0，故将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin 的图象．
答案：　伸长　3
8．已知函数f(x)＝2cos (2x－)，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g()＝________．
解析：　由题意，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝2cos [2(x＋)－]＝2cos 2x，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝2cos x.
则g()＝1.
答案：　1
9．已知函数y＝2sin .
(1)用五点法画出该函数在区间[0，2π]的简图；
(2)结合所画图象，指出函数在[0，2π]上的单调区间．
解析：　(1)令X＝x－，则x＝X＋，列表如下：
X＝x－ － 0 π
x 0 2π
y － 0 2 0 －2 －
描点画图得函数y＝2sin 在区间[0，2π]的简图如下：
(2)由(1)中图象可知，函数在区间[0，2π]上的增区间为和，减区间为.
10．已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f(x)的解析式．
[能力提升]
11．(多选)将函数f(x)＝2sin －1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期是π
B．函数g(x)的图象关于点对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在上的最大值是1
ABC　[由题意知g(x)＝2sin －1，最小正周期T＝＝π，选项A正确；
当x＝－时，g＝－1，即函数g(x)的图象关于点对称，选项B正确；
当x∈时，2x＋∈，
所以函数g(x)在上单调递减，选项C正确；
因为函数g(x)在上单调递增，g(x)所以选项D错误，故选ABC．]
12．(多选)下列四种变换方式中，能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象的是(　　)
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
AB　[对于A，向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象；对于B，横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)的图象；对于C，横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋)的图象；对于D，向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象．故选AB．]
13．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移个单位长度；④图象向左平移个单位长度；⑤图象向右平移个单位长度；⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin 的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
解析：　y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin 的图象；或y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin ＝sin 的图象．
答案：　④②或②⑥
14．若将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数g(x)＝sin (ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：　函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后得函数y＝sin [ω(x－)＋]＝sin ，
与函数g(x)＝sin 的图象重合，
所以－＋＋2kπ＝(k∈Z)，
即＝2kπ＋－＝2kπ＋(k∈Z)，
所以ω＝6k＋(k∈Z)，所以ω的最小值为.
答案：　
15．函数f(x)＝5sin －3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解析：　先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin 的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin 的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin －3的图象．
16．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象．
(1)写出函数f(x)的解析式；
(2)求实数a和正整数n，使得F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 020个零点．
解析：　(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图象，
再向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝sin [2]＝sin 的图象，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin .
(2)因为F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 020个零点，
故函数f(x)与y＝a在[0，nπ]上有2 020个交点，
当x∈[0，π]时，2x＋∈，
①当a>1或a<－1时，函数f(x)与y＝a在[0，nπ]上无交点；
②当a＝1或a＝－1时，函数f(x)与y＝a在[0，π]上仅有一个交点，此时要使得函数f(x)与y＝a在[0，nπ]上有2 020个交点，则n＝2 020；
③当－1此时要使函数f(x)的图象与函数y＝a在[0，nπ]上的交点个数为2 020，则n＝1 010.
④当a＝时，函数f(x)的图象与y＝a在[0，π]上有3个交点，此时要使函数f(x)的图象与函数y＝a在[0，nπ]上有2 020个交点，则n值不存在．
综上所述：当a＝1或－1时，n＝2 020，当－1知识点　参数ω，φ，A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
[问题导引1]　由函数y＝sin x的图象如何得到函数y＝sin 的图象？
提示：　将函数y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数y＝sin 的图象．
[问题导引2]　将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象对应的函数的最小正周期是多少？
提示：　将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得到函数y＝sin x的图象，此函数的最小正周期是4π.
A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响
2．ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
[点拨]　对A，ω，φ的三点说明(A>0，ω>0)
(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
(链接教材P237 例1)作函数f(x)＝2sin (2x－)在[0，π]上的图象．
解析：　列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) －1 0 2 0 －2 －1
描点连线得：
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．“五点法”作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
(1)计算x取端点值时ωx＋φ的范围；
(2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
(3)利用ωx＋φ的值计算y值；
(4)描点(x，y)，连线得到函数图象．
即时练1.已知函数f(x)＝cos ，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
应用1　三角函数图象的平移变换
(1)要得到函数y＝sin (2x－)的图象，只需将函数y＝sin (2x－)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin (4x－)的图象，则f(x)＝________．
三角函数图象平移变换问题的解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离．　　
即时练2.将函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________．
应用2　三角函数图象的伸缩变换
(1)为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
(2)将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________．
函数图象的伸缩变换
(1)横向伸缩：
已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数成倒数”，即将函数y＝A sin (x＋φ)图象上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝A sin (ωx＋φ).
(2)纵向伸缩：
已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数成倍数”，即将函数y＝sin (ωx＋φ)图象上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0即时练3.要得到函数y＝2sin (x＋)的图象，只需要将函数y＝3sin x的图象上所有的点(　　)
A．纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，再向右平移个单位长度
B．纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．纵坐标变为原来的(横坐标不变)，再向右平移个单位长度
D．纵坐标变为原来的(横坐标不变)，再向左平移个单位长度
即时练4.将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
1．用“五点法”作函数y＝cos 在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　)
A． B． C． D．
2．函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　)
A．1 B． C．4 D．
3．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)
A．y＝sin ＋2 B．y＝sin －2
C．y＝sin －2 D．y＝sin ＋2
4．要得到y＝tan 2x的图象，只需把y＝tan (2x－)的图象________得到．
课时作业(五十五)　函数y＝A sin (ωx＋φ)(一)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)
A．2　　　　B． C．4　　　　D．
3．为了得到函数y＝sin (2x－)的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin ＋2
5．将曲线y＝f(x)cos 2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2x，则f()＝(　　)
A．1　　　　B．－1 C．　　　　D．－
6．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到的曲线对应的解析式为____________．
7．将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得函数y＝3sin 的图象．
8．已知函数f(x)＝2cos (2x－)，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g()＝________．
9．已知函数y＝2sin .
(1)用五点法画出该函数在区间[0，2π]的简图；
(2)结合所画图象，指出函数在[0，2π]上的单调区间．
10．已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f(x)的解析式．
[能力提升]
11．(多选)将函数f(x)＝2sin －1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期是π
B．函数g(x)的图象关于点对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在上的最大值是1
12．(多选)下列四种变换方式中，能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象的是(　　)
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
13．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移个单位长度；④图象向左平移个单位长度；⑤图象向右平移个单位长度；⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin 的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
15．函数f(x)＝5sin －3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
16．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象．
(1)写出函数f(x)的解析式；
(2)求实数a和正整数n，使得F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 020个零点．课时作业(五十五)　函数y＝A sin (ωx＋φ)(一)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
A　[依题意得f(x)＝sin ＝sin (2x＋)＝cos 2x.故选A．]
2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)
A．2　　　　B． C．4　　　　D．
B　[由题意可知图象的解析式为y＝cos x，所以ω＝.]
3．为了得到函数y＝sin (2x－)的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
B　[易得y＝sin (2x－)＝sin [2(x－)]，y＝cos 2x＝sin (2x＋)＝sin [2(x＋)].令＋φ＝－，解得φ＝－，所以将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到函数y＝sin (2x－)的图象，故选B．]
4．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin ＋2
D　[将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin ＋2的图象，故选D．]
5．将曲线y＝f(x)cos 2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2x，则f()＝(　　)
A．1　　　　B．－1 C．　　　　D．－
D　[把曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得y＝cos [2(x＋)]＝cos (2x＋)＝－sin 2x的图象，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝－sin (2×2x)＝－sin 4x的图象．因为y＝－sin 4x＝－2sin 2x cos 2x＝f(x)cos 2x，所以f(x)＝－2sin 2x，所以f()＝－2sin ＝－.故选D．]
6．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到的曲线对应的解析式为____________．
解析：　y＝sin 2x
y＝sin 2.
答案：　y＝sin
7．将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得函数y＝3sin 的图象．
解析：　A＝3>0，故将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin 的图象．
答案：　伸长　3
8．已知函数f(x)＝2cos (2x－)，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g()＝________．
解析：　由题意，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝2cos [2(x＋)－]＝2cos 2x，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝2cos x.
则g()＝1.
答案：　1
9．已知函数y＝2sin .
(1)用五点法画出该函数在区间[0，2π]的简图；
(2)结合所画图象，指出函数在[0，2π]上的单调区间．
解析：　(1)令X＝x－，则x＝X＋，列表如下：
X＝x－ － 0 π
x 0 2π
y － 0 2 0 －2 －
描点画图得函数y＝2sin 在区间[0，2π]的简图如下：
(2)由(1)中图象可知，函数在区间[0，2π]上的增区间为和，减区间为.
10．已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f(x)的解析式．
[能力提升]
11．(多选)将函数f(x)＝2sin －1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期是π
B．函数g(x)的图象关于点对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在上的最大值是1
ABC　[由题意知g(x)＝2sin －1，最小正周期T＝＝π，选项A正确；
当x＝－时，g＝－1，即函数g(x)的图象关于点对称，选项B正确；
当x∈时，2x＋∈，
所以函数g(x)在上单调递减，选项C正确；
因为函数g(x)在上单调递增，g(x)所以选项D错误，故选ABC．]
12．(多选)下列四种变换方式中，能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象的是(　　)
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
AB　[对于A，向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象；对于B，横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)的图象；对于C，横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋)的图象；对于D，向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象．故选AB．]
13．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移个单位长度；④图象向左平移个单位长度；⑤图象向右平移个单位长度；⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin 的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
解析：　y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin 的图象；或y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin ＝sin 的图象．
答案：　④②或②⑥
14．若将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数g(x)＝sin (ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：　函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后得函数y＝sin [ω(x－)＋]＝sin ，
与函数g(x)＝sin 的图象重合，
所以－＋＋2kπ＝(k∈Z)，
即＝2kπ＋－＝2kπ＋(k∈Z)，
所以ω＝6k＋(k∈Z)，所以ω的最小值为.
答案：　
15．函数f(x)＝5sin －3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解析：　先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin 的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin 的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin －3的图象．
16．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象．
(1)写出函数f(x)的解析式；
(2)求实数a和正整数n，使得F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 020个零点．
解析：　(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图象，
再向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝sin [2]＝sin 的图象，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin .
(2)因为F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 020个零点，
故函数f(x)与y＝a在[0，nπ]上有2 020个交点，
当x∈[0，π]时，2x＋∈，
①当a>1或a<－1时，函数f(x)与y＝a在[0，nπ]上无交点；
②当a＝1或a＝－1时，函数f(x)与y＝a在[0，π]上仅有一个交点，此时要使得函数f(x)与y＝a在[0，nπ]上有2 020个交点，则n＝2 020；
③当－1此时要使函数f(x)的图象与函数y＝a在[0，nπ]上的交点个数为2 020，则n＝1 010.
④当a＝时，函数f(x)的图象与y＝a在[0，π]上有3个交点，此时要使函数f(x)的图象与函数y＝a在[0，nπ]上有2 020个交点，则n值不存在．
综上所述：当a＝1或－1时，n＝2 020，当－1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)
A．2　　　　B． C．4　　　　D．
3．为了得到函数y＝sin (2x－)的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin ＋2
5．将曲线y＝f(x)cos 2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2x，则f()＝(　　)
A．1　　　　B．－1 C．　　　　D．－
6．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到的曲线对应的解析式为____________．
7．将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得函数y＝3sin 的图象．
8．已知函数f(x)＝2cos (2x－)，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g()＝________．
9．已知函数y＝2sin .
(1)用五点法画出该函数在区间[0，2π]的简图；
(2)结合所画图象，指出函数在[0，2π]上的单调区间．
10．已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f(x)的解析式．
[能力提升]
11．(多选)将函数f(x)＝2sin －1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期是π
B．函数g(x)的图象关于点对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在上的最大值是1
12．(多选)下列四种变换方式中，能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象的是(　　)
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
13．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移个单位长度；④图象向左平移个单位长度；⑤图象向右平移个单位长度；⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin 的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
15．函数f(x)＝5sin －3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
16．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象．
(1)写出函数f(x)的解析式；
(2)求实数a和正整数n，使得F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 020个零点．