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第五章
三角函数
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（五十二）
谢谢观看！
(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值
范围是
,受)剥透正弦、余弦、正切函载均
可；若角的取值范围是
()
则可选正
弦、正切函数；若角的取值范围是(0，π)，则选
余弦函数.第3课时 两角和与差的正切公式
知识点 两角和与差的正切公式
[问题导引] 你能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式吗？
提示： 当cos (α＋β)≠0时，
tan (α＋β)＝＝，
分子分母同除以cos αcos β，
得tan (α＋β)＝.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tan (α－β)＝＝.
1．两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 适用条件
两角和的正切公式 T(α＋β) tan (α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1
两角差的正切公式 T(α－β) tan (α－β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
2.两角和与差的正切公式的变形与特例
(1)变形公式：
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α·tan β)；
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)；
tan αtan β＝1－.
(2)公式的特例：tan ＝；
tan ＝.
[点拨] 公式的结构特征及符号特征如下：
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
(1)若cos θ＝－，且θ为第三象限角，则tan (θ＋)的值等于( )
A． B．－ C．－7 D．7
(2)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则tan β等于( )
A．2 B． C． D．
解析： (1)因为cos θ＝－，θ为第三象限角，所以sin θ＝－＝－，
所以tan θ＝＝，
所以tan (θ＋)＝＝＝7.故选D．
(2)因为α，β为锐角，cos (α＋β)＝－，
所以<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝，tan (α＋β)＝－2，
所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝
＝＝2，故选A．
答案： (1)D (2)A
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
即时练1.已知sin α＝，α∈(，π)，tan (π－β)＝，则tan (α－β)的值为( )
A．－ B．
C． D．－
A [∵已知sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
∵tan (π－β)＝＝－tan β，∴tan β＝－，则tan (α－β)＝＝－.]
即时练2.若tan ＝，则tan α＝________．
解析： tan α＝tan
＝＝＝.
答案：
应用1 给角求值问题
化简求值：
(1)；
(2)tan ＋tan ＋tan tan .
解析： (1)
＝tan (74°＋76°)
＝tan 150°＝－.
(2)tan ＋tan ＋tan tan
＝tan ＋tan tan
＝＋tan tan ＝.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而进行化简和求值．
即时练3.等于( )
A．－1 B．1 C． D．－
B [原式＝＝＝1.故选B．]
即时练4.＝________．
解析： 原式＝
＝tan (45°－15°)
＝tan 30°＝.
答案：
应用2 给值求角问题
已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A． B．－
C．或－ D．－或
B [由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0.
∴tan (α＋β)＝＝＝.
又∵－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.]
给值求角问题的解题策略
（1）解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
即时练5.若0<α<，0<β<，且tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为________．
解析： 由tan α＝，tan β＝得tan (α＋β)＝＝＝1，
因为0<α<，0<β<，
所以0<α＋β<π，则α＋β＝.
答案：
1．已知tan α＝2，tan β＝3，则tan (α－β)＝( )
A．－7 B．
C．－ D．－
D [tan (α－β)＝＝＝－.故选D．]
2．求值tan 15°＝________．
解析： tan 15°＝tan (60°－45°)＝＝＝2－.
答案： 2－
3．若tan (α－)＝6，则tan α＝________．
解析： tan α＝tan [(α－)＋]
＝
＝＝－.
答案： －
4．在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，求角C．
解析： tan (A＋B)＝
＝＝－1，
因为A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，
所以C＝π－(A＋B)＝.
课时作业(五十二) 两角和与差的正切公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( )
A． B．－ C． D．－
B [tan (α＋β)＝＝＝－.]
2.等于( )
A． B．1 C． D．－1
B [原式＝＝tan (60°－15°)
＝tan 45°＝1.故选B．]
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，则tan 的值为( )
A．－3 B．－ C．－ D．－
A [∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，∴tan α＝＝－，
∴tan ＝
＝
＝－3.故选A．]
4．已知cos (－α)＝2cos (π＋α)，且tan (α＋β)＝，则tan β的值为( )
A．－7 B．7 C．1 D．－1
B [∵cos (－α)＝2cos (π＋α)，
∴sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.
又∵tan (α＋β)＝＝＝.∴tan β＝7，故选B．]
5．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
A [由题意可知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，所以tan (α＋β)＝＝－3.]
6．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan (α－)＝________．
解析： 因为α∈(，π)，所以cos α<0.因为sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，
所以tan (α－)＝＝＝－7.
答案： －7
7．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α的值为________．
解析： tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
答案： －
8．(2020·黑龙江省哈尔滨六中月考)已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β的值为________．
解析： tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝，而α∈(0，π)，∴α∈.
∵tan β＝－，β∈(0，π)，
∴β∈，∴－π<α－β<0.
而tan (α－β)＝>0，∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
又tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝＝1，∴2α－β＝－.
答案： －
9．计算：
(1)；
(2)(tan 10°－)×.
解析： (1)原式＝tan (80°＋70°)＝tan 150°
＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝(tan 10°－tan 60°)×
＝(－)×
＝·＝－2.
10．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求：
(1)sin (α－β)的值；
(2)tan (α－β)的值．
解析： (1)因为α，β都是锐角，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝.
(2)因为tan α＝＝2，tan β＝＝，
所以tan (α－β)＝＝.
[能力提升]
11．(2021·河南洛阳高一月考)在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<π)的顶点为O，始边为x轴的非负半轴．若点P(1－tan ，1＋tan )是角α终边上的一点，则α＝( )
A． B． C． D．
C [tan α＝＝＝tan (＋)＝tan .
因为0<α<π，所以α＝.故选C．]
12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．tan A·tan B＝ B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
ACD [∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan (A＋B)＝＝，∴B错误；
∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，
∴tan A·tan B＝①，∴A正确；又tan A＋tan B＝ ②，由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故C，D正确．综上，故选ACD．]
13．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．
解析： 因为tan α＝2，tan β＝－3，所以tan (α＋β)＝＝－，所以＝－7，又因为0°<α<90°，90°<β<180°，所以－180°<α－β<0°，又tan (α－β)＝＝－1，所以α－β＝－45°.
答案： －7 －45°
14．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈(，π)，则α＋β＝________．
解析： 因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝＝－1.
又α，β∈(，π)，所以π<α＋β<2π，故α＋β＝.
答案：
15．从①α，β都是钝角，且tan α＝－，cos β＝－，②α是锐角，β是钝角，且＝，tan β＝－这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知________，求α＋β的值．
解析： 选择条件①，
因为β是钝角，cos β＝－，
所以sin β＝＝＝，
所以tan β＝＝＝－.
tan (α＋β)＝＝＝－1，
因为α，β都是钝角，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
选择条件②.
由＝，得5tan2α＋24tan α－5＝0，
即(5tan α－1)(tan α＋5)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－5.
又α是锐角，所以tan α＝，
所以tan (α＋β)＝＝＝－1，
因为α是锐角，β是钝角，所以<α＋β<，所以α＋β＝.
16．已知tan (π＋α)＝－，tan (α＋β)＝.
(1)求tan (α＋β)的值．
(2)求tan β的值．
解析： (1)因为tan (π＋α)＝－，所以tan α＝－.
因为tan (α＋β)＝＝.
所以tan (α＋β)＝＝.
(2)因为tan β＝tan [(α＋β)－α]
＝，
所以tan β＝＝.第3课时 两角和与差的正切公式
知识点 两角和与差的正切公式
[问题导引] 你能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式吗？
提示： 当cos (α＋β)≠0时，
tan (α＋β)＝＝，
分子分母同除以cos αcos β，
得tan (α＋β)＝.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tan (α－β)＝＝.
1．两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 适用条件
两角和的正切公式 T(α＋β) tan (α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1
两角差的正切公式 T(α－β) tan (α－β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
2.两角和与差的正切公式的变形与特例
(1)变形公式：
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α·tan β)；
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)；
tan αtan β＝1－.
(2)公式的特例：tan ＝；
tan ＝.
[点拨] 公式的结构特征及符号特征如下：
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
(1)若cos θ＝－，且θ为第三象限角，则tan (θ＋)的值等于( )
A． B．－ C．－7 D．7
(2)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则tan β等于( )
A．2 B． C． D．
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
即时练1.已知sin α＝，α∈(，π)，tan (π－β)＝，则tan (α－β)的值为( )
A．－ B．
C． D．－
即时练2.若tan ＝，则tan α＝________．
应用1 给角求值问题
化简求值：
(1)；
(2)tan ＋tan ＋tan tan .
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而进行化简和求值．
即时练3.等于( )
A．－1 B．1 C． D．－
即时练4.＝________．
应用2 给值求角问题
已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A． B．－
C．或－ D．－或
给值求角问题的解题策略
（1）解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
即时练5.若0<α<，0<β<，且tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为________．
1．已知tan α＝2，tan β＝3，则tan (α－β)＝( )
A．－7 B．
C．－ D．－
2．求值tan 15°＝________．
3．若tan (α－)＝6，则tan α＝________．
4．在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，求角C．
课时作业(五十二) 两角和与差的正切公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( )
A． B．－ C． D．－
2.等于( )
A． B．1 C． D．－1
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，则tan 的值为( )
A．－3 B．－ C．－ D．－
4．已知cos (－α)＝2cos (π＋α)，且tan (α＋β)＝，则tan β的值为( )
A．－7 B．7 C．1 D．－1
5．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
6．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan (α－)＝________．
7．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α的值为________．
8．(2020·黑龙江省哈尔滨六中月考)已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β的值为________．
9．计算：
(1)；
(2)(tan 10°－)×.
11．(2021·河南洛阳高一月考)在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<π)的顶点为O，始边为x轴的非负半轴．若点P(1－tan ，1＋tan )是角α终边上的一点，则α＝( )
A． B． C． D．
12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．tan A·tan B＝ B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
13．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．
14．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈(，π)，则α＋β＝________．
15．从①α，β都是钝角，且tan α＝－，cos β＝－，②α是锐角，β是钝角，且＝，tan β＝－这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知________，求α＋β的值．
16．已知tan (π＋α)＝－，tan (α＋β)＝.
(1)求tan (α＋β)的值．
(2)求tan β的值．课时作业(五十二) 两角和与差的正切公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( )
A． B．－ C． D．－
B [tan (α＋β)＝＝＝－.]
2.等于( )
A． B．1 C． D．－1
B [原式＝＝tan (60°－15°)
＝tan 45°＝1.故选B．]
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，则tan 的值为( )
A．－3 B．－ C．－ D．－
A [∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，∴tan α＝＝－，
∴tan ＝
＝
＝－3.故选A．]
4．已知cos (－α)＝2cos (π＋α)，且tan (α＋β)＝，则tan β的值为( )
A．－7 B．7 C．1 D．－1
B [∵cos (－α)＝2cos (π＋α)，
∴sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.
又∵tan (α＋β)＝＝＝.∴tan β＝7，故选B．]
5．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
A [由题意可知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，所以tan (α＋β)＝＝－3.]
6．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan (α－)＝________．
解析： 因为α∈(，π)，所以cos α<0.因为sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，
所以tan (α－)＝＝＝－7.
答案： －7
7．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α的值为________．
解析： tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
答案： －
8．(2020·黑龙江省哈尔滨六中月考)已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β的值为________．
解析： tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝，而α∈(0，π)，∴α∈.
∵tan β＝－，β∈(0，π)，
∴β∈，∴－π<α－β<0.
而tan (α－β)＝>0，∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
又tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝＝1，∴2α－β＝－.
答案： －
9．计算：
(1)；
(2)(tan 10°－)×.
解析： (1)原式＝tan (80°＋70°)＝tan 150°
＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝(tan 10°－tan 60°)×
＝(－)×
＝·＝－2.
10．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求：
(1)sin (α－β)的值；
(2)tan (α－β)的值．
解析： (1)因为α，β都是锐角，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝.
(2)因为tan α＝＝2，tan β＝＝，
所以tan (α－β)＝＝.
[能力提升]
11．(2021·河南洛阳高一月考)在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<π)的顶点为O，始边为x轴的非负半轴．若点P(1－tan ，1＋tan )是角α终边上的一点，则α＝( )
A． B． C． D．
C [tan α＝＝＝tan (＋)＝tan .
因为0<α<π，所以α＝.故选C．]
12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．tan A·tan B＝ B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
ACD [∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan (A＋B)＝＝，∴B错误；
∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，
∴tan A·tan B＝①，∴A正确；又tan A＋tan B＝ ②，由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故C，D正确．综上，故选ACD．]
13．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．
解析： 因为tan α＝2，tan β＝－3，所以tan (α＋β)＝＝－，所以＝－7，又因为0°<α<90°，90°<β<180°，所以－180°<α－β<0°，又tan (α－β)＝＝－1，所以α－β＝－45°.
答案： －7 －45°
14．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈(，π)，则α＋β＝________．
解析： 因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝＝－1.
又α，β∈(，π)，所以π<α＋β<2π，故α＋β＝.
答案：
15．从①α，β都是钝角，且tan α＝－，cos β＝－，②α是锐角，β是钝角，且＝，tan β＝－这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知________，求α＋β的值．
解析： 选择条件①，
因为β是钝角，cos β＝－，
所以sin β＝＝＝，
所以tan β＝＝＝－.
tan (α＋β)＝＝＝－1，
因为α，β都是钝角，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
选择条件②.
由＝，得5tan2α＋24tan α－5＝0，
即(5tan α－1)(tan α＋5)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－5.
又α是锐角，所以tan α＝，
所以tan (α＋β)＝＝＝－1，
因为α是锐角，β是钝角，所以<α＋β<，所以α＋β＝.
16．已知tan (π＋α)＝－，tan (α＋β)＝.
(1)求tan (α＋β)的值．
(2)求tan β的值．
解析： (1)因为tan (π＋α)＝－，所以tan α＝－.
因为tan (α＋β)＝＝.
所以tan (α＋β)＝＝.
(2)因为tan β＝tan [(α＋β)－α]
＝，
所以tan β＝＝.课时作业(五十二) 两角和与差的正切公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( )
A． B．－ C． D．－
2.等于( )
A． B．1 C． D．－1
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，则tan 的值为( )
A．－3 B．－ C．－ D．－
4．已知cos (－α)＝2cos (π＋α)，且tan (α＋β)＝，则tan β的值为( )
A．－7 B．7 C．1 D．－1
5．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
6．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan (α－)＝________．
7．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α的值为________．
8．(2020·黑龙江省哈尔滨六中月考)已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β的值为________．
9．计算：
(1)；
(2)(tan 10°－)×.
11．(2021·河南洛阳高一月考)在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<π)的顶点为O，始边为x轴的非负半轴．若点P(1－tan ，1＋tan )是角α终边上的一点，则α＝( )
A． B． C． D．
12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．tan A·tan B＝ B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
13．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．
14．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈(，π)，则α＋β＝________．
15．从①α，β都是钝角，且tan α＝－，cos β＝－，②α是锐角，β是钝角，且＝，tan β＝－这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知________，求α＋β的值．
16．已知tan (π＋α)＝－，tan (α＋β)＝.
(1)求tan (α＋β)的值．
(2)求tan β的值．
