(共31张PPT)
第五章
三角函数
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（五十四）
谢谢观看！
cos 2a =1-2sin'a
cos 2a=2cos2a-1
(以代2u,以受代a)
cos a=1-2sin2
1
2
8u=2xs号
C
1-cos a
O
sin
三
士
cos
=士
1+cos a
2
2
2
2
有理形式
无理形式
a
sin a
1-cos a
0
1-cos a
tan
tan
=士
2
1+cos a
sin a
2
1+C0S05．5.2 简单的三角恒等变换
[学习目标] 1.了解半角公式及其推导过程.2.灵活运用和差角的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明．
知识点 半角公式
[问题导引] 由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？
提示： 能．由cos 30°＝1－2sin215°＝，
解得sin 15°＝.
同理，由cos 30°＝2cos215°－1＝，解得cos 15°＝.
半角公式
[点拨] 有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值．
(链接教材P225例7)已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值．
解析： ∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin ＝＝，
cos ＝－＝－，
tan ＝＝－2.
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
[提醒] 已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
即时练1.已知cos 2θ＝－，<θ<π，求tan 的值．
解析： 因为cos 2θ＝－，<θ<π，由半角公式得
sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
所以tan ＝＝＝.
应用1 三角函数式的化简
化简：(0<α<π).
解析： ∵tan ＝，
∴(1＋cos α)tan ＝sin α.
又cos (－α)＝－sin α，1－cos α＝2sin2，
∴原式＝＝＝－.
∵0<α<π，∴0<<，∴sin >0.
∴原式＝－2cos .
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
即时练2.化简：.
解析： 原式＝＝＝＝tan 2α.
应用2 三角函数的实际应用
某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).
解析： 如图，连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ
＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos (2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S(矩形ABCD)max＝(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
即时练3.如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？
解析： 设∠AOB＝α，△AOB的周长为l，
则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R＝R sin ＋R.
因为0<α<，所以<α＋<，
所以l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，即当α＝时，△OAB的周长最长．
1．函数f(x)＝1＋cos2x的最小正周期是( )
A．π B．2π C． D．
A [f(x)＝1＋cos2x＝1＋＝＋cos 2x的最小正周期为T＝π.]
2．已知cos θ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos 等于( )
A．－ B． C．－ D．
B [因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.
又cos θ＝－，
所以cos ＝ ＝ ＝，故选B．]
3．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
解析： 3sin x－cos x
＝2
＝2sin ，
因为φ∈(－π，π)，∴φ＝－.
答案： －
4．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，求sin ＋cos 的值．
解析： 因为θ∈(π，2π)，所以∈，
所以sin ＝ ＝，
cos ＝－＝－，
所以sin ＋cos ＝.
课时作业(五十四) 简单的三角恒等变换
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知sin 2α＝，则cos2(α－)＝( )
A．－ B．－ C． D．
D [cos2(α－)＝＝＝.]
2．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝( )
A． B． C． D．－
A [因为α∈，所以sin α>0，由半角公式可得sin α＝＝.]
3．函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x的最小正周期为( )
A． B． C．π D．2π
C [函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin ＋1，则该函数的最小正周期为＝π，故选C．]
4．若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于( )
A．3 B．2 C． D．
C [∵α∈(0，π)，∴ ∈.
∵sin α＋2cos α＝2，∴cos α＝1－sin α.
∴tan ＝＝＝.]
5．当3π<α<4π时，－＝( )
A．sin (＋) B．－sin (＋)
C．sin (－) D．－sin (－)
A [ －＝－＝|cos |－|sin |，
∵3π<α<4π，∴<<2π，∴sin <0，cos >0.
∴原式＝sin ＋cos ＝sin (＋).故选A．]
6．求值sin ＝________．
解析： sin ＝ ＝ ＝.
答案：
7．化简：＝________．
解析： 原式＝＝2cos α.
答案： 2cos α
8．若sin θ＝，<θ<3π，则sin ＝________．
解析： ∵sin θ＝，<θ<3π，
∴<<，cos θ＝－＝－，∴sin ＝－＝－.
答案： －
9．求证：＝tan (＋).
证明： 左边＝
＝
＝＝＝
＝tan (＋)＝右边．所以原等式成立．
10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值．
解析： 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝.
sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝.
因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π.
由0<α－β<π，可得，0<<，
所以cos ＝＝＝.
sin ＝＝.
所以tan ＝＝.
[能力提升]
11．如图，以长为10的线段AB为直径作半圆O，则它的内接矩形MPQN面积的最大值为( )
A．10 B．15 C．25 D．50
C [连接ON，(图略)设∠BON＝θ，则矩形面积S＝5sin θ×2×5cos θ＝50sin θcos θ＝25sin 2θ，
∴当sin 2θ＝1时，
S取得最大值25，故Smax＝25.]
12．(多选)关于函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)，下列说法正确的是( )
A．最小正周期为π B．最小正周期为
C．奇函数 D．偶函数
BD [因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x).
又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，故选BD．]
13．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________．
解析： ＝
＝＝2cos 2α＋1＝，
所以cos 2α＝，
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，
tan 2α＝－.
答案： －
14．在△ABC中，B＝，则sin A·sin C的最大值是________．
解析： sin Asin C＝sin A sin (π－A－B)
＝sin A sin
＝sin A cos
＝sin A
＝sin 2A－cos 2A＋
＝sin ＋.
因为0
所以－<2A－<.
所以当2A－＝时，sin Asin C取得最大值.
答案：
15．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值与最小值，以及此时x的取值．
解析： f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin2x＋cos 2x＋1＝2sin (2x＋)＋1.
(1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为＝.
(2)∵x∈[－，]，
∴2x＋∈[－，]，
∴当2x＋＝，
即x＝时，f(x)取得最大值为3；
当2x＋＝－，
即x＝－时，f(x)取得最小值为0.
16．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取≈1.414)
解析： (1)由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD．
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ.
所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ，
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－R sin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)
＝R2sin (2θ＋)－R2，θ∈(0，).
(2)因为θ∈(0，)，所以2θ＋∈(，)，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值．
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452≈0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积约为838.35 m2.5．5.2 简单的三角恒等变换
[学习目标] 1.了解半角公式及其推导过程.2.灵活运用和差角的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明．
知识点 半角公式
[问题导引] 由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？
提示： 能．由cos 30°＝1－2sin215°＝，
解得sin 15°＝.
同理，由cos 30°＝2cos215°－1＝，解得cos 15°＝.
半角公式
[点拨] 有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值．
(链接教材P225例7)已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值．
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
[提醒] 已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
即时练1.已知cos 2θ＝－，<θ<π，求tan 的值．
应用1 三角函数式的化简
化简：(0<α<π).
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
即时练2.化简：.
应用2 三角函数的实际应用
某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).
解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
即时练3.如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？
1．函数f(x)＝1＋cos2x的最小正周期是( )
A．π B．2π C． D．
2．已知cos θ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos 等于( )
A．－ B． C．－ D．
3．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
4．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，求sin ＋cos 的值．
课时作业(五十四) 简单的三角恒等变换
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知sin 2α＝，则cos2(α－)＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝( )
A． B． C． D．－
3．函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x的最小正周期为( )
A． B． C．π D．2π
4．若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于( )
A．3 B．2 C． D．
5．当3π<α<4π时，－＝( )
A．sin (＋) B．－sin (＋)
C．sin (－) D．－sin (－)
6．求值sin ＝________．
7．化简：＝________．
8．若sin θ＝，<θ<3π，则sin ＝________．
9．求证：＝tan (＋).
10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值．
11．如图，以长为10的线段AB为直径作半圆O，则它的内接矩形MPQN面积的最大值为( )
A．10 B．15 C．25 D．50
12．(多选)关于函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)，下列说法正确的是( )
A．最小正周期为π B．最小正周期为
C．奇函数 D．偶函数
13．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________．
14．在△ABC中，B＝，则sin A·sin C的最大值是________．
15．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值与最小值，以及此时x的取值．
16．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取≈1.414)课时作业(五十四) 简单的三角恒等变换
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知sin 2α＝，则cos2(α－)＝( )
A．－ B．－ C． D．
D [cos2(α－)＝＝＝.]
2．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝( )
A． B． C． D．－
A [因为α∈，所以sin α>0，由半角公式可得sin α＝＝.]
3．函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x的最小正周期为( )
A． B． C．π D．2π
C [函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin ＋1，则该函数的最小正周期为＝π，故选C．]
4．若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于( )
A．3 B．2 C． D．
C [∵α∈(0，π)，∴ ∈.
∵sin α＋2cos α＝2，∴cos α＝1－sin α.
∴tan ＝＝＝.]
5．当3π<α<4π时，－＝( )
A．sin (＋) B．－sin (＋)
C．sin (－) D．－sin (－)
A [ －＝－＝|cos |－|sin |，
∵3π<α<4π，∴<<2π，∴sin <0，cos >0.
∴原式＝sin ＋cos ＝sin (＋).故选A．]
6．求值sin ＝________．
解析： sin ＝ ＝ ＝.
答案：
7．化简：＝________．
解析： 原式＝＝2cos α.
答案： 2cos α
8．若sin θ＝，<θ<3π，则sin ＝________．
解析： ∵sin θ＝，<θ<3π，
∴<<，cos θ＝－＝－，∴sin ＝－＝－.
答案： －
9．求证：＝tan (＋).
证明： 左边＝
＝
＝＝＝
＝tan (＋)＝右边．所以原等式成立．
10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值．
解析： 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝.
sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝.
因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π.
由0<α－β<π，可得，0<<，
所以cos ＝＝＝.
sin ＝＝.
所以tan ＝＝.
[能力提升]
11．如图，以长为10的线段AB为直径作半圆O，则它的内接矩形MPQN面积的最大值为( )
A．10 B．15 C．25 D．50
C [连接ON，(图略)设∠BON＝θ，则矩形面积S＝5sin θ×2×5cos θ＝50sin θcos θ＝25sin 2θ，
∴当sin 2θ＝1时，
S取得最大值25，故Smax＝25.]
12．(多选)关于函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)，下列说法正确的是( )
A．最小正周期为π B．最小正周期为
C．奇函数 D．偶函数
BD [因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x).
又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，故选BD．]
13．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________．
解析： ＝
＝＝2cos 2α＋1＝，
所以cos 2α＝，
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，
tan 2α＝－.
答案： －
14．在△ABC中，B＝，则sin A·sin C的最大值是________．
解析： sin Asin C＝sin A sin (π－A－B)
＝sin A sin
＝sin A cos
＝sin A
＝sin 2A－cos 2A＋
＝sin ＋.
因为0所以－<2A－<.
所以当2A－＝时，sin Asin C取得最大值.
答案：
15．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值与最小值，以及此时x的取值．
解析： f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin2x＋cos 2x＋1＝2sin (2x＋)＋1.
(1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为＝.
(2)∵x∈[－，]，
∴2x＋∈[－，]，
∴当2x＋＝，
即x＝时，f(x)取得最大值为3；
当2x＋＝－，
即x＝－时，f(x)取得最小值为0.
16．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取≈1.414)
解析： (1)由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD．
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ.
所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ，
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－R sin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)
＝R2sin (2θ＋)－R2，θ∈(0，).
(2)因为θ∈(0，)，所以2θ＋∈(，)，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值．
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452≈0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积约为838.35 m2.课时作业(五十四) 简单的三角恒等变换
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知sin 2α＝，则cos2(α－)＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝( )
A． B． C． D．－
3．函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x的最小正周期为( )
A． B． C．π D．2π
4．若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于( )
A．3 B．2 C． D．
5．当3π<α<4π时，－＝( )
A．sin (＋) B．－sin (＋)
C．sin (－) D．－sin (－)
6．求值sin ＝________．
7．化简：＝________．
8．若sin θ＝，<θ<3π，则sin ＝________．
9．求证：＝tan (＋).
10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值．
11．如图，以长为10的线段AB为直径作半圆O，则它的内接矩形MPQN面积的最大值为( )
A．10 B．15 C．25 D．50
12．(多选)关于函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)，下列说法正确的是( )
A．最小正周期为π B．最小正周期为
C．奇函数 D．偶函数
13．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________．
14．在△ABC中，B＝，则sin A·sin C的最大值是________．
15．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值与最小值，以及此时x的取值．
16．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取≈1.414)